1、 应用一元二次方程 第7讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 几何计算的应用 增降率问题 握手问题 利润问题 教学目标 1、掌握列一元二次方程解决实际问题 2、掌握利润问题. 教学重点 能熟练掌握一元二次方程的应用. 教学难点 能熟练掌握一元二次方程的应用. 【教学建议教学建议】 一元二次方程的应用是中考中的热门考点，因此学习本讲时要要求学生务必将各个题型都完整的计算 一遍，以求做到心中有数，在做题中能够得心应手. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 一元二次方程的应用作为中考的热门考点， 每年出题的题型都比较固
2、定， 因此对于本讲应当着重讲解， 使每一个学生都能够掌握此类题型的做法. 在前三讲中我们已经把一元二次方程的三种解题方法都学习过了，本讲将利用所学的三种解法来解决 应用问题. 列方程解应用题的基本步骤： 审（审题）； 找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）； 设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； 表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； 列（列方程）； 解（解方程）； 检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 类型一 几何计算应用几何计算应用 已知： 如图 3-9-3 所示， 在ABC中，90 ,5cm,7cmBABBC.点P从
3、点A开始沿AB边向点B 以 1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 2cm/s 的速度移动. 教学过程 考点 1 应用题的解题步骤 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 例题 1 如果,P Q分别从,A B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于 4cm 2？ 如果,P Q分别从,A B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 5cm？ 在（1）中，PQB的面积能否等于 2 7cm?说明理由. 【解析】设 t 秒后,则：AP=tcm,BP=(5t)cm；BQ=2tcm. (1)SBPQ=BPBQ 1 2 ,即 4=(5t) 2t 2 ， 解得：t=1 或 4.(t=4 秒不合题意,
4、舍去) 故：1 秒后,PBQ 的面积等于 4cm 2. (2)PQ=5,则 PQ 2=25=BP2+BQ2,即 25=(5t)2+(2t)2,t=0(舍)或 2. 故 2 秒后，PQ 的长度为 5cm. (3)令 SBPQ=7,即：BPBQ 1 2 =7,(5t) 2t 2 =7， 整理得：t 25t+7=0. 由于 b 24ac=2528=313000， 由此可知 2012 年 2 月份该市的商品房成交均价不会跌破 13000 元/m2. 【总结与反思】 此题考察在増降率题型中一元二次方程的应用，此类题型做题方法比较固定. 类型三 利润问题利润问题 超市以每件 50 元的价格购进 800 件
5、 T 恤，第一个月以单价 80 元销售，售出了 200 件；第二个月如果单价 不变，预计仍可售出 200 件.超市为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价第降低 1 元，可多售 出 10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，超市将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时 单价为 40 元，设第二个月单价降低 x 元. （1）完成下表（不化简） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）如果超市希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价是多少元？ 【解析】（1）80-x，200+10 x，800-200-（200+1
6、0 x） 例题 1 （2）根据题意，得 80200+（80-x）（200+10 x）+40800-200-（200+10 x）-50800=9000 整理得 10 x 2-200 x+1000=0， 即 x 2-20 x+100=0， 解得 x1=x2=10 当 x=10 时，80-x=7050 答：第二个月的单价应是 70 元 【总结与反思】此题考察了一元二次方程在利润问题中的应用，是中考中比较重要的一类题型. 1.某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 196 万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是( ) A50(1x 2)196 B5050(1x
7、 2)196 C5050(1x)50(1x) 2196 D5050(1x)50(12x)196 2.如图， 某农场要建一个长方形的养鸡场， 鸡场的一边靠墙， 墙长 25m， 另外三边用木栏围着， 木栏长 40m （1）若养鸡场面积为 200m 2，求鸡场靠墙的一边长 （2）养鸡场面积能达到 250m 2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由 四 、课堂运用 基础 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】根据题意可得. 2.【答案】见解析 【解析】（1）设宽为x米，长（402x）米，根据题意得：(402 )200 xx， 2 2402000 xx， 解得： 12 10 xx， 则
8、鸡场靠墙的一边长为：402x=20（米）， 答：鸡场靠墙的一边长 20 米 （2）根据题意得：(402 )250 xx， 2 2402500 xx， 22 4404 ( 2) ( 250)0bac ，方程无实数根， 不能使鸡场的面积能达到 250m 2 1.如图所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处 有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正 南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行
