1、 等腰三角形与直角三角形 第1讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.等腰三角形判定与性质 2.直角三角形判定与性质 教学目标 1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明 2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 教学重点 特殊三角形的灵活应用 教学难点 特殊三角形的灵活应用. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几 何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中 考
2、题型进行拓展。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。 2. 结合三角形全等的几何动点。 3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始 接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。 1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： （1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； （2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3、 （3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） ； （4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） ； （5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS） ； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件： （1） （推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） ，并要求学生利用前面所提到的公 等腰三角形与直角三 角形 等腰三角形判定与 性质 直角三角形判定 与性质 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 等腰三角形判定与性质 理进行证明； （2）回忆全等三角形的性质。 2.等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等 通过问题串回顾
4、等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2.我们是如何证明上述定理的？ 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等？ 3.顶角是60的等腰三角形是等边三角形； 底角是60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形。 1.定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的
5、直角边就等于斜边的一半 【题干】如图，已知 AD=AE，BE=CD，1=2=110，BAC=80，则CAE 的度数是（ ） A20 B30 C40 D50 知识点 2 直角三角形判定与性质 三、例题精析 例题 1 【答案】【答案】A 【解析】试题分析：AD=AE，BE=CD，ABE 和ABC 是等腰三角形，B=C，ADE=AED1= 2=110，ADE=AED=70，DAE=180270=401=2=110，B=C，BAD= EACBAC=80，BAD=EAC=（BACDAE）2=20故选 A 【题干】【题干】 （2015 春龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板 ABC 的斜边 B
6、C 与含 30角的直 角三角板 DBE 的直角边 BD 长度相同，且斜边 BC 与 BE 在同一直线上，AC 与 BD 交于点 O，连接 CD求证： CDO 是等腰三角形 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：在BDC 中，BC=DE， BDC=BCD DEF=30， BDC=BCD=75， ACB=45， DOC=30+45=75 DOC=BDC， CDO 是等腰三角形 【题干】【题干】 （2007 春南阳期末）如图：ABC 中，ADBC 于 D，点 E 在 AD 上，ADC 和BDE 是等腰三角形， EC=5cm，求 AB 的长 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：ADC
7、和BDE 是等腰三角形且 ADBC ADC 和BDE 均为等腰直角三角形（2 分） AD=DC，BD=ED ADBCDE（SAS） （5 分） 例题 2 例题 3 AB=CE=5cm（6 分） 【题干】【题干】如图，在四边形 ABCD 中，BAD=BCD=90，M、N 分别是 BD、AC 的中点 （1）求证：MNAC； （2）若ADC=120，求1 的度数 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 （1）证明：BAD=BCD=90，M 是 BD 的中点， AM= BD，CM= BD， N 是 AC 的中点， MNAC； （2）解：M 是 BD 的中点， MD= BD， AM=DM， AMD=1
