1、 三角形内角和定理 第 17 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 三角形内角和定理 三角形内角和定理的推论 三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合 三角形内角和定理及推论的综合及探究题 教学目标 1.经历实践活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理. 2.能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题. 3.帮助学生树立几何知识源于客观实际的观念,激发学生学习的兴趣. 教学重点 三角形的内角和定理. 教学难点 三角形的内角和定理推理的过程. 【教学建议教学建议】 本节课经历证明三角形内角和定理及其
2、推论的过程，发展推理过程，使学生熟悉辅助线的添加方法； 通过多种方法证明三角形内角和定理，提高学生一题多解的能力 【知识导图】【知识导图】 概 述 我们在小学就已经知道三角形的内角和等于 180,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命 题还需要证明,怎样证明呢? 一、三角形内角和定理的证明 回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的? 1.在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码. 2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下来拼在第三个角的顶点处,用量角器量出BCD 的度数,可得到 A+B+ACB=180. 三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形内角和定理及证明三角形内角和定理及证明 三角形
3、内角和定理的推论三角形内角和定理的推论 二、知识讲解 一、导入 考点 1 三角形内角和定理及证明 教学过程 3.剪下A,按右下图所示拼在一起,ABCM,从而可得到A+B+ACB=180. 4.把2 和3 剪下按下图所示拼在一起,用量角器量一量MAN 的度数,会得到什么结果? 二、探索问题 如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢? 已知ABC,求证:A+B+C=180. 证明: 过点 C 作 CEAB,并作线段 BC 的延长线 CD,则A=ACE,B=DCE. 又ACB+ACE+DCE=180, A+B+ACB=180. 即:三角形的内角和等于 180. 在证
4、明三角形内角和定理时，用到了把ABC 的一边 BC 延长得到ACD，这个角叫做什么角呢？下面 我们就给这种角命名，并且来研究它的性质 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形 指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上 (2)一条边是三角形的一边 考点 2 三角形内角和定理的推论 (3)另一条边是三角形某条边的延长线 两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质： 问题 1：如图，ABC 中，A=70，B=60，ACD 是ABC 的一个外角，能由A、B 求出 ACD 吗？如果能，ACD 与A、B 有什么关系？ 问题 2：任意一个ABC 的
5、一个外角ACD 与A、B 的大小会有什么关系呢？ 由学生归纳得出： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 例 1、已知：BAF，CBD，ACE 是ABC 的三个外角 求证：BAF+CBD+ACE=360 分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证 证明：(略) 例 2、 已知： D 是 AB 上一点,E 是 AC 上一点， BE、 CD 相交于 F,A=62， ACD=35， ABE=20 求： (1)BDC 度数；(2)BFD 度数 解：(略) 三 、例题精析 类型一三角形内角和定理三角形内角和定理 一个三
6、角形三个内角的度数之比为 2：3：7，这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【解析】D 【总结与反思】本题主要考查三角形的内角和定理. 类型二 三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则1+2=_度。 【解析】270 【总结与反思】本题主要考查三角形的内角和定理的推论. 类型三 三角形三角形内角和定理与推论与折叠内角和定理与推论与折叠、旋转旋转、动态几何问题综合动态几何问题综合 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将ABC 沿着 DE
7、折叠压 平，A 与 A重合，若A=75，则1+2= 【解析】150 【总结与反思】综合考查三角形的内、外角和. 四 、课堂运用 基础 1.如图，在ABC 中，B=67，C=33，AD 是ABC 的角平分线，则CAD 的度数为（ ） A30 B35 C40 D50 2.如图，直线 ab，一块含 60角的直角三角板 ABC(A60)按如图所示放置.若155，则2 的 度数为( ) A.105 B.110 C.115 D.120 3.如图， 把ABC 纸片沿 DE 折叠， 当点 A 落在四边形 BCDE 内部时， 则A 与1， 2 之间的数量关系是 （ ） A.A=1+2 B.A=21 C.2A=1
8、+2 D.3A=2（1+2） 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】本题主要考查三角形的内角和定理. 2. 【答案】C 【解析】本题主要考查三角形的内角和定理的推论. 3.【答案】A= 1 2 (1+2). 【解析】设AED=x，ADE=y，则1=(1802x)， 2=(1802y)， 由得,x=(90 1 2 1)， 由得,y=(90 1 2 2). A=180 xy=180(90 1 2 1)(90 1 2 2)= 1 2 (1+2) 结论为：A= 1 2 (1+2). 如图,点 O 是ABC 的两条角平分线的交点,若BOC=118，则A 的大小是_. 2.如图，lm，1120，A
9、55，则ACB 的大小是 . 3.如图,把ABC 绕点 C 顺时针旋转 25,得到ABC,AB交 AC 于点 D,若ADC=90，则 A=_. 答案与解析答案与解析 1.【答案】56 【解析】本题主要考查三角形内角和定理. 巩固 BOC 中,BOC=118， 1+2=180118=62. BO 和 CO 是ABC 的角平分线， ABC+ACB=2(1+2)=262=124 在ABC 中， ABC+ACB=124 ， A=180(ABC+ACB)=180124=56 故答案为：56. 2. 【答案】65 【解析】本题主要考查三角形内角和定理的推论. 3.【答案】65 【解析】ABC 绕点 C 顺
