1、 一元一次不等式与一次函数 第4讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.观察图像，求不等式解集 2.一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系 3.一元一次不等式与一次函数的综合应用 教学目标 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. 3.会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题 教学重点 会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题 教学难点 自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重
2、点是使学生能综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题，这一块对学生数形结合 的要求比较高，教师在辅导过程中要注重学生这一块能力的培养 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 不等式与一次函数的关系 2. 如何利用一次函数的图像解决不等式的问题 3.数形结合思想 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关不等式和一次函数的考题，需要学生具有较强的数学结合思想以及分析问题的能力，在授课过程中老 师们可以着重培养 1.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 作出函数 y=2x5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x 取哪些值时，2x5=0?
3、（2）x 取哪些值时，2x50? （3）x 取哪些值时，2x50? （4）x 取哪些值时，2x53? 一元一次不等式与一次函数 观察图像，求不等式解集 一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集 的联系 一元一次不等式与一次函数的综合应用 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 观察图像，求不等式解集 2.想一想 如果 y=2x5,那么当 x 取何值时，y0? 1.根据上面的分析，找到一次函数当函数值 y0时，对应的自变量 x 的取值范围为不等式2x50的解 集. 2.从图像上来分析，不等式2x50的解集.即为图像在 x 轴上方的部分对应的自变量 x 的取值 【题干】如图，函数 y=2x
4、和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3） ，则不等式 2x ax + 4 的解集为（ ） A 2 3 x B3x C 2 3 x D3x 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：由图象可知不等式 2x ax + 4 的解集为 xm，因为函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交 知识点 2 一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系 三、例题精析 例题 1 于点 A（m，3） ，所以把点 A（m，3）代入 y=2x 得 3 2 m ，所以 2 3 x，故选：A. 【题干】【题干】如图，直线 y1=x+b 与 y2=kx1 相交于点 P，点 P 的横坐标为1，则关于 x 的不等
5、式 x+bkx1 的解集 . 【答案】【答案】x1 【解析】【解析】根据题意可得即 1 y 2 y，也就是函数 1 y在函数 2 y的上方，根据图象可得当 x1 时，函数 1 y在 函数 2 y的上方. 【题干】【题干】已知直线 y=3x+k 与 x 轴交于（2，0） ，则不等式 3x+k0 的解集是 _ 【答案】【答案】x-2 【解析】【解析】直线 y=3x+k 与 x 轴交于点 A（-2，0） ， 直线 y=3x+k 中当 x=-2 时，y=0，函数值 y 随 x 的增大而增大； 因而关于 x 的不等式 3x+k0 的解集是 x-2 【题干】【题干】甲乙两车同时从 A 地出发,以各自的速度
6、匀速向 B 地行驶.甲车先到达 B 地,停留一小时后按原路 以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为 60km/h，两车间距离 y(km)与乙车行驶时间 x(h)之间的 函数图象如下. (1)将图中（ ）填上适当的值，并求甲车从 A 到 B 的速度. 例题 2 例题 3 例题 4 (2)求从甲车返回到与乙车相遇过程中 y 与 x 的函数关系式，自变量取值范围。 (3)求出甲车返回时行驶速度及 AB 两地的距离. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 （1）60，甲车从 A 到 B 的行驶速度为 100km/h. （2）设 y=kx+b 把（4,60），（4.4,0）代入上式得 y=-
7、150 x+660； 自变量 x 的取值范围为 4x4.4; （3）设甲车返回行驶速度为 v km/h,有 0.4（60+v）=60，得 v=90 km/h. A,B 两地的距离是 3100=300（km）, 即甲车从 A 地到 B 地时，速度为 100km/h,时间为 3 小时。 1. 直线 l1：y=kx 与直线 l2：y=ax+b 在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于 x 的不等式 ax+bkx 的 解集为 四 、课堂运用 基础 【答案】【答案】x1 【解析】【解析】当 x1 时，y=kx 的函数图象在 y=ax+b 的下方，从而可得到不等式的解集 从图象可看出当 x1，不等式 ax
