1、 矩形的性质与判定 第2讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 矩形的性质 直角三角形斜边上的中线的性质与判定 矩形中的折叠问题 矩形的性质与判定 与矩形对角线相关的拓展问题 教学目标 1、掌握矩形的性质与判定. 2、学会应用矩形的性质解决最值问题 教学重点 能熟练掌握矩形的性质与判定. 教学难点 矩形综合题. 【教学建议教学建议】 矩形这种图形在生活中也比较常见，并且在七八年级甚至小学阶段均有涉及，在教学过程中，结合现 实生活中的矩形物体和复习回顾学过的矩形知识，将使学生对矩形有一个更深刻的认识. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教
2、学建议】【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要重视学生灵活运用所学知识点的能力培养. 在小学阶段的学习中我们已经学习过了矩形的性质和判定，在本讲中我们将会更加深入地学习矩形， 矩形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 有三个角是直角的四边形是矩形； 矩形的对角线相等且互相平分； 矩形的四个角都是直角； 有一个角是 90的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 四个角都是直角的四边形； 对角线相等且互相平分的四边形. 类型一 矩形的定义与性质 如图，矩形 ABCD 的周长为 18cm，M 是 CD 的中点，且 AMBM，则矩形 ABCD 的两邻边长分别是（ ） 教学过程 考点 1 矩形
3、的定义和性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 矩形的判定 三 、例题精析 例题 1 A.3cm 和 6cm B.6cm 和 12cm C.4cm 和 5cm D.以上都不对 【解析】A 首先证得ADMBCM，可得出AMD=BMC，由此可求出两角的度数，即可得出 DM、MC 的长，由此得解 四边形 ABCD 是矩形， D=C=90，AD=BC， 又M 是 CD 的中点 MD=MC， ADMBCM， AMD=BMC AMBM， AMD=BMC=45， AD=DM，BC=CM， 矩形 ABCD 的周长为 18cm， AD=3cm，DC=6cm， 故选 A. 【总结与反思】此题运用了矩形的定义与性质
4、：四个角都是 90. 类型二 直角三角形斜边上的中线的性质与判定直角三角形斜边上的中线的性质与判定 如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上 运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为【 】 A21 B5 C 145 5 D 5 2 【解析】A 如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， ODOE+DE， 例题 1 当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大， 此时，AB=2，BC=1，OE=AE= 1 2 AB=1.
5、 DE= 2222 ADAE112， OD 的最大值为：21.故选 A. 【总结与反思】 此题是对直角三角形斜边上的中线的性质的灵活运用. 类型三 矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题 如图， 将矩形ABCD沿EF折叠， 使顶点C恰好落在AB边的中点C上 若AB=6，BC=9， 则BF的长为 （ ） 、 、 2 、. 、 【解析】A 由折叠可得，BC= 3，BF+FC= 9， 根据勾股定理可得：在CBF 中， BF=4 故选 A 【总结与反思】根据折叠的性质和勾股定理即可解出此题. 例题 1 类型四：矩形的性质与判定四：矩形的性质与判定 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，B
6、EAC 于 E，DFAC 于 F，点 O 既是 AC 的中点，又是 EF 的中点 (1)求证：BOEDOF； (2)若 OA 1 2 BD，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由 【解析】解：（1）证明：BEACDFAC，BEO=DFO=90. 点 O 是 EF 的中点，OE=OF. 又DOF=BOE，BOEDOF（ASA）. （2）四边形 ABCD 是矩形.理由如下： BOEDOF，OB=OD. 又OA=OC，四边形 ABCD 是平行四边形. OA= 1 2 BD，OA= 1 2 AC，BD=AC.平行四边形 ABCD 是矩形. （1）根据垂直可得BEO=DFO=90，再由点 O
