1、1第 11 讲 反比例函数命题点 1 反比例函数的图象与性质1(2017河北 T152 分)如图，若抛物线 yx 23 与 x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为 k，则反比例函数 y (x0)的图象是(D)kxA B C D2(2011河北 T123 分)根据图 1 所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象，如图 2，若点 M 是 y 轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQx 轴交图象于点 P，Q，连接 OP，OQ，则以下结论：x0 时，y ；OPQ 的面积为定值；2xx0 时，y 随 x 的增大而增大；MQ2PM；POQ 可以等于 90.其中正确结论是(
2、B)图 1 图 2A B C D3(2013河北 T103 分)反比例函数 y 的图象如图所示，以下结论：常数 m1；在每个象限内，y 随mxx 的增大而增大；若 A(1，h)，B(2，k)在图象上，则 hk；若 P(x，y)在图象上，则 P(x，y)也在图象上其中正确的是(C)A B C D4(2014河北 T143 分)定义新运算：ab 例如：45 ，4(5) .则函数ab（ b 0） ， ab（ b 0） .) 45 45y2x(x0)的图象大致是(D)A B C D5(2015河北 T103 分)一台印刷机每年可印刷的书本数量 y(万册)与它的使用时间 x(年)成反比例关系，当2x2
3、时，y20.则 y 与 x 的函数图象大致是(C)A B C D6(2012河北 T228 分)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)反比例函数y (x0)的图象经过点 D，点 P 是一次函数 ykx33k(k0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点mx(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数 ykx33k(k0)的图象一定经过点 C；(3)对于一次函数 ykx33k(k0)，当 y 随 x 的增大而增大时，确定点 P 横坐标的取值范围(不必写出过程)解：(1)B(3，1)，C(3，3)，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC2，B
4、Cx 轴ADx 轴又A(1，0)，D(1，2)D 在反比例函数 y 的图象上，mxm122.反比例函数的解析式为 y .2x(2)当 x3 时，ykx33k3，一次函数 ykx33k(k0)的图象一定过点 C.(3)设点 P 的横坐标为 a，则 a3.23命题点 2 反比例函数的实际应用7(2017河北 T2612 分)见本书 P209 例 58(2018河北 T2611 分)见本书 P212T6重难点 1 反比例函数的图象与性质(2018衡阳)对于反比例函数 y ，下列说法不正确的是(D)2xA图象分布在第二、四象限B当 x0 时，y 随 x 的增大而增大C图象经过点(1，2)D若点 A(x
5、1，y 1)，B(x 2，y 2)都在图象上，且 x1x 2，则 y1y 2【思路点拨】反比例函数的基本考查包括图象的位置、增减性、经过某些已知点等因为 k20，y4，M(6，4)N(4，6)【变式训练 2】(2018石家庄模拟)如图，直线 yx2 与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y (k0)的图象交于kx点 C，过点 C 作 CBx 轴于点 B，AO2BO，则反比例函数的解析式为(B)Ay3x4By3xCy32xDy 32x【变式训练 3】(2018河北模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 yx 的图象与反比例函数y (x0)的图象交于点 A(m，2)，过反比例函数 y
6、(x0)的图象上另一点 C(4，n)作直线 OA 的平行线，交 ykx kx轴于点 B，连接 AB，AC.(1)求 k 的值方 法 指 导1确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可另外将已知点的坐标或部分坐标代入解析式中，从而确定字母的值是我们经常用的方法2双曲线 y 中，根据 k 的几何意义求图形面积常用图形有：kxS 阴影 |k| S阴影 |k|2 S阴影 |k|3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，所以在本题中，图形是关于直线 yx 的轴对称图形，对解答第(2)问提供解题思路求OMN 的面积通常利用割补法，在本题中，利用正方形面积减去周围
7、三个直角三角形的面积即可, 易 错 提 示(2)求直线 BC 的解析式；(3)求ABC 的面积解：(1)点 A(m，2)在正比例函数 yx 的图象上，2m，即 m2.把 A(2，2)代入 y ，得2 .kx k2k4.(2)由(1)可知，反比例函数的解析式为 y (x0) 4x点 C 在反比例函数 y (x0)的图象上，n 1. 4x 44点 C 的坐标为(4，1)直线 BC 与 OA 平行，可设直线 BC 的解析式为 yxb，把 C(4，1)代入，得14b.解得 b3.直线 BC 的解析式为 yx3.(3)连接 OC，由 BCOA，可知 SABC S OBC ，由(2)易知，点 B 的坐标是