8、802ADM， 同理CMD=1802CDM， AMC=AMD+CMD=1802ADM+1802CDM=120， AM=DM， 1=2=30 1. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A20或 100 B120 C20或 120 D36 【答案】【答案】C 【解析】【解析】试题分析：设两内角的度数为 x、4x； 例题 4 四 、课堂运用 基础 当等腰三角形的顶角为 x 时，x+4x+4x=180，x=20； 当等腰三角形的顶角为 4x 时，4x+x+x=180，x=30，4x=120； 因此等腰三角形的顶角度数为 20或 120故选 C 2.（201
9、4 秋西城区校级期中）已知：AD 既是ABC 的角平分线又是 BC 边上的中线，DEAB 于 E，DFAC 于 F， 求证：BE=CF 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】AD 是BAC 的平分线， BAD=CAD， DEAB 于 E，DFAC 于 F， AED=AFD=90， 在AED 和AFD 中， BAD=CAD AED=AFD=90 AD=AD AEDAFD（AAS） ， DE=DF， AD 是 BC 边的中线， BD=CD， 在 RtBDE 和 RtCDF 中， BD=CD DE=DF RtBDERtCDF（HL） ， BE=CF 3.（2002呼和浩特）如图，ABC 中，ACB
10、=90，AC=BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D （1）求证：AE=CD； （2）若 AC=12cm，求 BD 的长 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）证明：DBBC，CFAE， DCB+D=DCB+AEC=90 D=AEC 又DBC=ECA=90， 且 BC=CA， 在DBC 和ECA 中， DBCECA（AAS） AE=CD （2）解：由（1）得 AE=CD，AC=BC， 在 RtCDB 和 RtAEC 中 ， RtCDBRtAEC（HL） ， BD=CE， AE 是 BC 边上的中线， BD=EC
11、= BC= AC，且 AC=12cm BD=6cm 1.（2014南岗区模拟）如图，RtABC 中，ACBC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAD 交 AB 于点 E，M 为 AE 中点，连接 MD，若 BD=2，CD=1则 MD 的长为 【答案】【答案】 【解析】【解析】解：过点 D 作 DFAB 于点 F 巩固 AD 平分BAC 交 BC 于点 D，CD=1， FD=CD=1； 在 RtBDF 中，FD=1，BD=2， B=30（30角所对的直角边是斜边的一半） ； 1=2=30， 在 RtAFD 中，AD=2FD=2； 在 RtAED 中，AE=， MD= AE= 故答案为：
12、2.（2015北京）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC 于点 E求证：CBE=BAD 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】在 RTABD 中，BAD+ABD=90 在 RTCBE 中，CBE+C=90 BAD+ABD=CBE+C AB=AC ABD=C BAD=CBE 3.在锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，且 CD，BE 交于点 P，若A=50，则BPC 的度数是 度 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高， BDC=AEB=90 ABE=9050=40 BPC=ABE+BDP=40+
13、90=130 故答案为：130 4.如图所示，ABC 是等边三角形，D 点是 AC 的中点，延长 BC 到 E，使 CE=CD （1）用尺规作图的方法，过 D 点作 DMBE，垂足是 M（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）求证：BM=EM 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）作图见试题解析； （2）证明见试题解析 【解析】 试题分析： （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证 BM=EM 可证 BD=DE，由三线合一得出 BM=EM 试题解析： （1）解：作图如下； （2） 证明： ABC 是等边三角形， D 是 AC 的中点， BD 平分ABC （三线合一）
