1、 平行线的证明 第 16 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 检验数学结论的常用方法 定义和命题 利用“三线八角”判定两直线平行 综合运用平行线判定方法证明两直线平行 平行线的性质的应用 平行线判定与性质的综合应用 平行线的实际应用与探究题 教学目标 1、理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解幵掌握应用实验进行证明、举反例 验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法. 2、公理、定理的概念. 3、通过经历利用平行线第一个判定定理简单论证平行线的另两个判定定理的过程,进一步 掌握平行线的判定方法,领悟归纳和转化数学思想方法.
2、 4、经历证明平行线性质的过程,进一步掌握平行线的性质,幵了解证明的方法与步骤,体会 论证的科学与严谨. 教学重点 1、在观察实验的基础上进行平行线定理的推导. 2、数学证明平行线的性质. 教学难点 1、证明平行线的判定定理. 概 述 2、运用严谨、科学的方法进行数学证明. 【教学建议教学建议】 本节课是在对几何结论有了一定直观认识的基础上的理性学习，通过学习对有关平行线和三角形的一 些简单定理的证明，初步掌握证明的步骤和格式. 学习图形仅仅靠感知是不够的，还必须学习推理论证，为了学好证明可以先从模仿性证明体验证明的 要领，理解其中的逻辑关系；理解并掌握图形的特征与识别方法是学习本部分的关键，
3、在学习过程中，要 勤于动手操作，形成勤于思考，善于观察的良好习惯，熟练的进行逻辑推理 【知识导图】【知识导图】 如下图，先观察，再验证. (1)图(1)中，三角形的边是直的还是弯曲的？ (2)图(2)中，两条线段 a 与 b 哪一条更长？ (3)图(3)中，直线 AB 与直线 CD 平行吗？ _ 平行线的证明平行线的证明 证明的必要性证明的必要性 定义与命题定义与命题 平行线的证明与性质平行线的证明与性质 一、导入 教学过程 上图中 (1)三角形的边是直的；（2）a 和 b 一样长.（3）AB 和 CD 是平行的. 理由： (1)受周围同心圆的影响，容易把三角形的边看成是弯曲的，但用直尺验证的
4、结果是直的. (2)受两边斜线的影响，容易看成线段 a 比线段 b 长，验证后发现 a 和 b 一样长. (3)受两条直线上斜线的影响，容易看成 AB 和 CD 不平行，验证后发现 AB 和 CD 是平行的. 结论:(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个结论是否正确呢? (2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅 依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明. (1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公 理. 例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等
5、的两个三角形全等”,“过直线外一点,有且只有一条直线与已 知直线平行” (2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据. 一、1.证明一. 二、知识讲解 考点 1 证明的必要性 考点 3 平行线的判定与性质 考点 2 定义与命题 (1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内错角相等,两直线 平行. (2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言,谁能说一说,怎么转化? (画出两条直线 a、b,被第三条直线 c 所截,标出内错角1、2,表示如果1=2,那么 ab) (3)怎么证明呢?请写出完整的证明过程.
6、已知:如图,1 和2 是直线 a,b 被直线 c 截出的内错角,且1=2. 求证:ab. 证明:1=2(已知),1=3(对顶角相等),3=2(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行). 2.证明二. (1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补,两 直线平行. (2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二. (3)讨论:要由同旁内角互补证明两直线平行,要怎么证明? (我们知道有定理“同位角相等,两直线平行”,如果能由同旁内角互补推出同位角相等,那么根据已有的这个 定理就能证明出两直线平行) (4)学生板书证明过程. 3.变式训练,培养
7、能力.(出示投影) (1)如图 1 所示,由DCE=D,可判断哪两条直线平行?由1=2,可判断哪两条直线平行? (2)如图 2,已知1=45,2=135,l1l2 吗?为什么? 学生活动:学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出各种答案. 二、 1.证明:两直线平行,同位角相等. (1)引导学生画出两条平行线(说一说:平行线怎么画?)被第三条线所截,并标出同位角,如图所示: (2)用几何语言描述这样的证明题. 已知:直线 ABCD,1 和2 是直线 AB,CD 被直线 EF 截出的同位角.求证1=2. (3)尝试证明. 思考:如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,
