1、 轴对称与坐标变化 第 8 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 轴对称与坐标变化 轴对称作图 教学目标 1、掌握关于 x 轴、y 轴的对称的点的坐标特点. 2、通过作图形关于 x 轴、y 轴的对称图形的过程,理解并掌握关于 x 轴、y 轴对称的两个 点坐标之间的相互关系. 3、体验生活中处处离不开数学,对称美在生活中的实际应用. 教学重点 点关于 x 轴、y 轴的对称点. 教学难点 判断两点是否关于 x 轴、y 轴对称. 【教学建议教学建议】 本节课利用数形结合引导学生发现点关于数轴对称的变化特点，应注意引导学生发现寻找不同点， 发现
2、变化规律。发展学生的数形结合思想。 【知识导图】【知识导图】 轴对称与坐标变化轴对称与坐标变化 轴对称与坐标变化轴对称与坐标变化 轴对称作图轴对称作图 概 述 1、平面直角坐标系定义：在平面内，两条_且有公共_的数轴组成平面直角坐标系。 2、坐标平面内点的坐标的表示方法_。 3、各象限点的坐标的特征： 探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 1）.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。 两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特点？ 其它对应的点也有这个特点吗？ 2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于 y 轴对
3、称的点，看看两 个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理 3.如果关于 x 轴对称呢？ 在这个坐标系里作出小旗 ABCD 关于 x 轴的对称图形，它的各个顶点 的坐标与原来的点的坐标有什么关系？ 归纳、概括归纳、概括 关于 x 轴对称的两点，它们的横坐标 ，纵坐标 ； 关于 y 轴对称的两点，它们的横坐标 ，纵坐标 探索坐标变化引起的图形变化探索坐标变化引起的图形变化 反过来，坐标具有上述关系的点，一定关于坐标轴对称吗？我们先做几 个具体的，找找经验。 （1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4）， （3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，
4、0）， 你得到了一个怎样的图案？ （2）将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1， 顺次连接这些点， 你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的 位置关系呢？ 变式、拓展变式、拓展 w W w .x K b 1.c o M 2.如果 1（1）中所得图案的各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分 别变为原来的-1 倍，顺次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？ 二、知识讲解 一、导入 考点 2 轴对称作图 考点 1 轴对称与坐标变化 *3.如果纵坐标、横坐标都分别变为原来的-1 倍，得到的图形与原来的图形又有怎样的关系呢？说说你 的判断和理由。 归纳
5、。概括归纳。概括 4.横坐标相同、纵坐标相反的两点， ； 横坐标相反、纵坐标相同的两点， 。 类型一 轴对称与坐标变化 1、 设点 P 的坐标是（a，b）. （1） 关于 x 轴对称的点的坐标为_，简记为关于横轴对称，“横”不变“纵”变； （2） 关于 y 轴对称的点的坐标为_，简记为关于纵轴对称，“纵”不变“横”变. 【解析】（1）（a，-b） （2）（-a，b） 【总结与反思】点关于坐标轴对称时的变化特点 2、已知点 P(2a-3，3)，点 A（1，3b+2）， （1）如果点 P 与点 A 关于 x 轴对称，那么 a+b= ； （2）如果点 P 与点 A 关于 y 轴对称，那么 a+b=
6、。 【解析】 3 7 3 2 -， （1）已知点 P(2a-3,3)和点 A(-1,3b+2)关于 x 轴对称 关于 x 轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反 数。 所以，2a-3= -1，-3=3b+2 所以，a=1，b = 3 5 - 所以，a+b = 3 2 -（2）同理 a+b= 3 7 【总结与反思】点关于坐标轴对称时的变化特点 3、在平面直角坐标系中，点 M（-3,2）关于 x 轴对称的点在（ ） A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】C 【总结与反思】点关于坐标轴对称时的变化特点 三 、例题精析 类型二 轴对称作图 1、如图，在平面直角坐标系中， ABC
7、 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为(2，4)，请解答下列问题： （1）画出 ABC 关于 x 轴对称的 111 CBA，并写出点 1 A的坐标； （2）画出 111 CBA绕原点 O 旋转 180后得到的 222 CBA，并写出点 2 A的 坐标 【解析】1、（1）图略 （2，4）（2）图略 （2,4） 【总结与反思】 由点对称作图形的轴对称 1、在平面直角坐标系中，点 A（-1,2）关于 x 轴对称的点 B 的坐标为（ ） A（-1,2） B.（1,2） C.（1，-2） D.（-1，-2） 2、若点P关于 X 轴的对称点是 1 P，点 1 P关于 Y 轴的对称点 2 P（2,3），则
8、点P的坐标（ ） （-3，-2） B（-2，-3） C（2，-3） D（-2，3） 3、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（-4,5），（-1,3）. (1)请在图中的网格平面内做出平面直角坐标系； (2)请作出ABC 关于 y 轴对称的 ABC； (3)写出点 B 的对应点 B的坐标. y xO A C B 基础 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】点关于坐标轴对称时的变化特点 2.【答案】A 【解析】点关于坐标轴对称时的变化特点 3. 【答案】 （1）（2）如图所示；（3）点 B的坐标为（2
