1、 配方法解一元二次方程 第4讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 一元二次方程的定义 一元二次方程的解 直接开平方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程 利用配方法解决一元二次方程的实际问题 教学目标 1、掌握一元二次方程的定义幵会列一元二次方程. 2、学会配方法解一元二次方程. 教学重点 能熟练掌握一元二次方程的配方法. 教学难点 用配方法解一元二次方程. 【教学建议教学建议】 正方形这种图形在生活中比较常见，并且在小学阶段已有涉及，在教学过程中，结合现实生活中的矩 形物体和复习回顾学过的矩形知识，将使学生对正方形的性质和判定有一个更
2、深刻的认识. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一部分知识的学习中，多做练习是快速提升对这部分知识掌握程度的最好方法. 配方法使用的是将二次项配成完全平方后再开方的方法，因此在学习本讲之前，应当复习一下完全平 方的做法，以便于更好的理解配方法的使用. 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的一般步骤： 把常数项移到方程右边； 方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为 1； 方程两边都加上一次项系数一半的平方； 原方程变形为（x+m） 2=n 的形式； 如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解 运用总结的配方法步骤解方
3、程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右 边；配方后右边是负数，确定原方程无解. 用配方法解二次项系数是 1 且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项: 先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式 的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n0） 的形式. 教学过程 考点 1 配方法解一元二次方程 二、知识讲解 一、导入 类型一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义 下列一元二次方程中,二次项系数、一次项系数和常数项分别是 1,-1,0 的是 ( ) A.(x-
4、2)(x+1)=0 B.(x-1) 2=2x2+1 C.(x+2)(x-3)+6=0 D.(2x-1) 2=3(x2-x) 【解析】C 选项 A 可化为 x 2-x-2=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是 1,-1,-2,故本选项错误; 选项 B 可化为 x 2+2x=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是 1,2,0,故本选项错误; 选项 C 可化为 x 2-x=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是 1,-1,0,故本选项正确; 选项 D 可化为 x 2-x+1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是 1,-1,1,故本选项错误. 【总结与反思】本题考查了一元二次方程的一般形式
5、. 类型二 一元二次方程的解一元二次方程的解 若关于 x 的一元二次方程）（0a0cbxax2的一个根是 1， 且 a， b 满足等式33-aa3b， 求此一元二次方程。 【解析】06x3x3 2 将 x=1 代入方程 ax 2+bx+c=0， 得：a+b+c=0； 又a、b 满足等式33-aa3b a-30，3-a0； a=3， b=3； 则 c=-a-b=-6 三 、例题精析 例题 1 例题 1 该一元二次方程为06x3x3 2 【总结与反思】 此题考察了无理数的知识和一元二次方程的求解. 类型三 直接开平方法解一元二次方程（增长率）直接开平方法解一元二次方程（增长率） 用直接开平方法解下
6、列一元二次方程，其中无解的方程为（ ） （A） 2 x50 （B）3 2 x0 （C） 2 x40 （D） 2 (1)x0 【解析】C X 2 = -4， X 无解. 【总结与反思】此题考察了平方的知识. 类型四 配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程 若|m|=1,求关于 x 的一元二次方程(m-1)x 2+(m+5)x+2=0 的解. 【解析】|m|=1,m=1, 又该方程是一元二次方程,m-10, m1,m=-1, 原方程为-2x 2+4x+2=0,x2-2x-1=0, x 2-2x+1=1+1,即(x-1)2=2, x-1=,x1=1+,x2=1-. 【总结与反思】此题考察了一元二次
7、方程的求解方法. 例题 1 例题 1 类型五 利用配方法解决一元二次方程的实际问题利用配方法解决一元二次方程的实际问题 如图所示，把一边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不 计）。 （1） 如图， 若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形， 将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。 要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ 折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果 没有，说明理由。 【解析】（1）9cm有最大值，当剪掉的正方形的边长为 10cm 时，长方形盒子
8、的侧面积最大为 800cm2 （2）长方体盒子的长为 15cm，宽为 10cm，高为 5cm 解：（1）设剪掉的正方形的边长为 xcm。 则（402x） 2=484，解得 1 x31（不合题意，舍去）， 2 9x 。 剪掉的正方形的边长为 9cm。 侧面积有最大值。 设剪掉的正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 ycm 2， 则 y 与 x 的函数关系为： 22 y4(402x)x8x160 x8(x 10)800 ， x=10 时，y最大=800。 即当剪掉的正方形的边长为 10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为 800cm2。 （3）在如图的一种剪裁图中， 例题 1 设剪掉的正方形的边长
9、为 xcm。 则2(402 )(20)2 (20)2 (402 )550 xxxxxx ， 解得： 1 35x （不合题意，舍去）， 2 15x 。 剪掉的正方形的边长为 15cm。 此时长方体盒子的长为 15cm，宽为 10cm，高为 5cm。 【总结与反思】一元二次方程的应用是中考中的热点题型，这部分一定要多加练习牢固掌握. 1.关于 x 的方程（a1）x 2+ 1a x+1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） A.a1 B.a1 且 a1 C.a1 且 a1 D.a 为任意实数 2.若 a（a0）是关于 x 的方程 x 2+bx2a=0 的根，则 a+b 的值为（ ） A.1
