1、 菱形的性质与判定 通过对本节课的学习，你能够： 掌握菱形的性质与判定. 学会应用菱形的性质解决最值问题. . 第1讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 菱形的性质 菱形的轴对称性（最值问题）和面积 菱形的判定 菱形的性质与判定 教学目标 1、掌握菱形的性质与判定. 2、学会应用菱形的性质解决最值问题. 教学重点 能熟练掌握菱形的性质与判定. 教学难点 菱形综合题. 【知识导图】【知识导图】 概 述 在七八年级的学习中我们已经学习过了平行四边形的性质和判定，在本讲中我们将会学习平行四边形 中的特殊图形之一菱形，它在初中数学四边形题型中占
2、据了非常重要的位置. 定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形 性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分 一组对角 菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形 1、已知：如图，在 ABCD 中，BDAC，O 为垂足 求ABCD 是菱形. 启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证 明一组邻边相等 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AOCO（平行四边形的对角线互相平分） BDAC， ADCD ABCD 是菱形（菱形的定义） 结论：菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？
3、 启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等 结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 教学过程 考点 1 菱形的定义和性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 菱形的判定 类型一 菱形的定义与性质 如图，菱形 ABCD 的周长为 24cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长等 于【 】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 【总结与反思】 类型二 菱形的轴对称性（最值问题）和面积菱形的轴对称性（最值问题）和面积 如图，已知菱形 ABCD 中，ABC=60，AB=8，过线段 BD 上的一个动点 P（不与 B、D 重合）分别向直线
4、 AB、AD 作垂线，垂足分别为 E、F （1）BD 的长是_ （2）连接 PC，当 PE+PF+PC 取得最小值时，此时 PB 的长是_ 【总结与反思总结与反思】 类型三 菱形的判定菱形的判定 如图，将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是（ ） A、AB=BC B、AC=BC C、B=60 D、ACB=60 三 、例题精析 例题 1 例题 1 例题 1 【总结与反思】 1.在菱形 ABCD 中，若ADC=120，对角线 AC=6，则菱形的周长是（ ） A43 B24 C83 D243 2.如图，菱形 ABCD 中，P 为对角线 AC
5、上一动点，E,F 分别为 AB、BC 中点，若 AC=8，BD=6，则 PE+PF 的最 小值为_. 1.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=12，BD=16，E 为 AD 中点，点 P 在 x 轴上移动.小 明同学写出了两个使POE 为等腰三角形的 P 点坐标（-5,0）和（5,0）.请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标 . 四 、课堂运用 基础 巩固 2.如图所示，在 RtABC 中，AD 平分BAC，交 BC 于 D，CHAB 于 H，交 AD 于 F，DEAB 垂足为 E，求证： 四边形 CFDE 是菱形. . 1.如图，边长为 4 的菱形 ABC
6、D 中，DAB=60，E 是 AD 上的动点（与 A，D 不重合），F 是 CD 上的动点， 且 AE+CF=4 （1）求证：不论点 E，F 的位置如何变化，BEF 是正三角形； （2）设 AE=x，BEF 的面积是 S，求 S 与 x 的函数关系式 拔高 2.已知 AC 是菱形 ABCD 的对角线，BAC=60，点 E 是直线 BC 上的一个动点，连接 AE，以 AE 为边作菱形 AEFG，并且使EAG=60，连接 CG，当点 E 在线段 BC 上时（如图 1）易证：AB=CG+CE当点在 E 线段 BC 的延长线上时（如图 2），猜想 AB、CG、CE 之间的关系并证明；当点在 E 线段
7、CB 的延长线上时（如图 3）， 猜想 AB、CG、CE 之间的关系 本节的重要内容：菱形的性质与判定. 四边都相等的四边形是菱形； 在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 1.如图所示，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=10，BD=24，AEBC 于 E，则 AE 的长是（ ） A120 60240 . 131313 BC D8 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 2.如图，四边形 ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=OD，请你添加一个适当的条件 ， 使四边形 ABCD 成为菱形.（只需添加一个条件即可） 3.如图，在
8、菱形 ABCD 中，B=60，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AE=DF （1）试猜想ECF 的形状，并说明理由 （2）若 AB=10，那么ECF 的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由 1. 如图，在四边形 ABCD 中，AC=BD=6，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则 EG 2+FH2= . 2.（2011福州）已知，矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂 足为 O （1）如图 1，连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长； （2）如图
9、 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AF BA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中， 已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，当 A、C、P、Q 四点为顶点的四 边形是平行四边形时，求 t 的值 若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab0），已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四 边形，求 a 与 b 满足的数量关系式 巩固 1.在菱形 ABCD 中，ABC=60，E 是对角线 AC 上一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF=AE，连接 BE、
10、 EF. （1）若 E 是线段 AC 的中点，如图 1，求证：BE=EF； （2）若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变， 如图 2、图 3，线段 BE、EF 有怎样的数 量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明. 拔高 2.如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC若 3 BDGE ACBF （1）请写出线段 PG 与 PC 所满足的关系；并加以证明 （2）若将图中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化， 直接写出结论，若有变化，写出变化的结果 （3）若将图中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请猜想（1）中的结 论有没有变化？