14、 ， ABC=2DBE， CE=CD， CED=CDE，又ACB=CED+CDE，ACB=2E，又ABC=ACB，2DBC=2E，DBC= E，BD=DE，又DMBE，BM=EM 1.（2011 秋西城区校级期中）如图所示，已知 RtABC 中，AB=AC，BD 平分ABC，CEBD 交 BD 延长线于 E，BA、CE 延长线相交于 F 点 求证： （1）BCF 是等腰三角形； （2）BD=2CE 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明： （1）BD 平分ABC， FBE=CBE CEBD， BEF=BEC=90， 又BE=BE， BEFBEC， BF=BC，即BCF 等腰三角形 （2）
15、BF=BC，CEBD， CF=2CE=2EF， ABD+ADB=90，ABD+AFE=90， ADB=BFE， 又AB=AC，BAD=CAF=90， ABDACF， BD=CF=2CE 2.（1）如图 1，已知ABC，以 AB、AC 为边向ABC 外作等边ABD 和等边ACE，连接 BE，CD，判断 BE 与 CD 的大小关系为：BE_CD （不需说明理由） （2）如图 2，已知ABC，以 AB、AC 为边向外作等腰ABD 和等腰ACE，且顶角BADCAE，连接 拔高 BE、CD，BE 与 CD 有什么数量关系？请说明理由； （3）运用（1） 、 （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图
16、 3，要测量池塘两岸相对的两点 B、 E 的距离已经测得ABC45，CAE90，ABBC100 米，ACAE，求 BE 的长 【答案】【答案】 （1）=； （2）BE=CD，理由见解析（3）BE= 100米 【解析】【解析】试题分析： （1）利用条件，根据 SAS 证明CADEAB 即可得出结论； （2）利用条件，根据 SAS 证明CADEAB 即可得出结论； （3）根据（1） （2）中的结论，过 A 作等腰直角三角形 ABD，BAD=90， 然后可得 BD=100米，连接 CD，证出 BE=CD，DBC=90，然后在 RtDBC 中，利用勾股定理可求出 BE=CD=100米 试题解析： （1
17、）答案是：=； （2）BE=CD，理由同（1） ABD 和ACE 均为等腰三角形，BADCAE， AD=AB，AC=AE，BAD=CAE， CAD=EAB， 在CAD 和EAB 中， CADEAB（SAS） ， BE=CD； （3）由（1） 、 （2）的解题经验可知，过 A 作等腰直角三角形 ABD，BAD=90， 则 AD=AB=100 米，ABD=45， BD=100米， 连接 CD，则由（2）可得 BE=CD， ABC=45，DBC=90， 在 RtDBC 中，BC=100 米，BD=100米， 根据勾股定理得：CD=100米， 则 BE=CD=100米 3 2 3 2 2 22 100
18、(100 2) 3 课堂小结 1等腰三角形的性质与判定： （1）等腰三角形三线合一 （2）等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等 （3）对称性 （4）等边对等角，等角对等边 （5）等边三角形的性质与判定 2.直角三角形的性质与判定： （1）定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边就等于斜边的一半 1.（2014 秋嘉鱼县校级月考）如图所示，1=2，BD=CD，试证明ABC 是等腰三角形 【答案】【答案】见解析 【解析】【解
19、析】证明：BD=CD， DBC=DCB， 1=2， 1+DBC=2+DCB， 即ABC=ACB， AB=AC， 即ABC 是等腰三角形 2. 如图，在 ABC 中， AC=AB ， 120=BAC ， BE=AE ，D为EC中点 扩展延伸 基础 （1）求 CAE 的度数； （2）求证： ADE 是等边三角形 【答案答案】 （1）CAE=90； （2）见解析 【解析解析】 证明：（1） ， B=C=30， 又， AED=2B=60， CAE=90 （2）证明：CAE=90，D 是 EC 的中点 AD=EC=ED=DC C=30AEC=60是等边三角形 3. 如图所示，AOP=BOP=15，PCO
20、A，PDOA，若 PC=4，求 PD 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】解：如图，过点 P 作 PEOB 于 E， PCOA， AOP=CPO， PCE=BOP+CPO=BOP+AOP=AOB=30， 又PC=4， PE= PC= 4=2， AOP=BOP，PDOA， PD=PE=2 CDEB A AC=AB120=BACBE=AE 2 1 ADE 1.如图，ABC 是等边三角形，BDAC，AEBC，垂足分别为 D、E，AE、BD 相交于点 O，连接 DE （1）判断CDE 的形状，并说明理由 （2）若 AO=12，求 OE 的长 【答案答案】 （1）CDE是等边三角形，理由见解析； （2
21、）6 【解析】 （1）CDE 是等边三角形，理由如下， （2） 2.（2010 春福安市期末）如图，在ABC 中，AB=AC=2，B=40，点 D 在线段 BC 上运动（D 不与 B、C 重 合） ，连接 AD，作ADE=40，DE 交线段 AC 于 E （1） 当BDA=115时， BAD= ； 点 D 从 B 向 C 运动时， BDA 逐渐变 （填 “大” 或“小” ） ； （2）当 DC 等于多少时，ABDDCE，请说明理由； （3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状也在改变，判断当BDA 等于多少度时，ADE 是等腰三角形 为等边三角形 中，等边 CDE CECD BCAEBEAC