8、(0，3)，点 C 的坐标是(4，1)S ABC S OBC 346.125重难点 3 反比例函数的实际应用(2018乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 y()与时间 x(h)之间的函数关系，其中线段 AB，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度 y 与时间 x(0x24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于 10 时，蔬菜会受到伤害问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到
9、伤害？【思路点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值 y10 即可【自主解答】 解：(1)设线段 AB 解析式为 yk 1xb(k0)，线段 AB 过点(0，10)，(2，14)，代入，得解得b 10，2k1 b 14， ) k1 2，b 10.)AB 解析式为 y2x10(0x5)B 在线段 AB 上，当 x5 时，y20.B 坐标为(5，20)线段 BC 的解析式为 y20(5x10) 设双曲线 CD 的解析式为 y (k20)k2xC(10，20)，k 2200.双曲线 CD 解析式为 y (10x24)200xy 关于 x 的函数解析式为 y2x
10、 10（ 0 x14(2018河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，点 A 在函数 y (x0)的图象上，点 B 在函数 y (x7 时，溶液呈碱性；当 pH7 时，溶液呈酸性若将给定的 HCl 溶液加水稀释，那么在下列图象中，能反映 HCl 溶液的 pH 与所加水的体积(V)的变化关系的是(C)6(2017黔东南)如图，已知点 A，B 分别在反比例函数 y1 和 y2 的图象上若点 A 是线段 OB 的中点，则2x kxk 的值为87(2018泰安)如图，矩形 ABCD 的两边 AD，AB 的长分别为 3，8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y 的图象经过mx点 E，与 AB 交于点 F.(
11、1)若点 B 坐标为(6，0)，求 m 的值及图象经过 A，E 两点的一次函数的解析式；(2)若 AFAE2，求反比例函数的解析式解：(1)点 B 坐标为(6，0)，AD3，AB8，E 为 CD 的中点，点 A(6，8)，E(3，4)函数图象经过点 E，m3412.设 AE 的解析式为 ykxb，将点 A，E 坐标代入，得解得 6k b 8， 3k b 4， ) k 43，b 0. )一次函数的解析式为 y x.43(2)AD3，DE4，AE 5.AD2 DE2AFAE2，AF7，BF1.8设点 E 坐标为(a，4)，则点 F 坐标为(a3，1)，E，F 两点在函数 y 图象上，mx4aa3，
12、解得 a1.E(1，4)m144.反比例函数的解析式为 y .4x8(2017连云港)设函数 y 与 y2x6 的图象的交点坐标为(a，b)，则 的值是2.3x 1a 2b9(2018随州)如图，一次函数 yx2 的图象与反比例函数 y (k0)的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴交于kx点 C.若 tanAOC ，则 k 的值为 31310(2018保定二模)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足为点 B，反比例函数 y (x0)的图象经过 AO 的中点 C，且与 AB 相交于点 D，OB4，AD3.kx(1)求反比例函数 y 的解析式；kx(2
13、)求 cosOAB 的值；(3)求经过 C，D 两点的一次函数解析式解：(1)设点 D 的坐标为(4，m)(m0)，则点 A 的坐标为(4，3m)点 C 为线段 AO 的中点，点 C 的坐标为(2， )3 m2点 C，D 均在反比例函数 y 的图象上，kx 解得k 4m，k 23 m2 ， ) m 1，k 4.)反比例函数的解析式为 y .4x(2)m1，点 A 的坐标为(4，4)，OB4，AB4.RtAOB 是等腰直角三角形cosOABcos45 .229(3)m1，点 C 的坐标为(2，2)，点 D 的坐标为(4，1)设经过点 C，D 的一次函数的解析式为 yaxb，则有解得2 2a b，1 4a b， ) a 12，b 3. )经过 C，D 两点的一次函数解析式为 y x3.1211(2018河北模拟)为了建设生态丽水，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，下列描述的是月利润 y(万元)关于月份 x 之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是(C)A5 月份该厂的月利润最低B治污改造完成后，每月利润比前一个月增加 30 万元C治污改造前后，共有 6 个月的月利润不超过 120 万元D治污改造完成后的第 8 个月，该厂月利润达到 300 万元