1、 二次根式的运算 第 6 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 二次根式的定义和性质 最简二次根式及化简 同类二次根式 二次根式的计算 教学目标 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式 4.通过对公式的反向运用，达到化简的目的学会一种特殊的思考方法 5.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识 6.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性 教学重点 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，并进行计算 教学难点 利用二次根式的性质将二次根
2、式化为最简二次根式，并进行计算 【教学建议教学建议】 在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性, 将实际问题抽象成数学问题, 提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想 【知识导图】【知识导图】 概 述 同学甲说： 与 是 一家人 ，与 不是“一家人”为什么呢？学习了本节课内容后，相信大家一 定找到满意的答案 【教学建议】教学建议】 问题 1 ：5，11，2 . 7， 121 49 ，)(bcbc（其中 b=24,c=25），上述式子有什么共同特征? 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数. 一般地，式子 )0( aa 叫做二次根式.a 叫做被开方数强调条件： 0a
3、问题 2：二次根式怎样进行运算呢? 答：这是我们本节课要解决的新问题 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础 二次根式的运算二次根式的运算 二次根式二次根式 二次根式的性质二次根式的性质 最简二次根式最简二次根式 同类二次根式同类二次根式 二次根式的混合运算二次根式的混合运算 教学过程 二、知识讲解 一、导入 考点 2 二次根式的性质 考点 1 二次根式 （一）内容：通过探究得出baba， b a b a 具体过程如下： （1）94 ，94 ； 2516 ，2516 ； 9 4 ， 9 4 ； 25 16 ， 25 16 问题 1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题 2：从你上面得出
4、的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题 3：其中的字母 a，b 有限制条件吗？ 意图：最终归纳出baba（a0，b0）， b a b a （a0， b0） 说明：公式中字母 a0，b0（或 b0）这一条件是公式的一部分，不应忽略 （2）用计算器计算： 76 ，76 ； 7 6 ， 7 6 反过来baba（a0，b0）， b a b a （a0， b0）仍成立. 例 1 化简（1）6481；（2）625；（3） 9 5 . 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？ 意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式 呈现了有关结论.
5、 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数 或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 例 2.化简：（1）45；（2）27；（3） 3 1 ；（4） 9 8 ；（5） 16 125 答案：（1）53535945； （2）3333393927； 考点 3 最简二次根式 （3） 3 3 33 31 3 1 ； （4） 3 22 3 22 3 24 3 24 9 8 9 8 ； （5） 4 55 4 55 4 525 4 525 16 125 16 125 问题： （1）你怎
6、么发现 45 含有开得尽方的因数的？你怎么判断 7 14 是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。 说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号 反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能 开得尽方的因数，开方后写到了根号外面从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简 将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式. 二次根式的加减 （1）化成最简二次根式 （2）找出同类二次根式 （3）合并同类二次根式将系数相加仍作系
7、数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简 判断 合并 注意：（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的 一部分。 （2）整式加法运算中的交换律、结合律、去括号、添括号法则在二次根式运算中仍然适用。 （3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式。 考点 4 同类二次根式 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里 面的（或先去掉括号）。 在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然使用乘法公式，有时还需要灵活 运用公式和逆用公式，这样可以使计算
8、过程大大简化。 注意：在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量适用 类型一 二次根式二次根式 1要使根式3x有意义，则字母 x 的取值范围是_ 【解析】 3x 【总结与反思】二次根式的定义 类型二 二次根式的性质 1.能使等式 22 x x x x 成立的 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx0 Cx2 Dx2 【解析】C 由题意可得， 02 0 x x ，解得 x2. 【总结与反思】二次根式的性质. 2.下列计算正确的是( ) A. 1 2 1 2 B. 134 C. 236 D. 228 【解析】A 【解析】A. 1 2 1 2 2 1 2，正确； B 不是同类二次根式不能合并，错误；
