1、 平方根 第 4 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.算数平方根的概念 2.平方根的概念 3. 平方根与算数平方根的应用 教学目标 1.了解平方根与算数平方根的概念。 2.掌握平方根与算数平方根的区别与联系。 3.灵活应用平方根与算数平方根。 教学重点 平方根与算术平方根的概念、性质 教学难点 算数平方根的意义 【教学建议】【教学建议】 通过对算术平方根及平方根的学习，扩充学生对数的认识，让学生体验数学与生活实际是紧密相连，激发 学生的学习兴趣。 【知识导图】【知识导图】 概 述 前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图
2、形完成填空： 2 x ， 2 y ， 2 z ， 2 w 能表示2 2 x，3 2 y，4 2 z，5 2 w；能求得2z，你能求得x，y，w的值 2 2 x，3 2 y，4 2 z，5 2 w，已知幂和指数，怎么求求底数呢？ 我们知道：19614,16913,14412,12111 2222 那么 1已知边长求 面积 正方形边长 正方形面积 2.已知面积求 边长 正方形边长 正方形面积 11 121 13 169 0.3 0.09 平方根平方根 算术平方根及性质算术平方根及性质 平方根及性质平方根及性质 二、知识讲解 一、导入 考点 1 算术平方根概念及性质考 教学过程 1 2 在上面思考的
3、基础上，明晰概念： 一般地， 如果一个正数一般地， 如果一个正数x的平方等于的平方等于a， 即， 即ax 2 ， 那么这个正数， 那么这个正数x就叫做就叫做a的算术平方根， 记为 “的算术平方根， 记为 “a” ，” ， 读作“根号读作“根号a”特别地，我们规定”特别地，我们规定 0 的算术平方根是的算术平方根是 0，即，即00 由平方根的定义可知，当2 2 x，3 2 y，5 2 w，那么2x，3y，5w 由算术平方根的定义我们可知：a的算术平方根a是一个非负数；我们知道 0 =0，正数 x=a0，所以 a0. 即算术平方根定义中：a中的a是一个非负数，a的算术平方根 a 也是一个非负数，负
4、数没有算术平方 根这也是算术平方根的性质双重非负性 平方根的概念平方根的概念 我们知道 1 =（-1） =1, 2 =（-2） =4, 3 =（-3） =9,a =（-a） =a , 如果一个数如果一个数 x 的平方等于的平方等于 a,即即 x =a=a 。那么。那么 x 就叫做就叫做 a 的平方根。的平方根。 正数 a 的两个平方根可以用“a”表示，其中 a 表示 a 的正的平方根（又叫算术平方根），读作 “根号 a”； a 表示 a 的负的平方根，读作“负根号 a”。 一个正数 a 的平方根有两个，记为a ，它们互为相反数。 0 的平方根是 0。 负数没有算数平方根。 求一个数 a 的平方
5、根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数。（开平方与平方互为逆运算） 类型一 算术平方根概念及性质 例 1 求下列各数的算术平方根： 考点 2 平方根概念及性质 考点 3 开平方 三 、例题精析 (1) 900； (2) 1； (3) 64 49 ； (4) 14 【解析】(1)因为900302，所以 900 的算术平方根是 30，即30900 ； (2)因为 112 ，所以 1 的算术平方根是 1，即11 ； (3)因为 64 49 ) 8 7 ( 2 ，所以 64 49 的算术平方根是 8 7 ， 即 8 7 64 49 ； (4)14 的算术平方根是14 【总结与反思】由算术平方根的定义求一
6、个数的算术平方根 例 2 自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为 2 9 . 4 th 有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 【解析】解：将6 .19h代入公式 2 9 . 4 th ，得4 2 t，所以正数24 t(秒) 即铁球到达地面需要 2 秒 【总结与反思】算术平方根的实际应用 例 3 01)2 2 yxy（则 xy= 【解析】解 （y+2）0；01 yx 两个非负数的和为 0，所以这两个非负数都为 0 即 y+2=0 且 x+y+1=0 解得 y=-2;x=1 xy=-2 【总结与反思】算术平方根的非负性 类型二 平方根及性质 1.如果
7、x=a，那么下列说法错误是（ ） A若 x 确定，则 a 的值是唯一的 B若 a 确定，则 x 的值是唯一的 Ca 是 x 的平方 Dx 是 a 的平方根 【解析】B 【总结与反思】平方根及性质 2. a的意义是（ ） Aa 的平方根 Ba 的算术平方根 C当 a0 时， a 是 a 的平方根 D以上都不正确 【解析】C 【总结与反思】平方根的定义 2.若1x+（y+2）=0，则 2018 )(yx等于（ ） A1 B1 C 2018 3 D 2018 3 【解析】B 【总结与反思】非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 类型三：利用平方根的意义求字母的值类型三：利用平方
