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【BSD版春季课程初二数学】第4讲一元一次不等式与一次函数-教案(教师版)

1、 一元一次不等式与一次函数 第4讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1.观察图像,求不等式解集 2.一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系 3.一元一次不等式与一次函数的综合应用 教学目标 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较. 3.会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题 教学重点 会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题 教学难点 自己根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重

2、点是使学生能综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题,这一块对学生数形结合 的要求比较高,教师在辅导过程中要注重学生这一块能力的培养 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难: 1. 不等式与一次函数的关系 2. 如何利用一次函数的图像解决不等式的问题 3.数形结合思想 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关不等式和一次函数的考题,需要学生具有较强的数学结合思想以及分析问题的能力,在授课过程中老 师们可以着重培养 1.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 作出函数 y=2x5的图象,观察图象回答下列问题. (1)x 取哪些值时,2x5=0?

3、(2)x 取哪些值时,2x50? (3)x 取哪些值时,2x50? (4)x 取哪些值时,2x53? 一元一次不等式与一次函数 观察图像,求不等式解集 一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集 的联系 一元一次不等式与一次函数的综合应用 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 观察图像,求不等式解集 2.想一想 如果 y=2x5,那么当 x 取何值时,y0? 1.根据上面的分析,找到一次函数当函数值 y0时,对应的自变量 x 的取值范围为不等式2x50的解 集. 2.从图像上来分析,不等式2x50的解集.即为图像在 x 轴上方的部分对应的自变量 x 的取值 【题干】如图,函数 y=2x

4、和 y=ax+4 的图象相交于点 A(m,3) ,则不等式 2x ax + 4 的解集为( ) A 2 3 x B3x C 2 3 x D3x 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析:由图象可知不等式 2x ax + 4 的解集为 xm,因为函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交 知识点 2 一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系 三、例题精析 例题 1 于点 A(m,3) ,所以把点 A(m,3)代入 y=2x 得 3 2 m ,所以 2 3 x,故选:A. 【题干】【题干】如图,直线 y1=x+b 与 y2=kx1 相交于点 P,点 P 的横坐标为1,则关于 x 的不等

5、式 x+bkx1 的解集 . 【答案】【答案】x1 【解析】【解析】根据题意可得即 1 y 2 y,也就是函数 1 y在函数 2 y的上方,根据图象可得当 x1 时,函数 1 y在 函数 2 y的上方. 【题干】【题干】已知直线 y=3x+k 与 x 轴交于(2,0) ,则不等式 3x+k0 的解集是 _ 【答案】【答案】x-2 【解析】【解析】直线 y=3x+k 与 x 轴交于点 A(-2,0) , 直线 y=3x+k 中当 x=-2 时,y=0,函数值 y 随 x 的增大而增大; 因而关于 x 的不等式 3x+k0 的解集是 x-2 【题干】【题干】甲乙两车同时从 A 地出发,以各自的速度

6、匀速向 B 地行驶.甲车先到达 B 地,停留一小时后按原路 以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为 60km/h,两车间距离 y(km)与乙车行驶时间 x(h)之间的 函数图象如下. (1)将图中( )填上适当的值,并求甲车从 A 到 B 的速度. 例题 2 例题 3 例题 4 (2)求从甲车返回到与乙车相遇过程中 y 与 x 的函数关系式,自变量取值范围。 (3)求出甲车返回时行驶速度及 AB 两地的距离. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 (1)60,甲车从 A 到 B 的行驶速度为 100km/h. (2)设 y=kx+b 把(4,60),(4.4,0)代入上式得 y=-

7、150 x+660; 自变量 x 的取值范围为 4x4.4; (3)设甲车返回行驶速度为 v km/h,有 0.4(60+v)=60,得 v=90 km/h. A,B 两地的距离是 3100=300(km), 即甲车从 A 地到 B 地时,速度为 100km/h,时间为 3 小时。 1. 直线 l1:y=kx 与直线 l2:y=ax+b 在同一平面直角坐标系中的图象如图,则关于 x 的不等式 ax+bkx 的 解集为 四 、课堂运用 基础 【答案】【答案】x1 【解析】【解析】当 x1 时,y=kx 的函数图象在 y=ax+b 的下方,从而可得到不等式的解集 从图象可看出当 x1,不等式 ax

8、+bkx故答案为:x1 2.在平面直角坐标系中,直线3 kxy经过(2,7) ,求不等式06kx的解集 【答案】【答案】x3 【解析】【解析】解:因为直线 y=kx+3 经过点(2,7) ,所以 7=2k+3,解得 k=2, 把 k=2 代入不等式得:2x-60,解得:x3 3.如图,直线 y=kx+b 与坐标轴的两交点分别为 A(2,0)和 B(0,-3) ,则不等式 kx+b+30 的解为( ) Ax0 Bx0 Cx2 Dx2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由 kx+b+30 得 kx+b-3, 直线 y=kx+b 与 y 轴的交点为 B(0,-3) , 即当 x=0 时,y=-3,