9、，1） 【解析】 （1）易得 y 轴在 C 的右边 1 个单位，轴在 C 的下方 3 个单位； （2）作出 A，B，C 三点关于 y 轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及点与坐标轴的距离可得相应坐标 1、五个点的坐标如下：A(-1,2), B(1,2),C(2，-1)，D(-1，-2),E(2,1)，其中关于 x 轴对称的点 有 ，关于 y 轴对称的有 。 巩固 2、已知点 P（3，-1）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是（a+b，1-b），则 b a的值为_. 3、在边长为 1 的小正方形网格中，AOB 的顶点均在格点上， （1）B 点关于 y 轴的对称点坐标为 ； （2）将A
10、OB 向左平移 3 个单位长度得到 111 BOA，请画出 111 BOA； （3）在（2）的条件下， 1 A的坐标为 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 与 D，C 与 E；A 与 B 【解析】点关于坐标轴对称时的变化特点 2.【答案】25 【解析】点关于坐标轴对称时的变化特点 3.【答案】 （1）（3，2）； （2）作图见解析 （3）（2，3） 【解析】点关于坐标轴对称时的变化特点 1、如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 上，且 D 的坐标为（2，0），P 是 OB 上的一动点，试求 PD+PA 和的最小值是（
11、 ） A102 B.10C.4 D.6 2、已知点)8 , 2(A，6 , 9B，现将A点向右平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到点D，C 点在x轴负半轴上且距离y轴12个单位长度 （1）点D的坐标为 ； （2）请在右边的平面直角坐标系中 画出四边形ABCD； （3）四边形ABCD的面积 为 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解析】连接 CD，交 OB 于 P则 CD 就是 PD+PA 和的最小值 在直角OCD 中，COD=90，OD=2，OC=6， CD=10262 22 PD+PA=PD+PC=CD=102 PD+PA 和的最小值是102 拔高 1 1 y xO 2. 【答案
12、】（1）（0,0）（2）略（3）66 【解析】关于坐标轴对称时的变化特点及面积 本节讲了 2 个重要内容： 1 轴对称时点坐标的变化特点 2轴对称作图 1、如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，RtABC 关于 y 轴对称的图形为 RtDEF，则点 A 的对应 点 D 的坐标是_. （第 5 题图） （第 6 题图） 2、如图，在平面直角坐标系中，RtOBC 的顶点 O（0,0），且 OC=23，OC=BC，则点 C 关于 y 轴的对称 点的坐标是（ ） A.（3,3） B.(-3,3) C.（-3,-3） D.（23,23） 3、点 A（2a-3，b）与点 A（4，a+2）关于 x 轴对称
13、，求 a，b. 答案与解析答案与解析 1.【答案】（2,1） 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 【解析】轴对称时点坐标的变化特点 2.【答案】A 【解析】轴对称时点坐标的变化特点 3.【答案】a= 2 7 ,b= 2 11 【解析】轴对称时点坐标的变化特点 1、点（m，- 1）和点（2，n）关于 x 轴对称，则 mn 等于( ) A.- 2 B.2 C.1 D.- 1 2、 一束光线从点 A（3，3）出发，经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B（1，0）则光线从 A 点到 B 点经过的路 线长是（ ）。 A4 B5 C6 D7 3、如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（-1，-
14、2），C（2，-2）三点坐标，若以 A，B，C，D 为 顶点的四边形是平行四边形，则下列点：（-2，0），（0，-4），（4，0），（1，-4），其中可 作为点 D 坐标的是 _ （填序号） 答案与解析答案与解析 1.【答案】B 【解析】轴对称点坐标的特点 2.【答案】B 【解析】镜面反射与轴对称点坐标的特点 3.【答案】 【解析】解：如图， 巩固 A（1，0）,B（-1，-2）,C（2，-2） BC=3， 该平行四边形另一个顶点 D 的坐标为（-2，0）或（4，0）或（0，-4） 故填 1、如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC。已知 A
15、B=5，DE=1，BD=8， 设 CD=x. (1)用含 x 的代数式表示 ACCE 的长； (2)请问点 C 满足什么条件时，ACCE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式9)12(4 22 xx的最小值 2、 两条公路 OA、 OB 相交， 在两条公路的中间有一个油库， 设为点 P， 如在两条公路上各设置一个加油站， ， 请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油 站，最后回到油库所走的路程最短. 拔高 答案与解析答案与解析 1.【答案】(1)AC+CE = 125-8 22 xx）（ (2)A、C、E 三点共线时
16、AC+CE 最小, 最小值是 10 （3）(3)如图，AE 的长就是这个代数式的最小值 AE = 13 【解析】(1)AC =25-8 2 ）（x，CE =1 2 x 则 AC+CE = 125-8 22 xx）（ (2)A、C、E 三点共线时 AC+CE 最小 连接 AE，交 BD 于点 C，则 AE 就是 AC+CE 的最小值 最小值是 10 (3)如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值 在直角AEF 中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 13 2. 【答案】分别做点 P 关于直线 OA 和 OB 的对称点 P1、P2， 连结 P1P2 分别交 OA、OB 于 C、D， 3 2 x 12-xC F B D A E 3 2 x 12-xC F B D A E 则 C、D 就是建加油站的位置. 【解析】 解：分别做点 P 关于直线 OA 和 OB 的对称点 P1、P2， 连结 P1P2 分别交 OA、OB 于 C、D， 则 C、D 就是建加油站的位置. 若取异于 C、D 两点的点， 则由三角形的三边关系，可知在 C、D 两点建加油站运油车所走的路程最短. 七 、教学反思