9、， 欲将一批物品送往军舰. （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？ （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航 行了多少海里？（精确到 0.1 海里） 2.电动自动车已成为市民日常出行的首选工具据某市某品牌电动自行车经销商 1 至 3 月份统计，该品牌 电动自行车 1 月份销售 150 辆，3 月份销售 216 辆 巩固 （1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； （2）若该品牌电动自行车的进价为 2300 元，售价为 2800 元，则该经销商 1 至 3 月共盈利多少元？ 答案与解析答案与解析 1.【答案】（1）100
10、 海里；（2）118.4 海里. 【解析】（1）F 位于 D 的正南方向，则 DFBC.因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 DF 1 2 AB100 海里， 所以，小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里. （2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DEx 海里，AB+BE2x 海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(300 2x)海里. 在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程 x21002+(3002x)2，整理，得 3x21200 x+1000000.解这个方 程，得x1200100 6 3 118.4，x2200+100 6 3 （不合题意，舍去）. 所以，相遇时补给船大约航
11、行了 118.4 海里. 2.【答案】(1) 20%(2) 273000 元. 【解析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x，根据题意列方程： 150（1+x）2=216， 解得 x1=-220%（不合题意，舍去），x2=20% 答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20% （2）二月份的销量是：150（1+20%）=180（辆） 所以该经销商 1 至 3 月共盈利：（2800-2300）（150+180+216）=500546=273000（元） 1.今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4 月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的 平均销售价格变化如表： 周数
12、x 1 2 3 4 价格 y（元/千克） 2 2.2 2.4 2.6 （1） 请观察题中的表格， 用所学过的一次函数、 反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y 与 x 的 函数关系式； 拔高 （2）进入 5 月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格 y（元/千克）从 5 月第 1 周的 2.8 元/千克 下降至第 2 周的 2.4 元/千克， 且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数 y=x2+bx+c， 请求出 5 月份 y 与 x 的函数关系式； （3）若 4 月份此种蔬菜的进价 m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为 m= x+1.2，5 月份此种蔬菜的 进价
13、 m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为 m=x+2试问 4 月份与 5 月份分别在哪一周销售此种 蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？ 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）通过观察可见四月份周数 y 与 x 的符合一次函数关系式，设这个关系式为：bkxy 则， 解得：， 4 月份 y 与x的函数关系式为8 . 12 . 0 xy； （2）将（1，2.8） （2，2.4）代入cbxxy 2 20 1 可得： 解之： 即1 . 3 4 1 20 1 2 xxy （3）4 月份此种蔬菜利润可表示为：W1=ym=（0.2x+1.8）（x+1.2） ，即：W1=0.0
14、5x+0.6； 由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W= 0.05 1+0.6=0.55（元/千克） ， 5 月份此种蔬菜利润可表示为：)2 5 1 () 1 . 3 4 1 20 1 ( 2 2 xxmyW 即：1 . 1 20 1 20 1 - 2 2 xxW 由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x= ， 即在第 1 至 4 周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W=+1.1=1 （元/千克） 一元二次方程解应用题的题型中以利润问题应用最为广泛，其考试热度也是最高的，此部分题目难度 较为适中
15、，是易于掌握的一部分题型. 1.如图，ABC 中，C=90，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另 一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t（s） （1）当 t 为几秒时，PCQ 的面积是ABC 面积的 1 4 ？ （2）PCQ 的面积能否为ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由 2.近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009 年投入 6000 万元，2011 年投入 8640 万 元 （1）求 2009 年至 2011 年该县投入教
16、育经费的年平均增长率； （2） 该县预计 2012 年投入教育经费不低于 9500 万元， 若继续保持前两年的平均增长率， 该目标能否实现？ 请通过计算说明理由 .3.某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元。经市场预测，若销售定价为 52 元时，可售出 180 个；定 价每增加 1 元，销售量将减少 10 个，定价每减少 1 元，销售量将增加 10 个。 (1)商店若准备获利 2000 元，则定价为多少元?应进货多少个? (2)请你为商店估算一下，当定价为多少元时，获得的利润最大?并求最大利润。 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 【解析】（1