9、 函数值 y 随 x 的增大而增大, 当 x0 时,函数值 kx+b-3, 不等式 kx+b+30 的解集是 x0 故选 A 巩固 1.如图,函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A(m,3) ,则不等式 2xax+4 的解集为( ) Ax 3 2 Bx3 Cx 3 2 Dx3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析:将点 A(m,3)代入 y=2x 得,2m=3, 解得,m= 3 2 , 点 A 的坐标为( 3 2 ,3) , 由图可知,不等式 2xax+4 的解集为 x 3 2 故选 A 2.某市现有两种用电收费方法: 分时电表 普通电表 峰时(8:0021:00) 谷时

10、(21:00 到次日 8:00) 电价 0.52 元/ 度 电价 0.55 元/度 电价 0.35 元/度 小明家所在的小区的电表都换成了分时电表,根据情况回答下列问题: (1)第一季度小明家用电情况为:谷时用电量 100 度,峰时用电量 300 度,这个季度的费用和用普通电表 收费相比,哪种收费方法合算?试说明理由. (2)一月份小明家用电 100 度,那么小明家使用分时电表是不是一定比普通电表合算?试说明理由. 【答案】【答案】 (1)用分时电表计费方法是合算的 (2)当15x时,两种收费方法一样多;当15x时,普通计价方法合算;当15x时,分时计价方法 合算. 【解析】【解析】(1)第一

11、季度按普通方法计费: (100+300)0.52208 元; 按分时计价方法费用为:1000.35+3000.55200 元 2 y,得)100(55. 035. 0 xx52 时,解得15x; 由 1 y 2 y,得 )100(55. 035. 0 xx 52 时,解得15x. 所以当15x时,两种收费方法一样多;当15x时,普通计价方法合算;当15x时,分时计价方法合 算. 3.如图,直线yxm 与4ynxn(0n)的交点的横坐标为2,则关于 x 的不等式 40 xmnxn 的整数解为( ) A1 B5 C4 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】试题分析:直线yxm 与4ynxn(0

12、n)的交点的横坐标为2,关于 x 的不等式 4xmnxn 的解集为2x,40ynxn时,4x,40nxn的解集是4x, 40 xmnxn 的解集是42x ,关于 x 的不等式40 xmnxn 的整数解为3,故 选 D 1.直线 11 :lyk xb与直线 22 :lyk x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于的不等式 21 0k xk xb的解集为 x 拔高 【答案】【答案】10 x 【解析】【解析】由图象可以看出,在交点的右侧,相同的 x 值, 1 l的函数值较大,当0 x时, 2 l的值大于 0, 21 0k xk xb的解集为10 x ,故答案为:10 x 2.某工厂有甲种原料

13、69 千克, 乙种原料 52 千克,现计划用这两种原料生产 A, B 两种型号的产品共 80 件, 已知每件 A 型号产品需要甲种原料 0.6 千克, 乙种原料 0.9 千克; 每件 B 型号产品需要甲种原料 1.1 千克, 乙种原料 0.4 千克请解答下列问题: (1)该工厂有哪几种生产方案? (2)在这批产品全部售出的条件下,若 1 件 A 型号产品获利 35 元,1 件 B 型号产品获利 25 元, (1)中哪 种方案获利最大?最大利润是多少? (3)在(2)的条件下,工厂决定将所有利润的 25%全部用于再次购进甲、乙两种原料,要求每种原料至少 购进 4 千克,且购进每种原料的数量均为整

14、数若甲种原料每千克 40 元,乙种原料每千克 60 元,请直接 写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案 【答案】【答案】 (1)有 3 种购买方案: 方案 1,生产 A 型号产品 38 件,生产 B 型号产品 42 件; 方案 2,生产 A 型号产品 39 件,生产 B 型号产品 41 件; 方案 3,生产 A 型号产品 40 件,生产 B 型号产品 40 件 (2)生产 A 型号产品 40 件,B 型号产品 40 件时获利最大,最大利润为 2400 元 (3)购买甲种原料 9 千克,乙种原料 4 千克 【解析】【解析】(1)设生产 A 型号产品 x 件,则生产 B 型号产品(80 x)件,由题

15、意,得 52804 . 09 . 0 69801 . 16 . 0 xx xx , 解得:38x40 x 为整数, x=38,39,40, 有 3 种购买方案: 方案 1,生产 A 型号产品 38 件,生产 B 型号产品 42 件; 方案 2,生产 A 型号产品 39 件,生产 B 型号产品 41 件; 方案 3,生产 A 型号产品 40 件,生产 B 型号产品 40 件 (2)设所获利润为 W 元,由题意,得 W=35x+25(80 x) , w=10 x+2000, k=100, W 随 x 的增大而增大, 当 x=40 时W 最大=2400 元 生产 A 型号产品 40 件,B 型号产品