22、CDAD BCAEACBD BCACC ABC 2 1 , 2 1 , ,60 1,EABAC DBABC由（）得，平分平分 30 12 30 1 6 2 BAEABDDBC AOBO Rt OBEDBC OEBO 中， 巩固 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）BAD=180ABDBDA=18040115=25； 从图中可以得知，点 D 从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变小； 故答案为：25；小 （2）当ABDDCE 时 DC=AB， AB=2， DC=2， 当 DC 等于 2 时，ABDDCE； （3）AB=AC， B=C=40， 当 AD=AE 时，ADE=AED=40， A
23、EDC， 此时不符合； 当 DA=DE 时，即DAE=DEA= （18040）=70， BAC=1804040=100， BAD=10070=30； BDA=1803040=110； 当 EA=ED 时，ADE=DAE=40， BAD=10040=60， BDA=1806040=80； 当ADB=110或 80时，ADE 是等腰三角形 3.（2009 春东山县校级期末）ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BE 是角平分线，EDBC 请你写出图中所有的等腰三角形； 若 BC=10，求 AB+AE 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】解：ABC 是等腰直角三角形，BAC=90， ABC=8=
24、45， 又DEBC， EDC=90，7=8=45，DE=DC， 故DCE 为等腰三角形； BE 是ABC 的角平分线，BAC=ACB=90， AE=DE， 故ADE 为等腰三角形； BE 是ABC 的角平分线， 1=2， 又BAE=EDB=90，BE=BE， ABEDBF，3=4，AB=BD， 故ABD 为等腰三角形 故图中所有的等腰三角形为ABC，DCE，ADE，ABD，共四个； 由可知AED 为等腰三角形，ABD 为等腰三角形，CDE 为等腰三角形 故 AB=BD，AE=DE=CD， AB+AE=BD+CD=BC=10 1.（1）如图，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同
25、一直线上，连接 BE求证：AD=BE 拔高 （2）如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，点 A、D、E 在同一直线上，CM 为DCE 边 DE 上的高，连接 BE 求证：2CM+BE=AE； 若将图 2 中的DCE 绕点 C 旋转至图 3 所示位置，中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的 数量关系 【答案答案】见解析 【解析解析】试题分析： （1）由全等三角形的判定方法，判断出CADCBE，即可判断出 AD=BE （2）由ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，得到 CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，从而有ACD= BCE，得到ACDBCE，有 A
26、D=BE，由 CD=CE，CMDE，得到 DM=ME由DCE=90，得到 DM=ME=CM，故 DE=2CM，从而得到结论； 不成立2CM-BE=AE 试题解析： （1）证明：ACB=DCE=90，ACD =BCE，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形， AC=BC，CD=CE，在CAD 和CBE 中，AC=BC， ACD =BCE ，CD=CE，CADCBE，AD=BE （2）证明：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD= BCE，在ACD 和BCE 中，CA=CB，ACD=BCE，CD=CE，ACDBCE，AD=BE，CD=CE，CMDE
27、， DM=MEDCE=90， DM=ME=CM， DE=2CM， 点 A，D，E 在同一直线上， DE+AD=AE， 2CM+BE=AE； 不成立2CM-BE=AE 2.如图，在四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，M、N 分别是边 AC、BD 的中 点 （1）求证：MNBD； （2）当BCA=15，AC=10cm，OB=OM 时，求 MN 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】 （1）证明：连接 BM、DM ABC=ADC=90，点 M、点 N 分别是边 AC、想 BD 的中点， ， N 是 BD 的中点， MN 是 BD 的垂直平分线， MNBD （2）解：BCA=15， BCA=CBM=15， BMA=30， OB=OM， OBM=BMA=30， AC=10， BM=5， 在 RtBMN 中，BNM=90，NBM=30， ， 答：MN 的长是 2.5 教学反思