1、 一次函数的图像 第 10 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 正比例函数的图像和性质 一次函数的图像和性质 教学目标 1了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象 2经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线 3已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力 4理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系 教学重点 初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线 注重教学 难点 理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系 【教学建议教学建议】 运用列表、描点、连线的
2、方法画出函数图像，培养学生数形结合的意识和能力注重引导学生理 解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系 【知识导图】【知识导图】 概 述 一天，小明以 80 米/分的速度去上学，请问小明离家的距离 S（米）与小明出发的时间 t（分）之间的 函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t（t0） 下面的图象能表示上面问题中的 S 与 t 的关系吗？ 我们说，上面的图象是函数 S=80t（t0）的图象,这就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的 特殊情况正比例函数的图象。 目的：目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与
3、图象 的联系，激发其学习的欲望 效果：效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的学习欲望 画正比例函数的图象画正比例函数的图象 内容：内容：首先我们来学习什么是函数的图象？ 一次函数的图像一次函数的图像 正比例函数的图像和性质正比例函数的图像和性质 一次一次函数的图像和性质函数的图像和性质 O t（分） S（米） 80 1 二、知识讲解 一、导入 考点 1 正比例函数的图像和性质 教学过程 把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对 应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph） 例例 1 1 请
4、作出正比例函数 y=2x 的图象 解：解：列表: x -2 -1 0 1 2 y=2x -4 -2 0 2 4 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点 连线：把这些点依次连结起来，得到 y=2x 的图象 由例 1 我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤： 列表，描点，连线 目的：目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个 函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线 效果：效果：学生通过学习，掌握了作一个函数图象的一般方法，能作出一个函数的图 象，同时感悟到正比例函数图象是一条直线 动手操作，深化探索动手操作，深化探索 内容：做一做内容：做一
5、做 （1）作出正比例函数 y=-3x 的图象 （2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系 y=-3x 请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来 （1）满足关系式 y=-3x 的 x，y 所对应的点（x，y）都在正比例函数 y=-3x 的图象上吗？ （2）正比例函数 y=-3x 的图象上的点（x，y）都满足关系式 y=-3x 吗？ （3）正比例函数 y=kx 的图象有什么特点？ 由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式 的 x，y 所对应的点（x，y）都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象
6、上的点（x，y）都满足正比例函 数的代数表达式正比例函数 y=kx 的图象是一条直线，以后可以称正比例函数 y=kx 的图象为直线 y=kx 议一议 既然我们得出正比例函数 y=kx 的图象是一条直线那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？ 因为“两点确定一条直线“两点确定一条直线 ”，所以画正比例函数 y=kx 的图象 时可以只描出两个点就可以了 因为正比例函数的图象是一条过 原点(0,0)的直线,所以只需再确定一个点就可以了,通常过通常过 (0,0),(1,k)(0,0),(1,k)作直线作直线. . 例例 2 2 在同一直角坐标系内作出 y=x,y=3x,y=x 2 1 ,y=-