9、 C236，错误； D228 ，错误故选 A 【总结与反思】 二次根式的性质 三 、例题精析 考点 5 二次根式的混合运算 类型三 最简二次根式 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A1 2 a B 2 1 C. 8 D. 2 a 【解析】A A、1 2 a是最简二次根式，符合题意； B、 2 2 2 1 ，故不是最简二次根式，故此选项错误； C、228 ，故不是最简二次根式，故此选项错误； D、aa 2 ，故不是最简二次根式，故此选项错误； 故选 A 【总结与反思】最简二次根式的定义 类型四 同类二次根式 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A2和12 B2和 8 1 Cba2和 2
10、 ab D1a和1a 【解析】B A、3212 ，2和12不是同类二次根式； B、 4 2 8 1 ，2和 8 1 是同类二次根式； C、baba 2 ，abab 2 ，ba2和 2 ab不是同类二次根式； D、1a和1a不是同类二次根式，故选：B 【总结与反思】同类二次根式的判定 类型五 二次根式的混合运算 计算（2+3）（2-3）的结果为 【解析】-1 根据平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2,(2+3)(2-3)=(2)-(3)=-1 【总结与反思】混合运算顺序及整式乘法公式. 当 x_时，式子 12 1 x 有意义 若14 a有意义，则 a 能取得的最小整数值是_ 若xx有意义，则
11、1x_ 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) (A)a4 (B) 4 a (C) 4 a (D) 4 a 5下列二次根式中，与2是同类二次根式的是( ) (A)27 (B)12 (C)10 (D)8 6.计算下列各式 （1）24654）（ (2) ）（25. 22 3 2 1 答案与解析答案与解析 1.【答案】 2 1 x 【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条件. 2.【答案】0 【解析】二次根式的定义 3.【答案】1 【解析】二次根式的定义 4.【答案】D 【解析】简二次根式的定义 5.【答案】D 【解析】同类二次根式的判定 6 【答案】（1）24;（2）15 【解析】（1）原式=
12、24626262663）（ （2）原式=15 4 9 3 5 2 4 9 2 3 5 25. 22 3 2 1）（）（ 四 、课堂运用 基础 1要使根式 2 34 x x 有意义，则字母x的取值范围是_ 2在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) (A)3和18 (B)3和 3 1 (C)ba2和 2 ab (D)1a和1a 3下列各组式子中，不是同类二次根式的是( ) (A) 8 1 与18 (B)63与 28 25 (C)48与8 . 4 (D)125. 0与128 4下列二次根式中，与35是同类二次根式的是( ) (A)18 (B)3 . 0 (C)30 (D)300 5.计算下列句式
13、. (1)）（32233223 (2) 2 10253）（ 答案与解析答案与解析 1.【答案】 3 4 x且x2 【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条件. 2.【答案】B 【解析】同类二次根式的判定. 3.【答案】C 【解析】同类二次根式的判定 4.【答案】D 【解析】同类二次根式的判定 5.【答案】（1）6;(2) 26085 【解析】(1)原式=612183223 22 ）（）（ (2)原式=26085402604510210253253 22 ）（）（ 1.x 为实数，下列式子一定有意义的是( ) (A) 2 1 x (B)xx 2 (C) 1 1 2 x (D)1 2 x 巩固 拔
14、高 2计算312 的结果是( ) (A)3 (B)3 (C)32 (D)33 3在二次根式16,8,4,2中同类二次根式的个数为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 4.计算下列各式 (1); 3 1 2712 (2);202452 3 2 1 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】代数式有意义的条件. 2.【答案】B 【解析】二次根式的运算 3.【答案】C 【解析】同类二次根式的判定. 4.【答案】（1） 3 314 ;（2）52 3 15 【解析】（1）原式=; 3 314 3 3 3332 （2）原式=;52 3 15 5456 3 15 本节讲了 4 个重要内容： 1
15、.二次根式的定义 2.二次根式的性质 3.最简二次根式 4.同类二次根式 五 、课堂小结 六 、课后作业 1使式子 2| 1 x x 有意义的实数x的取值范围是( ) (A)x1 (B)x1 且x2 (C)x2 (D)x1 且x2 2.化简 5 x的结果是( ) (A)xx2 (B)xx 2 (C)xx 2 (D)xx2 3.若最简二次根式b5与b23是同类二次根式，则b的值是( ) (A)0 (B)1 (C)1 (D) 3 1 4.计算1821 2 的值是 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解析】代数式有意义的条件. 2.【答案】C 【解析】化简二次根式. 3.【答案】C 【解析】同类
16、二次根式的判定. 4. 【答案】124 【解析】原式=1242312故答案为：124 1. 化简下列各式： (1);5 . 075 3 1 2 8 1 32 (2)45 5 1 12() 3 1 27(； 2.若a0，则 3 )1 (a化简后为( ) (A)1) 1(aa (B); 20 8 (C)aa1) 1( (D)1)1 (aa 3.若 ab0，则化简ba2的结果是_ 巩固 基础 答案与解析答案与解析 1.【答案】(1)3 3 13 2 4 13 (2)5 5 14 3 3 4 【解析】（1）原式=;3 3 13 2 4 13 2 2 35 3 32 4 2 24 （2）原式= 5 51
17、4 3 34 53 5 5 32 3 3 33）（）（ 2.【答案】B 【解析】 3.【答案】ba 【解析】ba2的被开方数 a 2b0，而 a20，所以 b0 又因为 ab0，所以 a、b 异号，所以 a0， 所以babababa 22 1.若二次根式 53 a是最简二次根式，则最小的正整数 a= 2.当1 时，化简： aa aa 2 44 2 2 3.(1) 23 1 ) 13(3 ； (2)a aa a a aa108 43 3 3 27 3 1 23 答案与解析答案与解析 1.【答案】 a=2 【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时 满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是二次根式53 a是最简二次根式，则最小的正整数 a=2 2. 【答案】 a 1 【 解 析 】 根 据 1可 得a-2 0 ， 然 后 利 用 二 次 根 式 的 性 质 化 简 计 算 即 可 aaa a aa a aa aa1 2 2 2 2 2 44 2 2 2 拔高 3. 【答案】(1)1 (2)a a 3 2 【解析】（1）原式13233 （2）原式=a a a a aaaaaa3 2 3 2 3 333 七 、教学反思