1、第第 3 3 章章 勾股定理勾股定理 单元测试卷单元测试卷 一、选择题（共 8 小题）. 1（3 分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由 汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦 图”.2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是 （ ） A B C D 2（3 分）如图中，边长k等于 5 的直角三角形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （3 分）五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形， 如图，其中正确的是（ ） A B C D 4（3 分
2、）用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论 中正确的是（ ） Ac 2a2+b2 Bc 2a2+2ab+b2 Cc 2a22ab+b2 Dc 2（a+b）2 5 （3 分） 如图， 在ABC中，ABAC5，BC8，D是线段BC上的动点 （不含端点B、C） 若 线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 6（3 分）如图，长为 8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉 升 3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 7（3 分）如图，长方体的长为 15 宽为 10，高为
3、20，点B离点C的距离为 5，一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A20 B25 C30 D32 8（3 分）如果正整数a、b、c满足等式a 2+b2c2，那么正整数 a、b、c叫做勾股数，某 同学将自己探究勾股数的过程列成下表， 观察表中每列数的规律， 可知x+y的值为 （ ） A47 B62 C79 D98 二、填空题（每小题 4 分；共 24 分） 9（4 分）直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的周长 为 10（4 分）如图所示的网格是正方形网格，ABC和CDE的顶点都是网格线交点，那么 BAC+CDE 11（4 分）汉代数
4、学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的 瑰宝 如图所示的弦图中， 四个直角三角形都是全等的， 它们的两直角边之比均为 2： 3， 则中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为 12（4 分）如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA （点A，B，P是网 格线交点） 13（4 分）如图，一张三角形纸片ABC，C90，AC8cm，BC6cm现将纸片折叠： 使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm 14（4 分）腰长为 5，高为 4 的等腰三角形的底边长为 三、解答题（15-18 题每题 10 分，19 题 12 分，共 52 分） 15（10 分）如图，在ABC
5、中，B90，AB3，AC5，D为BC边上的中点 （1）求BD，AD的长度； （2）将ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F求AE，BE 的长度 16（10 分）如图，AB为一棵大树（垂直于地面，即ABBC），在树上距地面 12m的D处 有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A 处， 再利用拉在A处的滑绳AC， 滑到C处， 另一只猴子从D处滑到地面B， 再由B跑到C， 已知两猴子经过的路程都是 20m，求树高AB 17（10 分）如图，等腰直角三角板如图放置直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作 AE直线m于点E，BD直线m于点D 求证
6、：ECBD； 若设AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理 18（10 分）已知：如图，在四边形ABCD中，B90，ABBC2，CD3，AD1，求 DAB的度数 19（12 分）如图，四边形ABCD中，C90，ADDB，点E为AB的中点，DEBC （1）求证：BD平分ABC； （2）连接EC，若A30，DC，求EC的长 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1（3 分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由 汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦 图”.2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案
7、中是“赵爽弦图”的是 （ ） A B C D 解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形， 如图所示： 故选：B 2（3 分）如图中，边长k等于 5 的直角三角形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：如图 1，k5； 如图 2，k5； 如图 3，k8； 如图 4，k7 故选：B 3 （3 分）五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形， 如图，其中正确的是（ ） A B C D 解：A、7 2+242252，152+202242，222+202252，故 A不正确； B、7 2+242252，152+2022
8、42，故 B不正确； C、7 2+242252，152+202252，故 C正确； D、7 2+202252，242+152252，故 D不正确 故选：C 4（3 分）用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论 中正确的是（ ） Ac 2a2+b2 Bc 2a2+2ab+b2 Cc 2a22ab+b2 Dc 2（a+b）2 解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c， 里边的小四边形也为正方形，边长为ba， 则有c 2 ab4+（ba） 2， 整理得：c 2a2+b2 故选：A 5 （3 分） 如图， 在ABC中，ABAC5，BC8，D是
9、线段BC上的动点 （不含端点B、C） 若 线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 解：过A作AEBC， ABAC， ECBEBC4， AE3， D是线段BC上的动点（不含端点B、C） 3AD5， AD3 或 4， 线段AD长为正整数， AD的可以有三条，长为 4，3，4， 点D的个数共有 3 个， 故选：C 6（3 分）如图，长为 8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉 升 3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 解：RtACD中，ACAB4cm，CD3cm； 根据勾股定理，得：AD5cm