10、时针旋转 25,得到ABC， ACA=25， 又ADC=90， A=9025=65， A=65. 故答案为 65. 1.如图,A 点在 B 处的北偏东 40方向,C 点在 B 处的北偏东 85方向,A 点在 C 处的北偏西 45方向，求 BAC 及BCA 的度数。 2.如图，点 D 在ABC 边 BC 的延长线上，CE 平分ACD，A80，B40，则ACE 的大小是 3.如图,在ABC 中,ACB=90,A=50， 将其折叠， 使点 A 落在边 BC 上 E 处， 折痕为 CD， 则EDB=_. 答案与解析答案与解析 1.【答案】 85 【解析】 DBA=40,DBC=85,DBCE， ECB
11、=18085=95,ABC=8540=45， ECA=45， BCA=9545=50， BAC=1805045=85。 拔高 2. 【答案】60 【解析】本题主要考查三角形内角和定理的推论. 3.【答案】10 【解析】ACB=90,A=50， B=90A=9050=40 CDE 是CDA 翻折得到， CED=A=50， 在BDE 中，CED=B+EDB， 即 50=40+EDB， EDB=10. 故答案为：10 本节讲了 2 个重要内容： 1.三角形的内角和 2三角形内角和的推论. 1.如图，RtABC 中，ACB=90，DE 过点 C 且平行于 AB，若BCE=35，则A 的度数为（ ） A
12、. 35 B. 45C. 55D. 65 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 2.如图，ABCD，A=45，C=28，则AEC 的大小为（ ） A.17 B.62 C.63 D.73 3.如图，在 RtACB 中，ACB=90，A=25，D 是 AB 上一点将 RtABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B处，则ADB等于 . 答案与解析答案与解析 1. 【答案】C 【解析】本题主要考查三角形的内角和. ABDE，BCE=35， B=BCE=35(两直线平行,内错角相等)， 又ACB=90， A=9035=55(在直角三角形中,两个锐角互余). 故选 C. 2. 【答案】D 【
13、解析】本题主要考查三角形的外角和 3. 【答案】50 【解析】本题主要考查三角形的内角和. 巩固 1.如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果260，那么 1 的度数为（ ） A.60 B.50 C.40D.30 2.我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和请利用这条定理解决下列问题：如图， 1=2=3 （1）试说明BAC=DEF （2）若BAC=70，DFE=50，求ABC 的度数 3.如图，BAP+APD=180，1=2，求证：E=F. 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质. 2. 【答案】 (
14、1)证明：在ACE 中，DEF=3+CAE， 1=3， DEF=1+CAE=BAC， 即BAC=DEF； (2)在BCF 中，DFE=2+BCF， 2=3， DFE=3+BCF， 即DFE=ACB， BAC=70,DFE=50， 在ABC 中,ABC=180BACACB=1807050=60 【解析】综合考查三角形的内、外角和的证明. 3. 【答案】证明：BAP+APD=180(已知)， ABCD(同旁内角互补,两直线平行). BAP=APC(两直线平行,内错角相等). 又1=2(已知)， FPA=EAP， AEPF(内错角相等,两直线平行). E=F(两直线平行,内错角相等). 【解析】本题
15、综合考查平行线的判定及性质的证明. 1如图,在ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,点 F 在 BC 的延长线上,DEBC,A=46 ,1=52 ，则 2=_度。 拔高 2.已知：在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一点 （1）直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图），求证：AE=CG； （2）直线 AH 垂直于直线 CE，垂足为点 H，交 CD 的延长线于点 M（如图），找出图中与 BE 相等的线段， 并证明 3.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题。 探究 1:如图 1，
16、在ABC 中，O 是ABC 与ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现BOC=90+ 1 2 A，理由如下： BO 和 CO 分别是ABC 和ACB 的角平分线 1= 1 2 ABC，2= 1 2 ACB 1+2= 1 2 (ABC+ACB) 又ABC+ACB=180A 1+2= 1 2 (180A)=90 1 2 A， BOC=180(1+2)=180(90 1 2 A) =90+ 1 2 A 探究 2:如图 2 中，O 是ABC 与外角ACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，试分析BOC 与A 有怎样的关系?请 说明理由。 探究 3:如图 3 中， O 是外角DBC 与外角
17、ECB 的平分线 BO 和 CO 的交点， 则BOC 与A 有怎样的关系?(只 写结论,不需证明) 结论：_. 答案与解析答案与解析 1. 【答案】98 【解析】 DEC 是ADE 的外角,A=46,1=52， DEC=A+1=46+52=98 DEBC， 2=DEC=98 2. 【答案】 (1)证明：点 D 是 AB 中点，AC=BC， ACB=90， CDAB，ACD=BCD=45， CAD=CBD=45， CAE=BCG， 又BFCE， CBG+BCF=90， 又ACE+BCF=90， ACE=CBG， 在AEC 和CGB 中， CAE=BCG AC=BC ACE=CBG AECCGB(
18、ASA)， AE=CG， (2)BE=CM. 证明：CHHM，CDED， CMA+MCH=90，BEC+MCH=90， CMA=BEC， 又ACM=CBE=45， 在BCE 和CAM 中，BEC=CMA ACM=CBE BC=AC， BCECAM(AAS)， BE=CM. 【解析】综合考查几何证明问题类比探究. 3. 【答案】 (1)探究 2 结论：BOC= 1 2 A， 理由如下： BO 和 CO 分别是ABC 和ACD 的角平分线， 1= 1 2 ABC，2= 1 2 ACD， 又ACD 是ABC 的一外角， ACD=A+ABC， 2= 1 2 (A+ABC)= 1 2 A+1， 2 是BOC 的一外角， BOC=21= 1 2 A+11= 1 2 A， (2)探究 3:OBC= 1 2 (A+ACB)，OCB= 1 2 (A+ABC)， BOC=1800BCOCB，=180 1 2 (A+ACB) 1 2 (A+ABC)，=180 1 2 A 1 2 (A+ABC+ ACB)， 结论BOC=90 1 2 A. 【解析】综合考查几何证明问题类比探究. 七 、教学反思