7、是 EF 的中点可得 OE=OF，再加上对顶角 DOF=BOE，可利用 ASA 证明BOEDOF. （2）根据BOEDOF 可得 DO=BO，再加上条件 AO=CO 可得四边形 ABCD 是平行四边形，再证明 DB=AC，可 根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论. 【总结与反思】根据矩形的性质即可解出此题. 类型五：与矩形对角线相关的拓展问题五：与矩形对角线相关的拓展问题 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是 AD 上的动点，PEAC 于 E，PFBD 于 F， 则 PE+FF 的值是（ ） 例题 1 例题 1 A、 5 12 B、2 C、 2 5 D、 5 13 A 【
8、解析】B 连接OP， 过D作DMAC于M， 求出AC长， 根据三角形的面积公式求出CM的值， 根据 AOD S APO S DPO S 代入求出 PE+PF=DM 即可 连接 OP，过 D 作 DMAC 于 M， 四边形 ABCD 是矩形， AO=OC= 2 1 AC，OD=OB= 2 1 BD，AC=BD，ADC=90 OA=OD， 由勾股定理得： 543 22 AC DMS ADC 5 2 1 43 2 1 ， 5 12 DM， AOD S APO S DPO S， 即 5 12 DMPFPE， 故选 B 【总结与反思】根据矩形对角线相等且互相平分即可解出此题. 1.若矩形的对角线长为 4
9、cm，一条边长为 2cm，则此矩形的面积为（ ） A83cm 2 B4 3cm 2 C2 3cm 2 D8cm2 四 、课堂运用 基础 2.如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处， 又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 BC：AB 的值为 . 答案与解析答案与解析 1.【答案】B 【解析】先根据矩形的性质及勾股定理求出另一条边长，再根据矩形的面积公式即可求得结果. 由题意得，另一条边长3224 22 ， 则此矩形的面积为 2 34232cm， 故选 B. 2.【答案】3 【
10、解析】 连接 CC， 将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处, EC=EC，ECC=ECC， DCC=ECC，ECC=DCC. CC是ECD 的平分线. CBC=D=90，CC=CC，CBCCDC（AAS）.CB=CD. 又AB=AB，B是对角线 AC 中点，即 AC=2AB.ACB=30. tanACB=tan30= AB1 BC3 .BC：AB=3. 1.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB=60，AE 平分BAD，AE 交 BC 于 E，则BOE 的度数是_. 2
11、.如图，MON=90，边长为 2 的等边三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 3.矩形 ABCD 中，AD=5，AB=3，将矩形 ABCD 沿某直线折叠，使点 A 的对应点 A落在线段 BC 上，再打开得 到折痕 EF （1）当 A与 B 重合时（如图 1），EF= ；当折痕 EF 过点 D 时（如图 2），求线段 EF 的长； （2）观察图 3 和图 4，设 BA=x，当 x 的取值范围是 时，四边形 AEAF 是菱形；在 的条件下，利用图 4
12、证明四边形 AEAF 是菱形 答案与解析答案与解析 1.【答案】75 【解析】根据矩形的对角线相等，结合AOB=60，得AOB 为等边三角形，则AB0=60，BO=AB，从而 得到EB0=30，再根据 AE 平分BAD，结合矩形的性质可得ABE 为等腰直角三角形，则 AB=BE=BO，即 可求得结果. 矩形 ABCD， AO=BO，ABE=BAD=90， A0B=60， AOB 为等边三角形， 巩固 AB0=60，BO=AB， EB0=ABE-AB0=30， AE 平分BAD， BAE=45， ABE=90， ABE 为等腰直角三角形， AB=BE， BO=AB， BO=BE， EB0=30，