8、该怎么办?(提示学生可以用反证法, 假设结论错误,再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方,说明假设不成立,从而得证.) 提问:如果12,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的2 的另一同位角1,有1=2 呢?(有) 如果有,是否意味着这条直线和 CD 平行?(是的,同位角相等,两直线平行) 这条直线可以是任意一条,也就是说我们可以过 M 点(AB 与 EF 相交于点 M)画这样的一条直线,此时我们发 现过 M 点有两条直线与 CD 平行,这可能吗?(不可能,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行) 这样看来假设不能成立,说明什么?(1=2) (4)学生根据讨论、交流,板书证
9、明过程. 证明:假设12,那么我们可以过点 M 作直线 GH,使EMH=2,如图所示. 根据“同位角相等,两直线平行”,可知 GHCD. 又因为 ABCD,这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明12 的假设不成立,所以1=2. 2.证明:两直线平行,内错角相等. (1)已知:如图,直线 l1l2,1 和2 是直线 l1,l2 被直线 l 截出的内错角. 求证:1=2. (2)尝试证明. 提示:我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实(定理),进行论证.在证明时,通过构
10、 建新角等方法,尽可能应用到已有的定理,从而进行论证. 板书证明过程: 证明:l1l2(已知), 1=3(两直线平行,同位角相等). 又2=3(对顶角相等), 1=2(等量代换). 3.证明:两直线平行,同旁内角互补. 学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,再全班交流,集体订正. 4.师:请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?请大家填写下面的表格,加以 对比. 条件 结论 平行线 的性质 判定平行 的判定 生填表,并讨论. 条件 结论 平行线 的性质 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 判定平行 的判定 同位角相等 两直
11、线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 师生共同总结: 两直线平行性质判定 判定:角的关系线的关系 性质:线的关系角的关系 5.思考:完成一个命题的证明,需要哪些主要环节? (1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略); (2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证; (3)经过分析,找出已知得出求证的途径,写出证明过程; (4)检查证明过程是否正确完善. 三、解决问题 师:学会了平行线的性质,我们就利用性质解决一些问题.(投影出示) 1.如图,ABCD,ACBD.分别找出与1 相等或互补的角. 生:画图,找出所有与1相等或互补的角.与1相等的角有7个,与1互补的角有8
12、个,用性质说明它们相等 或互补的理由. 第 1 题图 第 2 题图 2.如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,第一次拐的角B 是 130,第二次拐的角C 是多少度? 生:方向相同说明两条直线平行,根据两直线平行,内错角相等可得,C=B=130. 类型一检验数学结论的常用方法检验数学结论的常用方法 A. B. C. D 四个同学猜测他们之中谁被评为三好学生。 A 说：“如果我被评上，那么 B 也被评上。”B 说：“如果我被评上，那么 C 也被评上。”C 说：“如果 D 三 、例题精析 没评上，那么我也没评上。”实际上他们之中只有一个没被评上，并且 A. B. C 说的都是正确的。则没被 评
13、上三好学生的是_. 【解析】A 【总结与反思】由于 A. B. C 说的都是正确的，所以不妨假设 A 被评上了，则 B 也被评上， 而 B 被评上 C 也被评上，而 C 被评上，D 也被评上，所以假设不成立； 可假设 A 没被评上，而 B 被评上了， 而 B 被评上 C 也被评上，而 C 被评上，D 也被评上，符合 A. B. C 都是正确的说法，所以假设成立； 故没被评上的是 A. 故选 A. 类型二 定义和命题定义和命题 2、下列语句中,是命题的是（ ） A. 两点确定一条直线吗 B. 在线段 AB 上任取一点 C. 作A 的平分线 AM D. 两个锐角的和大于直角 【解析】D 【总结与反
14、思】A. 错误，没对这件事情做出判断； B. 错误，没有结论； C. 错误，没有结论； D. 正确。 类型三 利用“三线八角”判定两直线平行利用“三线八角”判定两直线平行 1、如图，直线 a、b 被直线 c 所截，下列说法正确的是（ ） A.当1=2 时，一定有 ab B.当 ab 时，一定有1=2 C.当 ab 时，一定有1+2=90 D.当1+2=180时，一定有 ab 【解析】D 【总结与反思】本题主要考查两直线平行的性质和判定. 考点四：综合运用平行线判定方法证明两直线平行考点四：综合运用平行线判定方法证明两直线平行 如图所示，不能判定 ADBC 的条件是（ ） A.2=3 B.1=4
15、 C.DAB+ABC=180 D.ADC+BCD=180 【解析】B 【总结与反思】本题主要考查两直线平行的判定. 考点五：平行线的性质的应用考点五：平行线的性质的应用 如图，DHEGBC，DCEF，那么与EFB 相等的角(不包括EFB)的个数为（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【解析】D 【总结与反思】本题主要考查两直线平行的性质. 考点六：平行线判定与性质的综合应用考点六：平行线判定与性质的综合应用 如图，BE 平分ABC，DEBC，图中相等的角共有（ ） A3 对 B4 对 C5 对 D6 对 【解析】C 【总结与反思】本题主要考查两直线平行的性质. 四 、
