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【秋季课程北师大版初三数学】第1讲:菱形的性质与判定_学案

1、 菱形的性质与判定 通过对本节课的学习,你能够: 掌握菱形的性质与判定. 学会应用菱形的性质解决最值问题. . 第1讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 菱形的性质 菱形的轴对称性(最值问题)和面积 菱形的判定 菱形的性质与判定 教学目标 1、掌握菱形的性质与判定. 2、学会应用菱形的性质解决最值问题. 教学重点 能熟练掌握菱形的性质与判定. 教学难点 菱形综合题. 【知识导图】【知识导图】 概 述 在七八年级的学习中我们已经学习过了平行四边形的性质和判定,在本讲中我们将会学习平行四边形 中的特殊图形之一菱形,它在初中数学四边形题型中占

2、据了非常重要的位置. 定义:一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形 性质:除具备一般平行四边形的性质外,还具备四条边相等,对角线互相垂直,并且每条对角线平分 一组对角 菱形判定定理 1:四边都相等的四边形是菱形 1、已知:如图,在 ABCD 中,BDAC,O 为垂足 求ABCD 是菱形. 启发:在已知是平行四边形的情况下,要证明是菱形,只要证 明一组邻边相等 证明:四边形 ABCD 是平行四边形, AOCO(平行四边形的对角线互相平分) BDAC, ADCD ABCD 是菱形(菱形的定义) 结论:菱形判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2、猜想:对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形?

3、 启发:通过四个直角三角形的全等得到四条边相等 结论:对角线互相垂直平分的四边形是菱形 教学过程 考点 1 菱形的定义和性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 菱形的判定 类型一 菱形的定义与性质 如图,菱形 ABCD 的周长为 24cm,对角线 AC、BD 相交于 O 点,E 是 AD 的中点,连接 OE,则线段 OE 的长等 于【 】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 【总结与反思】 类型二 菱形的轴对称性(最值问题)和面积菱形的轴对称性(最值问题)和面积 如图,已知菱形 ABCD 中,ABC=60,AB=8,过线段 BD 上的一个动点 P(不与 B、D 重合)分别向直线

4、 AB、AD 作垂线,垂足分别为 E、F (1)BD 的长是_ (2)连接 PC,当 PE+PF+PC 取得最小值时,此时 PB 的长是_ 【总结与反思总结与反思】 类型三 菱形的判定菱形的判定 如图,将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE,连接 AD,下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是( ) A、AB=BC B、AC=BC C、B=60 D、ACB=60 三 、例题精析 例题 1 例题 1 例题 1 【总结与反思】 1.在菱形 ABCD 中,若ADC=120,对角线 AC=6,则菱形的周长是( ) A43 B24 C83 D243 2.如图,菱形 ABCD 中,P 为对角线 AC

5、上一动点,E,F 分别为 AB、BC 中点,若 AC=8,BD=6,则 PE+PF 的最 小值为_. 1.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AC=12,BD=16,E 为 AD 中点,点 P 在 x 轴上移动.小 明同学写出了两个使POE 为等腰三角形的 P 点坐标(-5,0)和(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标 . 四 、课堂运用 基础 巩固 2.如图所示,在 RtABC 中,AD 平分BAC,交 BC 于 D,CHAB 于 H,交 AD 于 F,DEAB 垂足为 E,求证: 四边形 CFDE 是菱形. . 1.如图,边长为 4 的菱形 ABC

6、D 中,DAB=60,E 是 AD 上的动点(与 A,D 不重合),F 是 CD 上的动点, 且 AE+CF=4 (1)求证:不论点 E,F 的位置如何变化,BEF 是正三角形; (2)设 AE=x,BEF 的面积是 S,求 S 与 x 的函数关系式 拔高 2.已知 AC 是菱形 ABCD 的对角线,BAC=60,点 E 是直线 BC 上的一个动点,连接 AE,以 AE 为边作菱形 AEFG,并且使EAG=60,连接 CG,当点 E 在线段 BC 上时(如图 1)易证:AB=CG+CE当点在 E 线段 BC 的延长线上时(如图 2),猜想 AB、CG、CE 之间的关系并证明;当点在 E 线段

7、CB 的延长线上时(如图 3), 猜想 AB、CG、CE 之间的关系 本节的重要内容:菱形的性质与判定. 四边都相等的四边形是菱形; 在已知是平行四边形的情况下,要证明是菱形,只要证明一组邻边相等; 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 1.如图所示,在菱形 ABCD 中,对角线 AC=10,BD=24,AEBC 于 E,则 AE 的长是( ) A120 60240 . 131313 BC D8 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 2.如图,四边形 ABCD 是对角线互相垂直的四边形,且 OB=OD,请你添加一个适当的条件 , 使四边形 ABCD 成为菱形.(只需添加一个条件即可) 3.如图,在

8、菱形 ABCD 中,B=60,点 E、F 分别在边 AB、AD 上,且 AE=DF (1)试猜想ECF 的形状,并说明理由 (2)若 AB=10,那么ECF 的周长是否存在最小值?如果存在,请求出来;如果不存在,请说明理由 1. 如图,在四边形 ABCD 中,AC=BD=6,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则 EG 2+FH2= . 2.(2011福州)已知,矩形 ABCD 中,AB=4cm,BC=8cm,AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F,垂 足为 O (1)如图 1,连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形,并求 AF 的长; (2)如图

9、 2,动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AF BA 停止,点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中, 已知点 P 的速度为每秒 5cm,点 Q 的速度为每秒 4cm,运动时间为 t 秒,当 A、C、P、Q 四点为顶点的四 边形是平行四边形时,求 t 的值 若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b(单位:cm,ab0),已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四 边形,求 a 与 b 满足的数量关系式 巩固 1.在菱形 ABCD 中,ABC=60,E 是对角线 AC 上一点,F 是线段 BC 延长线上一点,且 CF=AE,连接 BE、

10、 EF. (1)若 E 是线段 AC 的中点,如图 1,求证:BE=EF; (2)若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点,其它条件不变, 如图 2、图 3,线段 BE、EF 有怎样的数 量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明. 拔高 2.如图,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,点 A、B、E 在同一条直线上,P 是线段 DF 的中点,连接 PG,PC若 3 BDGE ACBF (1)请写出线段 PG 与 PC 所满足的关系;并加以证明 (2)若将图中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转,使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上,原问题中的其他条件不变,如图那么你在(1)中得到的结论是否发生变化?若没变化, 直接写出结论,若有变化,写出变化的结果 (3)若将图中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请猜想(1)中的结 论有没有变化?