13、 BOE=75 2.【答案】1+ 【解析】如图，取 AB 的中点 D连接 CD根据三角形的边角关系得到 OC 小于等于 OD+DC，只有当 O、D 及 C 共线时，OC 取得最大值，最大值为 OD+CD，由等边三角形的边长为 2，根据 D 为 AB 中点，得到 BD 为 1， 根据三线合一得到 CD 垂直于 AB， 在直角三角形 BCD 中， 根据勾股定理求出 CD 的长， 在直角三角形 AOB 中， OD 为斜边 AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OD 等于 AB 的一半，由 AB 的长 求出 OD 的长，进而求出 DC+OD，即为 OC 的最大值 解答：解：如图
14、，取 AB 的中点 D，连接 CD ABC 是等边三角形，且边长是 2，BC=AB=1， 点 D 是 AB 边中点， BD= 2 1 AB=1， CD=312 2222 BDBC，即 CD=3； 连接 OD，OC，有 OCOD+DC， 当 O、D、C 共线时，OC 有最大值，最大值是 OD+CD， 由（1）得，CD=3， 又AOB 为直角三角形，D 为斜边 AB 的中点， OD=AB 2 1 =1， OD+CD=1+3，即 OC 的最大值为 1+3 3.【答案】（1）当 A与 B 重合时，EF=5，当折痕 EF 过点 D 时 EF= 5 10 3 ，（2）3x5，证明见 解析 【解析】解：(1
15、)5. 由折叠（轴对称）性质知 AD=AD=5，A=EAD=90 0. 在 RtADC 中，DC=AB=2， 22 AC534. AB=BCAC=54=1. EABBEA=EABFAC=90 0， BEA=FAC. 又 B=C=90 0，RtEBARtACF.A E A B A FFC ，即 A E1 53 5 A E 3 . 在 RtAEF 中， 22 255 10 EFA EA D25 93 . （2）3x5. 证明：由折叠（轴对称）性质知AEF=FEA，AE=AE，AF=AF. 又 ADBC，AFE=FEA .AEF=AFE . AE=AF.AE=AE=AF=AF. 四边形 AEAF 是
16、菱形. (1)根据折叠和矩形的性质，当 A与 B 重合时（如图 1），EF= AD=5.根据折叠和矩形的性质，以及勾股 定理求出 AB、AF 和 FC 的长，由 RtEBARtACF 求得 5 A E 3 ，在 RtAEF 中，由勾股定理 求得 EF 的长. （2）由图 3 和图 4 可得，当3x5时，四边形 AEAF 是菱形. 由折叠和矩形的性质， 可得AE=AE， AF=AF.由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF.从而AE=AE=AF=A F.根据菱形的判定得四边形 AEAF 是菱形. 1、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 OABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别 A( 2 3,0)
17、、B( 2 3,2) ， CAO=30 （1）求对角线 AC 所在的直线的函数表达式； （2）把矩形 OABC 以 AC 所在的直线为对称轴翻折，点 O 落在平面上的点 D 处，求点 D 的坐标； （3） 在平面内是否存在点 P， 使得以 A、 O、 D、 P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，OA=23，CAO=30， 则 OC=OAtanCAO=2， 即点 C 的坐标为（0，2）， 设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，将点 A 及点 C 的坐标代入得： 2 032 b bk
18、 解得： 2 3 3 b k 故直线 AC 的函数表达式为：y= 3 3 x+2 （2）过点 D 作 DEOA 于点 E， 拔高 CAO=30， DAE=60， 又AD=AO=23， DE=3，AE=3， OE=3， 故点 D 的坐标为（-3，3） （3）当 AD 为平行四边形的一边时，点 P 的位置有两个，分别为 P1、P2， 当点 P 位于 P1位置时，DP1=AO， 此时可得点 P 的坐标为（3，3）； 当点 P 位于 P2位置时， OD=AD，AOD 是等边三角形， 点 P2与点 D 关于 x 轴对称， 此时可得点 P 的坐标为（-3，-3）； 当 AD 为平行四年行的对角线时，点 P