8、根的意义求字母的值 【例题】【例题】 1.一个正数的平方根是 2a3 与 a12，则这个正数为（ ） A3 B5 C7 D49 【解析】D 解：由题意得，2a3+a12=0，解得，a=5， 2a3=7，7=49，故选：D 【总结与反思】一个正数有两个平方根，它们互为相反数 1. 16的平方根是（ ） A4 B4 C2 D2 2下列运算正确的是（ ） A 2 13）（ =13 B 2 6）（ =6 C25 =5 D9 =3 答案与解析 1.【答案】C 解：16 =4，4 =2，故选：C 【解析】根据算术平方根的意义，可得 16 的算术平方根，再根据平方根的意义 2. 【答案】C 解：A、- 2
9、13）（=13，故错误；B、 2 6）（=6，故错误； C、-25=5，正确；D、9=3，故错误；故选：C 【解析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义 四 、课堂运用 基础 1.若正方形的边长为 a，面积为 s，则（ ） As 的平方根是 a Ba 是 s 的算术平方根 Ca= D.s= 2.4 的平方根是 ； 3 的平方根是 16的平方根是 , 2 5）（ 的平方根是_ 3.若（a1）|b9|0，则 a b 的平方根是 答案与解析答案与解析 1.【答案】B 【解析】算术平方根的应用 2.【答案】2；3；2；5 【解析】平方根的定义 3.【答案】3 【解析】非负数的性质
10、：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 1.已知实数 a 满足条件|2011a|+2012a=a，那么 a2011的值为（ ） A2010 B2011 C2012 D2013 2用代数式表示实数 a（a0）的平方根： 3观察下列各式： 3 1 2 3 1 1， 4 1 3 4 1 2， 5 1 4 5 1 3，请你找出其中规律，并将第 n （n1）个等式写出来 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 巩固 拔高 【解析】根据负数没有平方根，得到 a2012 大于等于 0，然后根据 a 的范围化简绝对值，移项后两边平方 即可求出所求式子的值 2. 【答案】a 解：用代数式表示实数 a（a
11、0）的平方根为：a，故答案为：a 【解析】本题考查了平方根，关键是根据平方根的定义解答 3. 【答案】 2 1 ) 1( 2 1 n n n n 解： 3 1 2 21 1 11 3 1 1 ）（， 4 1 3 22 1 12 4 1 2 ）（， 5 1 4 23 1 13 5 1 3 ）（ 2 1 ) 1( 2 1 n n n n， 故答案为： 2 1 ) 1( 2 1 n n n n 【解析】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律 本节讲了 2 个重要内容： 1算术平方根及其双重非负性 2. 平方根及其性质 1.求下列各式的值： （1）44. 1； （2） 64 9 ； （3） 2
12、5 24 1 五 、课堂小结 六 、课后作业 2.计算： （1）9； （2）9； （3） 16 1 ； （4）25. 0 答案与解析答案与解析 1.【答案】解：（1）44. 1=1.2；（2） 64 9 = 8 3 ；（3） 5 7 25 49 25 24 1. 【解析】直接利用算术平方根的定义化简得出答案； 2. 【答案】 【解析】本题考查平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力. 1.已知一个正数的平方根是 m+3 和 2m15 （1）求这个正数-是多少？ （2）5m的平方根又是多少？ 2.如果xx91有意义，那么代数式|x1|+ 2 )9( x的值为（ ） A.8
13、B.8 C.与 x 的值无关 D.无法确定 3.如果3x=2,那么(x+3)=_. 答案与解析答案与解析 1.【答案】解：（1）m+3 和 2m15 是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数 即：（m+3）+（2m15）=0 解得 m=4 则这个正数是（m+3）2=49 （2）5m=3，则它的平方根是3 巩固 【解析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出 m； （2）利用（1）的结果集平方根的定义即可求解 2. 【答案】B 【解析】由算术平方根的非负性可求得 x 的取值范围，从而求解. 3. 【答案】16 【解析】平方及平方根互为逆运算 1.若01baa，求 101100 ba的值。 2.若054yxx，求 xy 的值. 3.设 a、b 是有理数，且满足 2 )21 (2ba，求 b a的值 答案与解析答案与解析 1【答案】2 【解析】非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 2.【答案】4 【解析】非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 3.【答案】9 1 【解析】由223212 2 ba，得 a=3,b=-2,所以 9 1 3 2 b a. 七 、教学反思 拔高