7、4x 的图 象 解：解：列表 x 0 1 y=x 0 1 y=3x 0 3 y=x 2 1 0 2 1 y=4x 0 -4 过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是 y=x 的图象 过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是 y=3x 的图象 过点（0，0）和（1， 2 1 ）作直线，则这条直线就是 y= 2 1 x 的图象 过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是 y=-4x 的图象 目的：目的：做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象， 同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及 k 的绝对值大小与直
8、线倾斜程度的 关系. 效果：效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法在探究函数与图象的对应关系中 加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象 议一议 上述四个函数中,随着 x 的增大,y 的值分别如何变化? 在正比例函数 y=kx 中, 当当 k k0 0 时时, ,图象在第一、三象限，图象在第一、三象限，y y 的值随着的值随着 x x 值的增大而增大值的增大而增大( (即从左向右观察图象时即从左向右观察图象时, ,直线是向上倾斜直线是向上倾斜 的的););当当 k k0 0 时时, , 图象在第二、四象限，图象在第二、四象限， y y 的值随着的值随着 x x 值的增
9、大而减小值的增大而减小 ( (即从左向右观察图象时即从左向右观察图象时, ,直线是向直线是向 下倾斜的下倾斜的).). 请你进一步思考: （1）正比例函数 y=x 和 y=3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其 中的道理吗？ （2）正比例函数 y= 2 1 x 和 y=-4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如 何判断的？ 我们发现：我们发现：k越大，直线越靠近越大，直线越靠近 y y 轴。轴。 探究一次函数探究一次函数 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)图象与性质图象与性质 1、作出 y=-x+3 y= 2x
10、-2 y=-3x+1 的图象（先小组讨论画图象的方法及技巧，并说明理由； 然后再画图象） （1）一次函数图象的形状是_? 三个函数的图象随 x 值的增大上升还是下降？与 k 有关系吗？若有，是什么关系？ （2）根据图象分别写出三条直线与 y 轴的交点坐 标 、 、 三个点的纵坐标与 b 有什么关系？从函数的图象上能否直接读出 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)中中 b b 的值？ 一次函数一次函数 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)图象与图象与 y y 轴交点的坐标轴交点的坐标_？ 2、小组合作归纳： （1）一次函数 y=kx+b(k0)图象的画法？（2）一次函数 y=kx+b(k
11、0)的性质？ 考点 2 一次函数的图像和性质 3、交流梳理总结： （1 1）一次函数 y=kx+b(k0)图象的画法？ 一次函数一次函数 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)图象与图象与 y y 轴交点坐标是轴交点坐标是 （2 2）一次函数）一次函数 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的性质的性质 k k 时时 函数图象经过点函数图象经过点 ，y y 随随 x x 的增大而的增大而 ； k k 时时 函数图象经过点函数图象经过点 ， y y 随随 x x 的增大而的增大而 。 4、巩固练习： (1)作出函数 y=-x+1 的图象，并回答：图象是一条_，由左至右呈_(“上升”或“下降”
12、)趋 势，y 随 x 的增大而_，与 y 轴的交点坐标(_,_)。 (2)已知直线 y=2x+b 过点 A( 1 , y1 )和 B( 2 , y2)，则 y1 _ y2 (3)已知直线 y=2x+b 与直线 y=-x+5 相交于 y 轴上的同一点，则 b=_. 探究正比例函数探究正比例函数 y=kx(k0)y=kx(k0)与一次函数与一次函数 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)图象的关系图象的关系 1、观察以上作出的函数 y=-x 与函数 y= -x+3 的图象，并回答： （1）直线 y=-x 与直线 y= -x+3 有怎样的位置关系？你能通过适当的移动将直线 y= -x 变为直线 y