19、 的位置有一个，在 P3的位置， 此时 DP3=AO， 故可得点 P 的坐标为（-33，3） 综上可得存在点 P 的坐标，使得以 A、O、D、P 为顶点的四边形为平行四边形，点 P 的坐标为（3，3）或 （-3，-3）或（-33，3） 本节的重要内容：矩形的性质与判定. 四个角都是直角的四边形是矩形； 在已知是平行四边形的情况下，要证明是矩形，只要证明一个角是 90或对角线长度相等； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 1、矩形两条对角线的夹角是 60，若矩形较短的边长为 4cm，则对角线长 2、如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交
20、 CE 的延长线于 F，且 AF=BD，连接 BF. （1）求证：D 是 BC 的中点 （2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论. 答案与解析答案与解析 1.【答案】8cm 【解析】 先根据题意画出图形，根据矩形的性质结合两条对角线的夹角是 60， 可得AOB 为等边三角形， 即可求得结果 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 四边形 ABCD 为矩形， OA=OB， 两对角线的夹角为 60， AOB 为等边三角形， OA=OB=AB=4cm， AC=BD=8cm， 即对角线的长度为 8cm 2.【答案】见解析 【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出AFE=
21、DCE，然后利用“角角边”证明AEF 和DEC 全 等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 AFBD 是平行四边形，再根据一个角是 直角的平行四边形是矩形，可知ADB=90，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是 AB=AC （1）AFBC， AFE=DCE， E 是 AD 的中点， AE=DE， AEF=DEC， AEFDEC（AAS）， AF=CD， AF=BD， BD=CD， D 是 BC 的中点； （2）四边形 AFBD 是矩形 AFBD，AF=BD， 四边形 AFBD 是平行四边形， AB=A
22、C，BD=CD， ADB=90， AFBD 是矩形 1.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为（0，0）、 （20，0）、 （20，10）在 线段 AC、AB 上各有一动点 M、N，则当 BM+MN 为最小值时，点 M 的坐标是_ 2.已知如图， 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 四边形 OABC 是矩形， 点 A、C 的坐标分别为 A（20，0）， C（0，8），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当ODP 是腰长为 10 的等腰三角形时，点 P 的坐标为 _ 3.（1)操作发现 如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将AB
23、E 沿 BE 折叠后得到GBE且点 G 在矩形 ABCD 内部.小明将 BG 延长交 DC 于点 F，认为 GF=DF，你同意吗？请说明理由. (2)问题解决保持(1)中的条件不变，若 DF=4 , CD=9 ，求 AD AB 的值. (3)类比探究保持(1)中的条件不变，若 DC=2DF，求 AD AB 的值. 巩固 答案与解析答案与解析 1.【答案】（12，6） 【解析】 思路：先确定点 M、N 的位置：作点 B 关于 AC 的对称点 B，过点 B作 BNOB 于 N，BN 交 AC 于 M连接 OB，交 DC 于 P，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出 PA=PC，那么在 RtAD
24、P 中， 运用勾股定理求出 PA 的长，然后由 cosBON=cosOPD，求出 ON 的长，由 tanMON=tanOCD，求出 MN 的长，即可得出点 M 的坐标 解答： 如图， 作点B关于AC的对称点B， 过点B作BNOB于N， BN交AC于M， 则BN=BM+MN=BM+MN， BN 的长就是 BM+MN 的最小值 连接 OB，交 DC 于 P 四边形 ABCD 是矩形， DC AB， BAC=PCA， 点B关 于 AC 的对称点是 B， PAC=BAC， PAC=PCA， PA=PC 令 PA=x，则 PC=x，PD=20-x 在 RtADP 中，PA2=PD2+AD2， x2=（2