8、+bkx故答案为：x1 2.在平面直角坐标系中，直线3 kxy经过（2,7） ，求不等式06kx的解集 【答案】【答案】x3 【解析】【解析】解：因为直线 y=kx+3 经过点（2，7） ，所以 7=2k+3，解得 k=2， 把 k=2 代入不等式得：2x-60，解得：x3 3.如图，直线 y=kx+b 与坐标轴的两交点分别为 A（2，0）和 B（0，-3） ，则不等式 kx+b+30 的解为（ ） Ax0 Bx0 Cx2 Dx2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由 kx+b+30 得 kx+b-3， 直线 y=kx+b 与 y 轴的交点为 B（0，-3） ， 即当 x=0 时，y=-3，
9、 函数值 y 随 x 的增大而增大， 当 x0 时，函数值 kx+b-3， 不等式 kx+b+30 的解集是 x0 故选 A 巩固 1.如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3） ，则不等式 2xax+4 的解集为（ ） Ax 3 2 Bx3 Cx 3 2 Dx3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：将点 A（m，3）代入 y=2x 得，2m=3， 解得，m= 3 2 ， 点 A 的坐标为（ 3 2 ，3） ， 由图可知，不等式 2xax+4 的解集为 x 3 2 故选 A 2.某市现有两种用电收费方法： 分时电表 普通电表 峰时（8：0021：00） 谷时
10、（21：00 到次日 8：00） 电价 0.52 元/ 度 电价 0.55 元/度 电价 0.35 元/度 小明家所在的小区的电表都换成了分时电表，根据情况回答下列问题： （1）第一季度小明家用电情况为：谷时用电量 100 度，峰时用电量 300 度，这个季度的费用和用普通电表 收费相比，哪种收费方法合算？试说明理由. （2）一月份小明家用电 100 度，那么小明家使用分时电表是不是一定比普通电表合算？试说明理由. 【答案】【答案】 （1）用分时电表计费方法是合算的 （2）当15x时，两种收费方法一样多；当15x时，普通计价方法合算；当15x时，分时计价方法 合算. 【解析】【解析】（1）第一
11、季度按普通方法计费： （100+300）0.52208 元； 按分时计价方法费用为：1000.35+3000.55200 元 2 y，得)100(55. 035. 0 xx52 时，解得15x； 由 1 y 2 y，得 )100(55. 035. 0 xx 52 时，解得15x. 所以当15x时，两种收费方法一样多；当15x时，普通计价方法合算；当15x时，分时计价方法合 算. 3.如图，直线yxm 与4ynxn（0n）的交点的横坐标为2，则关于 x 的不等式 40 xmnxn 的整数解为（ ） A1 B5 C4 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】试题分析：直线yxm 与4ynxn（0
12、n）的交点的横坐标为2，关于 x 的不等式 4xmnxn 的解集为2x，40ynxn时，4x，40nxn的解集是4x， 40 xmnxn 的解集是42x ，关于 x 的不等式40 xmnxn 的整数解为3，故 选 D 1.直线 11 :lyk xb与直线 22 :lyk x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式 21 0k xk xb的解集为 x 拔高 【答案】【答案】10 x 【解析】【解析】由图象可以看出，在交点的右侧，相同的 x 值， 1 l的函数值较大，当0 x时， 2 l的值大于 0， 21 0k xk xb的解集为10 x ，故答案为：10 x 2.某工厂有甲种原料
13、69 千克， 乙种原料 52 千克，现计划用这两种原料生产 A， B 两种型号的产品共 80 件， 已知每件 A 型号产品需要甲种原料 0.6 千克， 乙种原料 0.9 千克； 每件 B 型号产品需要甲种原料 1.1 千克， 乙种原料 0.4 千克请解答下列问题： （1）该工厂有哪几种生产方案？ （2）在这批产品全部售出的条件下，若 1 件 A 型号产品获利 35 元，1 件 B 型号产品获利 25 元， （1）中哪 种方案获利最大？最大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，工厂决定将所有利润的 25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少 购进 4 千克，且购进每种原料的数量均为整
14、数若甲种原料每千克 40 元，乙种原料每千克 60 元，请直接 写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案 【答案】【答案】 （1）有 3 种购买方案： 方案 1，生产 A 型号产品 38 件，生产 B 型号产品 42 件； 方案 2，生产 A 型号产品 39 件，生产 B 型号产品 41 件； 方案 3，生产 A 型号产品 40 件，生产 B 型号产品 40 件 （2）生产 A 型号产品 40 件，B 型号产品 40 件时获利最大，最大利润为 2400 元 （3）购买甲种原料 9 千克，乙种原料 4 千克 【解析】【解析】（1）设生产 A 型号产品 x 件，则生产 B 型号产品（80 x）件，由题