13、= -x+3 吗？你能通过适当的移动得到直线 y= -x-3 吗？ （2）直线 y=-x+3 可以看做有直线 y= -x 向_平移_个单位得到的； 直线 y= -x-3 可以看做有直线 y= -x 向_平移_个单位得到的。 2、小组讨论： （1）直线 y=kx(k0)与直线 y=kx+b(k0)的位置关系； （2）直线 y=kx(k0)与直线 y=kx+b(k0)有怎样的平移规律？ 3、交流梳理总结 （1）直线 y=kx(k0)与直线 y=kx+b(k0)：平行平行； （2）直线 y=kx(k0)与直线 y=kx+b(k0)有怎样的平移规律： b0 时，直线 y=kx+b(k0)可以看做是直线
14、 y=kx(k0)向_平移_单位而得到的； b0 时，直线 y=kx+b(k0)可以看做是直线 y=kx(k0)向_平移_单位而得到的。 4、巩固练习 (1)直线 y=2x+3 可以看做是直线 y=2x 向_平移_单位而得到的； (2)下列直线中，与 y 轴交点坐标相同的两条直线是_；互相平行的两条直线是_；函数的值随 x 的增大而减小的有_。 y=6x-2 y=-6x-2 y=-6x+2 探究一次函数探究一次函数 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)图象在直角坐标系中的位置图象在直角坐标系中的位置 1、作出函数 y=-x、 y= -x+3 、y= -x-3 的图象，并回答： 直线 y=-
15、x 经过第_象限； 直线 y= -x+3 经过第_象限 ； 直线 y=-x-3 经过第_象限。 作出函数 y=2x、 y= 2x-2、y= 2x+2 的图象，并回答： 直线 y=2x 经过第_象限； 直线 y=2x-2 经过第_象限 ； 直线 y=2x+2 经过第_象限。 2、小组讨论：直线直线 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)所经过的象限与所经过的象限与 k k、b b 取值有怎样的关系？取值有怎样的关系？ 3、交流梳理总结： 直线直线 y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)所经过的象限与所经过的象限与 k k、b b 取值的关系：取值的关系： K K0 0，b b0 0 时，直线
16、时，直线 y=kx+b(k0) y=kx+b(k0) 经过第经过第_象限象限; ; K K0 0，b b0 0 时，直线时，直线 y=kx+b(k0) y=kx+b(k0) 经过第经过第_象限象限; ; K K0 0，b b0 0 时，直线时，直线 y=kx+b(k0) y=kx+b(k0) 经过第经过第_象限象限; ; K K0 0，b b0 0 时，直线时，直线 y=kx+b(k0) y=kx+b(k0) 经过第经过第_象限象限. . （问：能否用平移的方法解释这个问题？）（问：能否用平移的方法解释这个问题？） 4、巩固练习 （1）函数 y=3x-1 的图象，y 随 x 的增大而_，它的图
17、象可由直线 y=3x 向_平移_个单位得到, 经过第_象限。 （2） 函数 y=-5x+3 的图象， y 随 x 的增大而_， 它的图象可由直线 y=-5x 向_平移_个单位得到, 经过第_象限。 （3）已知一次函数 y=kx+b(k0)的图象经过二、三、四象限，则 k、b 取值范围是 （ ） A、K0，b0 ， B、K0，b0 C、K0，b0， D、K0，b0 类型一 正比例函数的图象和性质 1.下列各点在函数 3 3 y 的图象上的是（ ） A（1， 3 3 ） B.（-1，3） C.（3，3） D.（3，3） 【解析】C 【总结与反思】点在函数图象上 2.正比例函数ykx的图象是过点（0
18、，_）与点（1，_）的一条直线，当0k 时，图象经过第 _象限；当0k 时，图象经过第_象限. 【解析】0；k；一、三；二、四 【总结与反思】正比例函数图象 3.已知函数ykx的函数值随x值的增大而增大，则函数ykx的图象经过（ ） A第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 【解析】B 【总结与反思】正比例函数图象性质. 类型二 一次函数的图象和性质 1.一次函数ykxb的图象是一条经过点_、_的直线，一次函数ykxb的 图象也称为直线ykxb 【解析】（0，b）、（ b k ，0） 【总结与反思】 一次函数图像. 三 、例题精析 2.一次函数21yx 的图象经过（
19、 ） A第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 【解析】B 【总结与反思】 一次函数图象. 3.下列函数中，y 随 x 的增大而减小的是（ ） A.28yx B. 24yx C. 28yx D. 4yx 【解析】C 【总结与反思】 一次函数的性质. 1.已知点 A（2,3）在函数 2 1yaxx的图象上，则a等于（ ） A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.当0k 时，正比例函数ykx的图象大致是（ ） A B C D 3.一次函数2yx的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知点（-4， 1 y ），（2