25、0-x）2+102， x=12.5 cosBON=cosOPD， ON：OB=DP：OP， ON：20=7.5：12.5， ON=12 tanMON=tanOCD， MN：ON=OD：CD， MN：12=10：20， MN=6 点 M 的坐标是（12，6） 故答案为（12，6） 2.【答案】（6，8）或（4，8），（16,8） 【解析】分为三种情况OP=OD=10，DP=OD=10，OP=DP=10，根据勾股定理求出 CP，OM 即可 解答：A（20，0），C（0，8），四边形 OABC 是矩形，D 是 OA 的中点， OC=8，OD=10，OCB=COD=90， OP=OD=10， 由勾股定
26、理 得：CP= 22 8-10=6， 即 P 的坐标 是（6，8）； DP=OD=10， 过 P 作 PMOA 于 M， 则 PM=OC=8，由勾股定理得：DM= 22 8-10=6， OM=10-6=4， 即 P 的坐标是（4，8）或（16,8）； OP=DP=10，此时 DM=OD=6，即 OD10，即此时不存在； 故答案为：（6，8）或（4，8） 3.【答案】（1）同意.证明 RtEGF RtEDF得GF = DF. （2） 3 4 （3） AD AB =2 【解析】（1）同意；理由如下：将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，所以90BGE；矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，所以
27、 EG=ED，90D；又因为 EF 是Rt,RtEGFEDF的公共边，且是斜边，所以 RtEGF RtEDF，所以 GF = DF. （2） 矩形 ABCD 中， AB=CD， AD=BC，90C； 将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE， ABEGBE， AB=BG=9； 由（1）知证明 RtEGF RtEDF得GF = DF，GF=4；所以 BF=BG+GE=9+4=13；CF=CD-DF=9-4=5；在Rt BFC 中由勾股定理得 BC= 2222 13512BFCF，所以 AD AB =12 4 93 （3）若 DC=2DF，所以 F 是 DC 的中点，DF=CF 矩形 ABCD 中，A
28、B=CD，AD=BC，90C；将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，ABEGBE，AB=BG ，BG=AB=2DF；由（1）知证明 RtEGF RtEDF得GF = DF；所以 BF=BG+GE=3DF；在RtBFC 中由勾 股定理得BC= 2 222 32 2BFCFDFDFDF，所以 AD AB = 2 2 2 2 DF DF 1.课本中，把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题： （1）将一张标准纸 ABCD（ABBC）对开，如图 1 所示，所得的矩形纸片 ABEF 是标准纸请给予证明 （2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD（ABBC）进行如下操作： 第一
29、步：沿过 A 点的直线折叠，使 B 点落在 AD 边上点 F 处，折痕为 AE（如图 2 甲）； 第二步：沿过 D 点的直线折叠，使 C 点落在 AD 边上点 N 处，折痕为 DG（如图 2 乙），此时 E 点恰好落在 AE 边上的点 M 处； 第三步：沿直线 DM 折叠（如图 2 丙），此时点 G 恰好与 N 点重合 请你探究：矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸？请说明理由 （3）不难发现：将一张标准纸按如图 3 一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸 ABCD，AB=1，BC=2，问第 5 次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第 2012 次对开后所得标准 纸的
30、周长 2.【问题情境】如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 P 为边 BC 上的任一点，过点 P 作 PDAB，PEAC，垂足分 别为 D、E，过点 C 作 CFAB，垂足为 F求证：PD+PE=CF 【结论运用】如图 2，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C处，点 P 为折痕 EF 上 的任一点，过点 P 作 PGBE、PHBC，垂足分别为 G、H，若 AD=8，CF=3，求 PG+PH 的值； 拔高 【迁移拓展】图 3 是一个航模的截面示意图在四边形 ABCD 中，E 为 AB 边上的一点，EDAD，ECCB，垂 足分别为 D、C，且 ADCE=