17、）SPCQ= 1 2 t（82t），SABC= 1 2 48=16， 1 2 t（82t）=16 1 4 ， 整理得 t 24t+4=0， 解得 t=2 答：当 t=2s 时PCQ 的面积为ABC 面积的 1 4 ； （2）当 SPCQ= 1 2 SABC时， 1 2 t（82t）=16 1 2 ， 整理得 t 24t+8=0， =（4） 2418=160， 此方程没有实数根， PCQ 的面积不可能是ABC 面积的一半 2.【答案】见解析 【解析】（1）设每年平均增长的百分率为 x 6000（1+x） 2=8640， （1+x） 2=1.44， 1+x0， 1+x=1.2， x=20% 答：每
18、年平均增长的百分率为 20%； （2）2012 年该县教育经费为 8640 （1+20%）=10368（万元）9500 万元 故能实现目标 3.【答案】见解析 【解析】（1）设定价为 x 元,则进货为 18010(x52)=18010 x+520=(70010 x)个， 所以(x40)(70010 x)=2000， 解得 x1=50,x2=60； 当 x=50 时，70010 x=7001050=200 个； 当 x=60 时，70010 x=7001060=100 个； 答：商店若准备获利 2000 元，则定价为 50 元，应进货 200 个；或定价为 60 元，应进货 100 个； （2）
19、设利润为 w,则 w=(x40)(70010 x) =10 x2+1100 x28000 =10(x55)2+2250， 因此当 x=55 时,w最大=2250 元； 答：当定价为 55 元时，获得的利润最大，最大利润是 2250 元。 1.某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月 仅售出 1 部汽车， 则该部汽车的进价为 27 万元， 每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低 0.1 万元/部。 月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在 10 部以内，含 10 部，每部返利 0.5 万元，销售量 在 10 部以上，每部返利 1 万元
20、。 若该公司当月卖出 3 部汽车，则每部汽车的进价为 万元； 如果汽车的销售价位 28 万元/部，该公司计划当月盈利 12 万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售 利润+返利） 2.某商店经销甲、乙两种商品 现有如下信息： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的零售单价分别为_元和_元（直接写出答案） （2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 1200 件经调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元， 甲种商品每天可多销售 100 件 为了使每天获取更大的利润， 商店决定把甲种商品的零售单价下降 m （m0） 元 在不考虑其他因素的条件下， 当 m 定为多少时， 才
21、能使商店每天销售甲、 乙两种商品获取的利润共 1700 元？ 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）由题意，得 巩固 每部汽车的进价为:270.1(41)=26.7 万元， 汽车销售公司月盈利为:4(2826.7)+40.5=7.2 万元； 故答案为:26.7，7.2； （2）设该公司需售出 x 部汽车。由题意知: 每部汽车的销售利润为 28270.1(x1)=(0.1x+0.9)万元。 当 0 x10 时，由题意得:x(0.1x+0.9)+0.5x=12 整理得 x2+14x120=0 解得 x1=20，x2=6 由题知 x=20 不合题意舍去，取 x=6 当 x10 时，
22、由题意得:x(0.1x+0.9)+x=12 整理得 x2+19x120=0 解得 x1=24，x2=5 由题知 x=24 不合题意舍去，取 x=5 因为 510，所以 x=5 舍去。 答:该公司需售出 6 部汽车。 2.【答案】见解析 【解析】解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为 x，y 元， 根据题意得： 12) 12(2) 1(3 3 yx yx 解得： 2 1 y x 甲、乙零售单价分别为 2 元和 3 元； 故答案为：2，3； （2）根据题意得出： 170012001) 1 . 0 100500(-1 m m）（ 即02 2 mm 解得m=0.5 或m=0（舍去）， 答：当m定为
23、 0.5 元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 1700 元 1.阅读下列文字 2010 年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为 20 元，经市场发现该商品在未来 40 天内的日 销售量为 a 件，与时间 t 天的关系如下表： 时间 t（天） 1 3 6 10 36 日销售量 a（件） 94 90 84 76 24 未来 40 天内，前 20 天每天的价格 b（元/件）与时间 t 的关系为 b= t+25（1t20） ，后 20 天每天价格为 c （元/件）与时间 t 的关系式为 c= t+40（21t40）解得下列问题 （1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，
24、反比例函数知识确定一个满足这些数据的 a 与 t 的函数关系式； （2）请预测未来 40 天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前 20 天中该公司决定销售一件就捐赠 n 元（n4）利润给亚运会组委会，通过销售记 录发现前 20 天中，每天扣除捐赠后利润随时间 t 的增大而增大，求 n 的取值范围 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】 （1）将代入一次函数 a=kt+m， 有 a=2t+96， 经检验，其他点的坐标均适合以上解析式 故所求函数的解析式为 a=2t+96 （2）设前 20 天日销售利润为 P1，后 20 天日销售利润为 P2 由 P1=
25、（2t+96） （ t+5）= t2+14t+480= （t14）2+578， 1t20，当 t=14 时，P1有最大值 578 元， 由 P2=（2t+96） （ t+20）=t288t+1920=（t44）216， 21t40 且对称轴为 t=44，函数 P2在 21t40 上随 t 的增大而减小， 拔高 当 t=21 时，P2有最大值为（2144）216=52916=513（元） ， 578513，故第 14 天时，销售利润最大，为 578 元 （3）P3=（2t+96） （ t+5n）= t2+（14+2n）t+48096n， 对称轴为 t=14+2n， 1t20， 14+2n20 得 n3 时，P3随 t 的增大而增大， 又n4， 3n4 七 、教学反思