20、， 2 y）都在直线 1 2 2 yx 上，则 1 y， 2 y的大小关系是（ ） A. 12 yy B. 12 yy C. 12 yy D.无法比较 答案与解析答案与解析 1.【答案】B 【解析】根据函数图象的意义，把 A（2,3）的坐标代入关系式求 a 的值. 2.【答案】A 四 、课堂运用 基础 【解析】正比例函数图象. 3.【答案】B 【解析】一次函数图象. 4.【答案】A 【解析】一次函数性质. 1.下列四个点中，在正比例函数 2 5 yx 的图象上的点是（ ） A（2,5） B.（5,2） C.（2，-5） D.（5,-2） 2.已知正比例函数 0ykx k，当 x=-1 时，y=
21、-2，则它的图象大致是图中的（ ） A B C D 3.已知 11 ,x y和 22 ,x y是直线3yx 上的两点，且 12 xx，则 1 y与 2 y的大小关系 是（ ） A. 12 yy B. 12 yy C. 12 yy D.无法比较 4.下列函数中，其图象同时满足两个条件：y 随 x 的增大而增大；与 x 轴的正半轴相交.则它的表达式 为（ ） A. 21yx B. 21yx C. 21yx D. 21yx 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】点在函数图象上. 2.【答案】C 【解析】正比例函数图象. 3.【答案】C 【解析】正比例函数的性质. 巩固 4.【答案】C 【解析
22、】一次函数图象与性质. 1.正比例函数yax；ybx；ycx的图象如图，则a，b，c的大小关系是（ ） A. abc B. cba C. bac D. bca 2.已知函数31ykx，若 y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ） A.0k B. 0k C. 1 3 k D. 1 3 k 3.将直线2yx向上平移一个单位后得到的直线对应的函数表达式是_. 4. 若一次函数ykxb的函数值 y 随 x 的增大而减小，且图象与 y 轴的负半轴相交，那么对 k 和 b 的符 号判断正确的是（ ） A.0,0kb B. 0,0kb C. 0,0kb D. 0,0kb 答案与解析答案与解析 1
23、.【答案】C 【解析】一次函数倾斜程度与 k 值的关系 2.【答案】C 【解析】正比例函数的性质.y 3.【答案】21yx 【解析】一次函数的平移. 4.【答案】D 【解析】一次函数与 y 轴交点和 b 值的关系及一次函数的性质. 1 本节讲了 2 个重要内容： 2 正比例函数的图象和性质 3 一次函数的图象和性质 拔高 五 、课堂小结 六 、课后作业 1.关于函数2yx ，下列判断正确的是（ ） A.图象经过第一、三象限 B.y 随 x 的增大而增大 C.若 11 ,x y， 22 ,x y是该函数图象上的两点，则当 12 xx时， 12 yy D.不论 x 为何值，总有0y 2.已知函数
24、2 3 1 m ymx 是正比例函数. （1）若函数关系式中 y 随 x 的增大而减小，求 m 的值； （2）若函数的图象过第一、三象限，求 m 的值. 3.如图，一次函数21ymx的图象经过第二、三、四象限，则 m 的取值范围（ ） A0m B. 0m C. 2m D. 2m 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】函数图象及性质 2.【答案】（1）-2 （2）2 【解析】函数图象及性质 3.【答案】D 【解析】一次函数图象，图象经过第二、四象限，所以 m-20. 1.一次函数24yx 的图象与 y 轴交点坐标是（ ） A.(0，4) B.（4,0） C.（2，0） D.（0,2） 2
25、.已知直线ymxn，其中 m，n 是常数且满足：6mn，8mn，那么该直线经过（ ） 巩固 基础 A.第二、三、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限 3.把函数23yx 的图象向下平移 4 个单位后所得的图象对应的函数表达式为（ ） A27yx B. 63yx C. 21yx D. 25yx 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解析】一次函数与 y 轴交点坐标. 2.【答案】B 【解析】一次函数图象. 3.【答案】C 【解析】一次函数的平移. 1.已知一次函数ymxn的图象不经过第二象限，求 m，n 的取值范围. 2.已知一次函数32yaxb. （1）当a为何值时，y 随 x 的增大而减小？ （2）当a，b为何值时，函数图象与 y 轴的交点在 x 轴上方？ （3）当a，b为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？ （4）当a，b为何值时，函数图象经过原点？ （5）当a，b为何值时，该函数的图象与直线3yx 平行？ 答案与解析答案与解析 1.【答案】m 0；n0 【解析】一次函数图象.不经过第二象限则过一、三或一、三、四，所以 m0，n0. 2.【答案】（1）a2；（3）a-3 且 b2；（4）a-3 且 b=2；（5）a=-6 且 b2 【解析】一次函数图象的性质、与 y 轴交点及平移. 七 、教学反思 拔高