31、DEBC，AB=8，AD=3，BD=7；M、N 分别为 AE、BE 的中点，连接 DM、CN，求DEM 与CEN 的周长之和 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）证明见解析（2）是标准纸，理由见解析（3） 2+ 2 4 ， 1005 1+ 2 2 【解析】解：（1）证明： 矩形 ABCD 是标准纸， BC = 2 AB . 由对开的含义知：AF= 1 2 BC， ABABAB1 =222 1 AFBC2 BC 2 . 矩形纸片 ABEF 也是标准纸. （2）是标准纸，理由如下： 设 AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DGEM. 由图形折叠可知：ABEAF
32、E，DAE= 1 2 BAD=45. ADG 是等腰直角三角形. 在 RtADG 中，AD= 22 AG +DG2a， AD2a = 2 ABa ，矩形纸片 ABCD 是一张标准纸. （3）对开次数： 第一次，周长为： 1 2 1+2 =2+ 2 2 ， 第二次，周长为： 11 2+2 =1+ 2 22 ， 第三次，周长为： 112+ 2 2+2 = 242 ， 第四次，周长为： 111+ 2 2+2 = 442 ， 第五次，周长为： 112+ 2 2+2 = 484 ， 第六次，周长为： 111+ 2 2+2 = 884 ， 第 5 次对开后所得标准纸的周长是： 2+ 2 4 ， 第 201
33、2 次对开后所得标准纸的周长为： 1005 1+ 2 2 . （1）根据 ABAB =2 1 AF BC 2 ，得出矩形纸片 ABEF 也是标准纸. （2）利用已知得出ADG 是等腰直角三角形，得出 AD2a = 2 ABa ，即可得出答案. （3）分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得 第 n 次对开后所得标准纸的周长= n 1 2 n 1 2 2+ 2 n 2 1+ 2 n 2 为奇数 为偶数 2.【答案】 【问题情境】见解析；【结论运用】4PGPH ；【迁移拓展】8+4 3 【解析】思路：【问题情境】连接 AP，利用 ABCABPACP SSS 可证得 C
34、F=PD+PE； 【结论运用】过点 E 作 EQBC，垂足为 Q，根据条件求出 BF，BE 的长，从而证明 BE=BF 后，直接利用【问 题情境】中的结论可得出PGPHEQ，而 EQ=CD=4； 【迁移拓展】延长 AD、BC 交于点 F，作 BHAF，垂足为 H，证明ADEBCE 得出A=CBE 从而 FA=FB， 然后应用问题情境中的结论可得：EDECBH ，设 DH=x，根据勾股定理求出 x 的值，然后可求图中各 条线段的长，最后将DEM 与CEN 的周长之和转化为 DE+EC+AB 的值即可 解：【问题情境】连接 AP， PDAB，PEAC，CFAB，且 ABCABPACP SSS ，
35、111 222 AB CFAB PDAC PEAB=AC，CF=PD+PE 【结论运用】过点 E 作 EQBC，垂足为 Q，如图 四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，C=ADC=90 AD=8，CF=3，5BFBC CFAD CF 由折叠可得：DF=BF，BEF=DEFDF=5 C=90， 2222 534DCDFCF EQBC，C=ADC=90，EQC=90=C=ADC 四边形 EQCD 是矩形 EQ=DC=4 ADBC，DEF=EFBBEF=DEF，BEF=EFB BE=BF 由问题情境中的结论可得：PGPHEQ 4PGPHPG+PH 的值为 4 【迁移拓展】延长 AD、BC 交于点 F
36、，作 BHAF，垂足为 H，如图 AD CEDE BC， ADBC DEEC EDAD，ECCB， ADE=BCE=90 ADEBCE A=CBEFA=FB 由问题情境中的结论可得：EDECBH 设 DH=x，则 AH=AD+DH=x+3 BHAF，BHA=90 22222 BHBDDHABAH AB=8，AD=3，BD=7， 7 2-x2=82-（3+x）2解得： 1x BH 2=BD2-DH2=49-1=48BH=4 3 ED+EC=4 3 90ADEBCE，且 M、N 分别为 AE、BE 的中点， 1 2 DMEMAE， 1 2 CNENBE DEM 与CEN 的周长之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC =DE+AE+BE+EC =DE+AB+EC =DE+EC+AB =8+4 3 七 、教学反思