1、 等腰三角形与直角三角形 第1讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.等腰三角形判定与性质 2.直角三角形判定与性质 教学目标 1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明 2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 教学重点 特殊三角形的灵活应用 教学难点 特殊三角形的灵活应用. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几 何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中 考
2、题型进行拓展。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。 2. 结合三角形全等的几何动点。 3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始 接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。 1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： （1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； （2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3、 （3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） ； （4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） ； （5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS） ； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件： （1） （推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） ，并要求学生利用前面所提到的公 等腰三角形与直角三 角形 等腰三角形判定与 性质 直角三角形判定 与性质 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 等腰三角形判定与性质 理进行证明； （2）回忆全等三角形的性质。 2.等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等 通过问题串回顾
4、等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2.我们是如何证明上述定理的？ 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等？ 3.顶角是60的等腰三角形是等边三角形； 底角是60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形。 1.定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的
5、直角边就等于斜边的一半 【题干】如图，已知 AD=AE，BE=CD，1=2=110，BAC=80，则CAE 的度数是（ ） A20 B30 C40 D50 知识点 2 直角三角形判定与性质 三、例题精析 例题 1 【题干】【题干】 （2015 春龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板 ABC 的斜边 BC 与含 30角的直 角三角板 DBE 的直角边 BD 长度相同，且斜边 BC 与 BE 在同一直线上，AC 与 BD 交于点 O，连接 CD求证： CDO 是等腰三角形 【题干】【题干】 （2007 春南阳期末）如图：ABC 中，ADBC 于 D，点 E 在 AD 上，ADC 和BD
6、E 是等腰三角形， EC=5cm，求 AB 的长 【题干】【题干】如图，在四边形 ABCD 中，BAD=BCD=90，M、N 分别是 BD、AC 的中点 （1）求证：MNAC； （2）若ADC=120，求1 的度数 例题 2 例题 3 例题 4 四 、课堂运用 基础 1. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A20或 100 B120 C20或 120 D36 2.（2014 秋西城区校级期中）已知：AD 既是ABC 的角平分线又是 BC 边上的中线，DEAB 于 E，DFAC 于 F， 求证：BE=CF 3.（2002呼和浩特）如图，ABC 中，
7、ACB=90，AC=BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D （1）求证：AE=CD； （2）若 AC=12cm，求 BD 的长 1.（2014南岗区模拟）如图，RtABC 中，ACBC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAD 交 AB 于点 E，M 为 AE 中点，连接 MD，若 BD=2，CD=1则 MD 的长为 2.（2015北京）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC 于点 E求证：CBE=BAD 巩固 3.在锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，且 CD
8、，BE 交于点 P，若A=50，则BPC 的度数是 度 4.如图所示，ABC 是等边三角形，D 点是 AC 的中点，延长 BC 到 E，使 CE=CD （1）用尺规作图的方法，过 D 点作 DMBE，垂足是 M（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）求证：BM=EM 1.（2011 秋西城区校级期中）如图所示，已知 RtABC 中，AB=AC，BD 平分ABC，CEBD 交 BD 延长线于 E，BA、CE 延长线相交于 F 点 求证： （1）BCF 是等腰三角形； （2）BD=2CE 2.（1）如图 1，已知ABC，以 AB、AC 为边向ABC 外作等边ABD 和等边ACE，连接 BE，CD，判
9、断 BE 与 CD 的大小关系为：BE_CD （不需说明理由） 拔高 （2）如图 2，已知ABC，以 AB、AC 为边向外作等腰ABD 和等腰ACE，且顶角BADCAE，连接 BE、CD，BE 与 CD 有什么数量关系？请说明理由； （3）运用（1） 、 （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B、 E 的距离已经测得ABC45，CAE90，ABBC100 米，ACAE，求 BE 的长 1等腰三角形的性质与判定： （1）等腰三角形三线合一 （2）等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等 （3）对称性 （4）等边对
10、等角，等角对等边 （5）等边三角形的性质与判定 2.直角三角形的性质与判定： （1）定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边就等于斜边的一半 课堂小结 扩展延伸 1.（2014 秋嘉鱼县校级月考）如图所示，1=2，BD=CD，试证明ABC 是等腰三角形 2. 如图，在 ABC 中， AC=AB ， 120=BAC ， BE=AE ，D为EC中点 （1）求 CAE 的度数； （2）求证： ADE 是等边三角形 3. 如图所示，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若
11、 PC=4，求 PD 的长 1.如图，ABC 是等边三角形，BDAC，AEBC，垂足分别为 D、E，AE、BD 相交于点 O，连接 DE CDEB A 基础 巩固 （1）判断CDE 的形状，并说明理由 （2）若 AO=12，求 OE 的长 2.（2010 春福安市期末）如图，在ABC 中，AB=AC=2，B=40，点 D 在线段 BC 上运动（D 不与 B、C 重 合） ，连接 AD，作ADE=40，DE 交线段 AC 于 E （1） 当BDA=115时， BAD= ； 点 D 从 B 向 C 运动时， BDA 逐渐变 （填 “大” 或“小” ） ； （2）当 DC 等于多少时，ABDDCE，
12、请说明理由； （3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状也在改变，判断当BDA 等于多少度时，ADE 是等腰三角形 3.（2009 春东山县校级期末）ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BE 是角平分线，EDBC 请你写出图中所有的等腰三角形； 若 BC=10，求 AB+AE 的长 1.（1）如图，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE求证：AD=BE 拔高 （2）如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，点 A、D、E 在同一直线上，CM 为DCE 边 DE 上的高，连接 BE 求证：2CM+BE=AE； 若将图 2 中的DCE 绕点 C 旋转至图 3 所示位置，中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的 数量关系 2.如图，在四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，M、N 分别是边 AC、BD 的中 点 （1）求证：MNBD； （2）当BCA=15，AC=10cm，OB=OM 时，求 MN 的长