16、课堂运用 基础 1、下列推理正确的是（ ） A. 如果 ab，bc，则 ac B. 若 ab，则 acbc C. 因为AOB=BOC，所以两角是对顶角 D. 因为两角的和是 180 ，所以两角互为邻补角 2.下列命题中，为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 若 22 ba ，则 a=b D. 若 ab，则2a2b 3.如图，直线 1 l、 2 l被直线 3 l、 4 l所截，下列条件中，不能判断直线 1 l 2 l的是（ ） A.1=3 B.5=4 C.5+3=180 D.4+2=180 答案与解析答案与解析 1. 【答案】A 【解析】A，符合不等式的性质，正确； B，
17、cb，则2ab，bc，则 ac C. A 与B 相等，原因是它们看起来大小也差不多 D. 因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角。 2、下列说法正确的是（ ） A. 互补的两个角是邻补角 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. “同旁内角互补”不是命题 D. “相等的两个角是对顶角”是假命题 3.如图，能判定 EBAC 的条件是（ ） A.C=ABE B.A=EBD C.C=ABC D.A=ABE 答案与解析答案与解析 1. 【答案】B 【解析】A. 错误，因为哥哥和弟弟的年龄同时增长； B. 正确，如果 ab，bc，则 ac，正确； C. 错误，两角相等它们看起来应一样大； D. 错误，不
18、符合对顶角的定义。 故选 B. 2.【答案】 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 【解析】 A. 有公共顶点， 且有一条公共边， 另一条边分别互为反向延长线， 这样的两个角叫邻补角， 错误； B. 两直线平行，同旁内角互补，错误； C. 判断一件事情的语句叫命题。“同旁内角互补”是命题，错误； D. “相等的两个角是对顶角”是错误的命题，所以是假命题，正确；故选 D. 3. 【答案】D 【解析】本题主要考查平行线的判定定理 1.学习平行线后，小敏想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行先的一种方法，她是通过折一张半透 明的纸得到的，如图，小敏画平行线的依据是 2.如图,在四边形 ABCD 中
19、,A=C=90 ,1=2,3=4,求证：BEDF. 3.如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 E，F，EG 平分BEF，若1=62，则2= 4.看图填空： 巩固 (1)看图 1，完成证明： A+D=180(已知) _ _ 1=_ 1=65(已知) C=65_ (2)看图 2，已知，ADC=ABC，BE、DF 分别平分ABC、ADC，且1=2，求证：A=C. 证明：BE、DF 分别平分ABC、ADC(已知) 1= 1 2 ABC,3= 1 2 ADC_ ABC=ADC(已知) 1 2 ABC= 1 2 ADC_ 1=3_ 1=2(已知) 2=3_ _ A+_=180, C+_=18
20、0_ A=C_ . 答案与解析答案与解析 1.【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】本题主要考查平行线的判定定理 2. 【答案】【答案】 四边形 ABCD 中,A=C=90 ，ABC+CDA=180 ， 1=2，3=4，2+3=90 ，A=90 ，1+AEB=90 ， 1=2，AEB=3，BEFD. 【解析】本题主要考查两直线平行的证明. 3.【答案】59 度 【解析】本题主要考查平行线的性质定理 4. 【答案】证明：(1)A+D=180 ,(已知) ABCD，1=C,(两直线平行,内错角相等) 1=65,(已知) C=65(等量代换) (2)BE、DF 分别平分ABC、ADC(已知) 1=
21、 1 2 ABC,3= 1 2 ADC,(角平分线的性质) ABC=ADC(已知) 1 2 ABC= 1 2 ADC,(等量代换) 1=3,(等量代换) 1=2,(已知) 2=3,(等量代换) ABCD， A+ADC=180,C+ADC=180,(两直线平行,同旁内角互补) A=C(等量代换). 【解析】本题综合考查平行线的性质与判定的证明. 1.如图 （1）ABD=BDC（已知）， ，（ ）； （2）DBC=ADB（已知）， ，（ ）； （3）CBE=DCB（已知）， ，（ ）； （4）CBE=A，（已知）， ，（ ）； （5）A+ADC=180（已知）， ，（ ）； （6）A+ABC=18
22、0（已知）， ，（ ）. 2.如图所示，点 B、E 分别在 AC、DF 上，BD、CE 均与 AF 相交，12，CD，求证：AF 拔高 3.如图，在图 a、图 b、图 c 中都有直线 mn， （1）在图 a 中，2 和1、3 之间的数量关系是 。 （2）猜想：在图 b 中，1、2、3、4 之间的数量关系是 。 （3）猜想：在图 c 中，2、4 和1、3、5 的数量关系式是 。 答案与解析答案与解析 1.【答案】（1）CDAB，内错角相等，两直线平行；（2）ADBC，内错角相等，两直线平行； （3）CDBE，内错角相等，两直线平行；（4）ADBC，同位角相等，两直线平行. （5）ABCD，同旁内角互补，两直线平行；（6）ADBC，同旁内角互补，两直线平行. 【解析】本题主要考查平行线的判定定理 2. 【答案】证明： 2=3，1=2，1=3，BDCE， C=ABD；又C=D，D=ABD， ABEF，A=F 【解析】本题主要考查平行线的性质与判定的综合应用. 3. 【答案】（1）213 ； （2）2413 （3）2 4135+180. 【解析】（1）过2 的顶点作直线 m、n 的平行线，即可得出213 ； （2）仿（1）可知：2-13-4； （3）同理在图 C 中，2 4135+180. 七 、教学反思