15、意，得 52804 . 09 . 0 69801 . 16 . 0 xx xx ， 解得：38x40 x 为整数， x=38，39，40， 有 3 种购买方案： 方案 1，生产 A 型号产品 38 件，生产 B 型号产品 42 件； 方案 2，生产 A 型号产品 39 件，生产 B 型号产品 41 件； 方案 3，生产 A 型号产品 40 件，生产 B 型号产品 40 件 （2）设所获利润为 W 元，由题意，得 W=35x+25（80 x） ， w=10 x+2000， k=100， W 随 x 的增大而增大， 当 x=40 时W 最大=2400 元 生产 A 型号产品 40 件，B 型号产品
16、 40 件时获利最大，最大利润为 2400 元 （3）设购买甲种原料 m 千克，购买乙种原料 n 千克，由题意，得 40m+60n=2400 2m+3n=120 m+n 要最大， n 要最小 m4，n4， n=4 m=9 购买甲种原料 9 千克，乙种原料 4 千克 3.A、B、C 三个港口依次在一条直线上，甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发，沿直线匀速驶向 C 港，最 终达到 C 港.设甲、乙两船行驶 x（h)后，与 B 港的距离分别为 y1，y2(km)，y1、y2与 x 的函数关系如图所示. (1)填空：A、C 两港口间的距离为_km，a=_； (2)求图中点 P 的坐标，并解群该点坐
17、标所表示的实际意义；来#%源:中国教育&出 (3)若两船的距离不超过 l0km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时 x 的取值范围. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：（1）A、C 两港口间距离 s=30+90=120km， 又由于甲船行驶速度不变， 故， 则 a=2（h） （2）由点（3，90）求得，y2=30 x 当 x0.5 时，由点（0.5，0），（2，90）求得，y1=60 x30 当 y1=y2时，60 x30=30 x， 解得，x=1 此时 y1=y2=30 所以点 P 的坐标为（1，30） 该点坐标的意义为：两船出发 1h 后，甲船追上乙船，此时两船离 B 港
18、的距离为 30km （3）当 x0.5 时，由点（0，30），（0.5，0）求得，y1=60 x+30 依题意，（60 x+30）+30 x10，解得，x 不合题意 当 0.5x1 时，依题意，30 x（60 x30）10 解得，x 所以 x1 当 x1 时，依题意，（60 x30）30 x10 解得，x 所以 1x 当 2x3 时，甲船已经到了而乙船正在行驶， 9030 x10，解得 x ， 所以，当 x3，甲、乙两船可以相互望见； 综上所述，当 x 时或当 x3 时，甲、乙两船可以相互望见 不等式与一次函数的关系： 一次函数刻画了两个变量之间存在的一种相互依赖的关系，而一元一次不等式则描述
19、了问题中这两个变量 满足某些特定条件时的状态，因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元 一次不等式解决一次函数的相关问题。 1.如图，已知函数bxy2与函数3 kxy的图象交于点 P，则不等式bxkx23的解是 . 课堂小结 扩展延伸 基础 【答案】【答案】x4 【解析】【解析】由图像可知：bxkx23的解集为：x4 解得:x4 2. 在平面直角坐标系中，直线 y=kx-2 经过点 A（-2，0） ，求不等式 4kx+30 的解集 【答案答案】x 3 4 . 【解析解析】将点 A（-2，0）代入直线 y=kx-2，得：-2k-2=0， 即 k=-1， -4x+30，
20、解得 x 3 4 . 1.直线 yaxb 与直线 ycxd (a、b、c、d 为非零常数)在直角坐标系中的位置如图所示，不等式 ax bcxd 的解集是 【答案答案】x1 【解析解析】两个条直线的交点坐标为（1，1） ，且当 x1 时，直线 yaxb 在直线 ycxd 的上方， 当 x1 时，直线 yaxb 在直线 ycxd 的下方， 故不等式 axbcxd 的解集为 x1 巩固 2.甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地 距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y（千米）与 x（小时）
21、 之间的函数关系请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段 CD 对应的函数解析式 （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以 CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果 精确到 0.01） 【答案答案】见解析 【解析解析】解：（1）0.5。 （2）设线段 DE 对应的函数解析式为 y=kx+b（2.5x4.5）， D 点坐标为（2.5，80），E 点坐标为（4.5，300）， 代入 y=kx+b，得： ，解得：。 线段 DE 对应的函数解析式为：y=110 x195（2.5x4.5）。 （3）设线段 OA 对应的函数解析式为 y=mx（0
22、x5）， A 点坐标为（5，300），代入解析式 y=mx 得，300=5m，解得：m=60。 线段 OA 对应的函数解析式为 y=60 x（0 x5） 由 60 x=110 x195，解得：x=3.9。 答：轿车从甲地出发后经过 3.9 小时追上货车。 3.某商场筹集资金 12.8 万元，一次性购进空调、彩电共 30 台根据市场需要，这些空调、彩电可以全部 销售，全部销售后利润不少于 1.5 万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格 空调 彩电 进价（元/台） 5400 3500 售价（元/台） 6100 3900 设商场计划购进空调 x 台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为 y 元 （1