10、 B.2 C.1 D.2 3.若方程(x-m) 2-12=0 的两根均为正数,其中 m 为整数,则 m 的最小值是 . 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】1a 得1a，但 a-1 是二次项系数，a1. 2.【答案】B 【解析】将 x=a 代入方程，然后将方程的左边因式分解即可得到答案 解：a（a0）是关于 x 的方程 x2+bx2a=0 的根， a2+ab2a=0， a（a+b2）=0， a=0 或 a+b2=0， a0， a+b2=0， a+b=2 四 、课堂运用 基础 故选 B 3.【答案】4 【解析】(x-m)2-12=0,(x-m)2=12, x=m,又两根均为正数,且 4
11、3, m 的最小值是 4. 1.用配方法解一元二次方程 ax 2bxc0，此方程可变形为（ ） A. 2 2 2 4 4 2a acb a b x B. 2 2 2 4 4 2a bac a b x C. 2 2 2 4 4 2a acb a b x D. 2 2 2 4 4 2a bac a b x 2.若方程02xx3k 1k ）（是一元二次方程，求不等式 260kxk 的解集。 3.用直接开平方法解下列方程 （1）x 2-25=0 （2）9x2-25=0 4.阅读下面的材料并解答后面的问题: 小力:能求出 x 2+4x+3 的最小值吗?如果能,其最小值是多少? 小强:能.求解过程如下:因
12、为 x 2+4x+3=x2+4x+4-4+3=(x2+4x+4)+(-4+3)=(x+2)2-1,而(x+2)20, 所以 x 2+4x+3 的最小值是-1. 问题:(1)小强的求解过程正确吗? (2)你能否求出 x 2-8x+5 的最小值?如果能,写出你的求解过程. 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】依据配方的步骤即可得出 C. 2.【答案】2x 【解析】方程02xx3k 1k ）（是一元二次方程 3k 解不等式 260kxk ，将 3k 带入得： 4x 巩固 3.【答案】（1）x=5 （2） 5 3 x 【解析】计算较为简单. 4.【答案】见解析 【解析】(1)正确. (2)能
13、.过程如下: x 2-8x+5=x2-8x+16-16+5=(x-4)2-11, (x-4) 20,x2-8x+5 的最小值是-11. 1.已知 m 是方程 x 2-2014x+1=0 的一个根,求 m2-2014m+ 的值 答案与解析答案与解析 1.【答案】 5 4 ， 1 5 ， n nn 2 12 2 【解析】m 是方程 x 2-2014x+1=0 的一个根, m 2-2014m+1=0,m2-2014m=-1, m 2+1=2014m, m 2-2014m+ =-1+=-1+1=0. 本节的重要内容：配方法解一元二次方程. 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的一般步骤： 把常
14、数项移到方程右边； 方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为 1； 方程两边都加上一次项系数一半的平方； 原方程变形为（x+m）2=n 的形式； 如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解 五 、课堂小结 拔高 1.一元二次方程（x+6） 2 =16 可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x+6=4，则另一个一元一 次方程为（ ） A、x-6=4 B、x-6= -4 C、x+6=4 D、x+6= -4 2.一元二次方程 2 53xx的一般形式是 . 3.若果一元二次方程 2 0(0)axbxca的系数 a,b,c 满足 a-b+c=0，那么方程
15、的其中一个根是 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】4 的平方均是 16. 2.【答案】 2 530 xx 【解析】移项. 2.【答案】-1 【解析】当 x=1 时，a-b+c=0. 1.一元二次方程 2 2(1)1(1)xmxx x 化为二次项系数为 1 的一般形式后，一次项系数为-1，求 m 的 值。 2. 用配方法解一元二次方程 （1）x 22x2=0 （2） 2x2-4x-10=0 4.已知三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是一元二次方程 x 216x600 的一个根.请用配方法解此方 程，并计算出三角形的面积. 答案与解析答案与解析 1. 【答案】 【解析】 一元二次
16、方程 2x2-（m+1）x+1=x（x+1）可化为 2x2-（m+1）x+1=x2+x， 整理得 x2-（m+1）x-x+1=0， 六 、课后作业 基础 巩固 x2-mx+1=0， 一次项的系数为-1， m 的值为-1 故答案为-1 2.【答案】（1）x1=1+3，x2=13 （2） 61 1 x ， 61 2 x 【解析】计算较为简单 3.【答案】见解析 【解析】首先解方程 x2-16x+60=0 得， 原方程可化为：（x-6）（x-10）=0， 解得 x1=6 或 x2=10；（5 分） 如图（1）根据勾股定理的逆定理，ABC 为直角三角形， SABC= 1 2 68=24； 如图（2）A
17、D= 22 64=25，（12 分） SABC= 1 2 825=85（15 分） 1.已知 a 是方程 2 201510 xx 的解，求代数式 2 2 2 2015 240291 1 a aa a 的值 2.阅读并解答问题 用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为03 2 a，所以13 2 a就有最小 值 1， 即113 2 a， 只有当0a时， 才能得到这个式子的最小值 1 同样， 因为03 2 a， 所以13 2 a 有最大值 1，即113 2 a，只有在0a时，才能得到这个式子的最大值 1 拔高 (1)当x= 时，代数式3) 1(2 2 x有最 （填写大或小）值为
18、 (2)当x= 时，代数式342 2 xx有最 （填写大或小）值为 (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是 16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园 的面积最大？最大面积是多少? 3.三角形两边的长是 2 和 5,第三边的长是方程 x 2- x+2=0 的根,则该三角形的周长为 答案与解析答案与解析 1.【答案】-1 【解析】 将 x=a 带入 2 201510 xx 得 2 201510aa ， 2 12015aa 则 2 22 2 2015 2402912(2015 )11 1 a aaaaaa a 2.【答案】见解析 【解析】(1)1，大，3 (2)1，大，5 (3)长为 8 时，面积最大是 32 3.【答案】见解析 【解析】解方程 x 2- x+2=0,得 x 1=2,x2=5,当 x=2 时,2+25,此时不能构成三角形 该三角形的周长为 2+5+5=12. 七 、教学反思