10、； AD+BDAB2ADAB1082cm； 故橡皮筋被拉长了 2cm 故选：A 7（3 分）如图，长方体的长为 15 宽为 10，高为 20，点B离点C的距离为 5，一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A20 B25 C30 D32 解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第 1 个图： 长方体的宽为 10，高为 20，点B离点C的距离是 5， BDCD+BC10+515，AD20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： AB25； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形， 如第2个图： 长方体
11、的宽为 10，高为 20，点B离点C的距离是 5， BDCD+BC20+525，AD10， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： AB； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第 3 个图： 长方体的宽为 10，高为 20，点B离点C的距离是 5， ACCD+AD20+1030， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： AB； 255， 蚂蚁爬行的最短距离是 25， 故选：B 8（3 分）如果正整数a、b、c满足等式a 2+b2c2，那么正整数 a、b、c叫做勾股数，某 同学将自己探究勾股数的过程列成下表， 观察表中每列数的规律， 可知x+y的值为 （ ） A47
12、 B62 C79 D98 解：由题可得，32 21，422，522+1， an 21，b2n，cn2+1， 当cn 2+165 时，n8， x63，y16， x+y79， 故选：C 二、填空题（每小题 4 分；共 24 分） 9（4 分）直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的周长为 （3+）cm 解：直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm， 直角三角形的斜边长为2cm， 这个直角三角形的周长为+6（3+）cm， 故答案为：（3+）cm 10（4 分）如图所示的网格是正方形网格，ABC和CDE的顶点都是网格线交点，那么 BAC+CDE 45 解：连接AD， 由勾股定理得：
13、AD 212+3210，CD212+3210，AC222+4220， ADCD，AD 2+CD2AC2， ADC90， DACACD45， ABDE， BAD+ADE180， BAC+CDE180904545， 故答案为：45 11（4 分）汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的 瑰宝 如图所示的弦图中， 四个直角三角形都是全等的， 它们的两直角边之比均为 2： 3， 则中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为 1：13 解：设两直角边分别是 2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形 边长为x， 所以S大正方形13x 2，S 小正方形x 2，
14、S 阴影12x 2， 中间围成的小正方形的面积与整个图形（大正方形）的面积之比为1：13； 故答案为：1：13 12（4 分）如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA 45 （点A，B，P是网 格线交点） 解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD 2BD21+225，PB212+3210， PD 2+DB2PB2， PDB90， DPBPAB+PBA45， 故答案为：45 13（4 分）如图，一张三角形纸片ABC，C90，AC8cm，BC6cm现将纸片折叠： 使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm 解：如图，折痕为GH， 由勾股定理得：AB10cm， 由折叠得：AGBGAB105cm，G
15、HAB， AGH90， AA，AGHC90， ACBAGH， ， ， GHcm 故答案为： 14（4 分）腰长为 5，高为 4 的等腰三角形的底边长为 6 或 2或 4 解：如图 1 当ABAC5，AD4， 则BDCD3， 底边长为 6； 如图 2 当ABAC5，CD4 时， 则AD3， BD2， BC2， 此时底边长为 2； 如图 3： 当ABAC5，CD4 时， 则AD3， BD8， BC4， 此时底边长为 4 故答案为：6 或 2或 4 三、解答题（15-18 题每题 10 分，19 题 12 分，共 52 分） 15（10 分）如图，在ABC中，B90，AB3，AC5，D为BC边上的中
16、点 （1）求BD，AD的长度； （2）将ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F求AE，BE 的长度 解：（1）B90，AB3，AC5， BC4， D为BC边上的中点 BDCDBC2 AD； （2）如图，连接DE， 将ABC折叠，使A与D重合，得折痕EF交AB于点E，交AC于点F AEDE， 在 RtBDE中，BE 2+BD2DE2， 设BEx，则AEDE3x， x 2+22（3x）2， 解得x， AE，BE3 16（10 分）如图，AB为一棵大树（垂直于地面，即ABBC），在树上距地面 12m的D处 有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到
17、树顶A 处， 再利用拉在A处的滑绳AC， 滑到C处， 另一只猴子从D处滑到地面B， 再由B跑到C， 已知两猴子经过的路程都是 20m，求树高AB 解：设AD长为x m，则AC（20 x） m， BC20128（m）， 在 RtABC中，由勾股定理得： AB 2+BC2AC2， 则（12+x） 2+82（20 x）2， 解得：x3， 故ABAD+BD3+1215， 答：树的高度为 15m 17（10 分）如图，等腰直角三角板如图放置直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作 AE直线m于点E，BD直线m于点D 求证：ECBD； 若设AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理 【解答】证明：AC
18、B90， ACE+BCD90 ACE+CAE90， CAEBCD 在AEC与BCD中， CAEBCD（AAS） ECBD； 解：由知：BDCEa CDAEb S梯形AEDB（a+b）（a+b） a 2+ab+ b 2 又S梯形AEDBSAEC+SBCD+SABC ab+ab+c 2 ab+c 2 a 2+ab+ b 2ab+ c 2 整理，得a 2+b2c2 18（10 分）已知：如图，在四边形ABCD中，B90，ABBC2，CD3，AD1，求 DAB的度数 解：B90，ABBC2， AC2，BAC45， 又CD3，DA1， AC 2+DA28+19，CD29， AC 2+DA2CD2， ACD是直角三角形， CAD90， DAB45+90135 故DAB的度数为 135 19（12 分）如图，四边形ABCD中，C90，ADDB，点E为AB的中点，DEBC （1）求证：BD平分ABC； （2）连接EC，若A30，DC，求EC的长 【解答】（1）证明：ADDB，点E为AB的中点， DEBEAB 12 DEBC， 23 13 BD平分ABC （2）解：ADDB，A30 160 3260 BCD90， 430 CDE2+490 在 RtBCD中，360，DC2， DB4 DEBE，160， DEDB4 EC2