23、）试写出 y 与 x 的函数关系式； （2）商场有哪几种进货方案可供选择？ （3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案答案】 （1）y=300 x+12000（0 x30） ； （2）商场有三种方案可供选择： 方案 1：购空调 10 台，购彩电 20 台； 方案 2：购空调 11 台，购彩电 19 台； 方案 3：购空调 12 台，购彩电 18 台； （3）选择方案 3：购空调 12 台，购彩电 18 台时，商场获利最大，最大利润是 15600 元 【解析解析】 （1）设商场计划购进空调 x 台，则计划购进彩电（30 x）台，由题意，得 y=（61005400）x+（39
24、003500） （30 x）=300 x+12000（0 x30） ； （2）依题意，有 54003500 30128000 3001200015000 xx x ， 解得 10 x12 2 19 x 为整数， x=10，11，12 即商场有三种方案可供选择： 方案 1：购空调 10 台，购彩电 20 台； 方案 2：购空调 11 台，购彩电 19 台； 方案 3：购空调 12 台，购彩电 18 台； （3）y=300 x+12000，k=3000， y 随 x 的增大而增大， 即当 x=12 时，y 有最大值， y最大=30012+12000=15600 元 故选择方案 3：购空调 12 台
25、，购彩电 18 台时，商场获利最大，最大利润是 15600 元 1.2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8.0 级强力地震某市接到上级通知，立即派出甲、乙两 个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米的灾区乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟 出发 1.25 小时（从甲组出发时开始计时） 图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程 y甲（千米） 、 y乙（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区请问甲组的汽车
26、在排除故障时，距出发点的路程是多少 千米？ （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过 25 千米，请通过计 算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？ 拔高 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）1.9； （2）设直线 EF 的解析式为 y乙=kx+b 点 E（1.25，0） 、点 F（7.25，480）均在直线 EF 上 解得 直线 EF 的解析式是 y乙=80 x100； 点 C 在直线 EF 上，且点 C 的横坐标为 6， 点 C 的纵坐标为 806100=380； 点 C 的坐标是（6，380） ； 设直线 BD 的解析式为 y甲=mx+n； 点
27、 C（6，380） 、点 D（7，480）在直线 BD 上， 解得； BD 的解析式是 y甲=100 x220； B 点在直线 BD 上且点 B 的横坐标为 4.9，代入 y 甲得 B（4.9，270） ， 甲组在排除故障时，距出发点的路程是 270 千米 （3）符合约定； 由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在 B 和 D 相距最远 在点 B 处有 y乙y甲=804.9100（1004.9220）=22 千米25 千米 在点 D 有 y甲y乙=1007220（807100）=20 千米25 千米 按图象所表示的走法符合约定 2.今年我市水果大丰收，A、B 两个水果基地分别收获水果 380 件、
28、320 件，现需把这些水果全部运往甲、 乙两销售点，从 A 基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件 40 元和 20 元，从 B 基础运往甲、乙两销售 点的费用分别为每件 15 元和 30 元，现甲销售点需要水果 400 件，乙销售点需要水果 300 件。 （1） 设从 A 基础运往甲 销售点水果 x 件， 总运费为 w 元， 请用含 x 的代数式表示 w,并写出 x 的取值范围； （2）若总运费不超过 18300 元，且 A 地运往甲销售点的水果不低于 200 件，试确定运费最低的运输方案， 并求出最低运费。 【答案答案】解： （1）80 x380 （2）x=200 时，运费 w 最低，最低
29、运费为 81200 元。 此时运输方案如下： A B 甲 200 200 乙 180 120 【解析解析】 （1）依题意，列表得 A（380） B（320） 甲（400） x 400-x 乙（300） 380-x 320-(400-x)=x-80 W=40 x+20(380-x)+15(400-x)+30(x-80)=35x+11200 又 800 4000 3800 x x x 解得 80 x380 （2） 依题意得 351220018300 200 x x 解得 4 200202 7 x，x=200,201,202 因 w=35x+10,k=35，w 随 x 的增大而增大，所以 x=200 时，运费 w 最低，最低运费为 81200 元。 此时运输方案如下： A B 甲 200 200 乙 180 120 教学反思