16、 40 件时获利最大,最大利润为 2400 元 (3)设购买甲种原料 m 千克,购买乙种原料 n 千克,由题意,得 40m+60n=2400 2m+3n=120 m+n 要最大, n 要最小 m4,n4, n=4 m=9 购买甲种原料 9 千克,乙种原料 4 千克 3.A、B、C 三个港口依次在一条直线上,甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发,沿直线匀速驶向 C 港,最 终达到 C 港.设甲、乙两船行驶 x(h)后,与 B 港的距离分别为 y1,y2(km),y1、y2与 x 的函数关系如图所示. (1)填空:A、C 两港口间的距离为_km,a=_; (2)求图中点 P 的坐标,并解群该点坐

17、标所表示的实际意义;来#%源:中国教育&出 (3)若两船的距离不超过 l0km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时 x 的取值范围. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解:(1)A、C 两港口间距离 s=30+90=120km, 又由于甲船行驶速度不变, 故, 则 a=2(h) (2)由点(3,90)求得,y2=30 x 当 x0.5 时,由点(0.5,0),(2,90)求得,y1=60 x30 当 y1=y2时,60 x30=30 x, 解得,x=1 此时 y1=y2=30 所以点 P 的坐标为(1,30) 该点坐标的意义为:两船出发 1h 后,甲船追上乙船,此时两船离 B 港

18、的距离为 30km (3)当 x0.5 时,由点(0,30),(0.5,0)求得,y1=60 x+30 依题意,(60 x+30)+30 x10,解得,x 不合题意 当 0.5x1 时,依题意,30 x(60 x30)10 解得,x 所以 x1 当 x1 时,依题意,(60 x30)30 x10 解得,x 所以 1x 当 2x3 时,甲船已经到了而乙船正在行驶, 9030 x10,解得 x , 所以,当 x3,甲、乙两船可以相互望见; 综上所述,当 x 时或当 x3 时,甲、乙两船可以相互望见 不等式与一次函数的关系: 一次函数刻画了两个变量之间存在的一种相互依赖的关系,而一元一次不等式则描述

19、了问题中这两个变量 满足某些特定条件时的状态,因此,可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题,也可以利用一元 一次不等式解决一次函数的相关问题。 1.如图,已知函数bxy2与函数3 kxy的图象交于点 P,则不等式bxkx23的解是 . 课堂小结 扩展延伸 基础 【答案】【答案】x4 【解析】【解析】由图像可知:bxkx23的解集为:x4 解得:x4 2. 在平面直角坐标系中,直线 y=kx-2 经过点 A(-2,0) ,求不等式 4kx+30 的解集 【答案答案】x 3 4 . 【解析解析】将点 A(-2,0)代入直线 y=kx-2,得:-2k-2=0, 即 k=-1, -4x+30,

20、解得 x 3 4 . 1.直线 yaxb 与直线 ycxd (a、b、c、d 为非零常数)在直角坐标系中的位置如图所示,不等式 ax bcxd 的解集是 【答案答案】x1 【解析解析】两个条直线的交点坐标为(1,1) ,且当 x1 时,直线 yaxb 在直线 ycxd 的上方, 当 x1 时,直线 yaxb 在直线 ycxd 的下方, 故不等式 axbcxd 的解集为 x1 巩固 2.甲、乙两地相距 300 千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地,如图,线段 OA 表示货车离甲地 距离 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系;折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y(千米)与 x(小时)

21、 之间的函数关系请根据图象解答下列问题: (1)轿车到达乙地后,货车距乙地多少千米? (2)求线段 CD 对应的函数解析式 (3)轿车到达乙地后,马上沿原路以 CD 段速度返回,求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇(结果 精确到 0.01) 【答案答案】见解析 【解析解析】解:(1)0.5。 (2)设线段 DE 对应的函数解析式为 y=kx+b(2.5x4.5), D 点坐标为(2.5,80),E 点坐标为(4.5,300), 代入 y=kx+b,得: ,解得:。 线段 DE 对应的函数解析式为:y=110 x195(2.5x4.5)。 (3)设线段 OA 对应的函数解析式为 y=mx(0

22、x5), A 点坐标为(5,300),代入解析式 y=mx 得,300=5m,解得:m=60。 线段 OA 对应的函数解析式为 y=60 x(0 x5) 由 60 x=110 x195,解得:x=3.9。 答:轿车从甲地出发后经过 3.9 小时追上货车。 3.某商场筹集资金 12.8 万元,一次性购进空调、彩电共 30 台根据市场需要,这些空调、彩电可以全部 销售,全部销售后利润不少于 1.5 万元,其中空调、彩电的进价和售价见表格 空调 彩电 进价(元/台) 5400 3500 售价(元/台) 6100 3900 设商场计划购进空调 x 台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为 y 元 (1

23、)试写出 y 与 x 的函数关系式; (2)商场有哪几种进货方案可供选择? (3)选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元? 【答案答案】 (1)y=300 x+12000(0 x30) ; (2)商场有三种方案可供选择: 方案 1:购空调 10 台,购彩电 20 台; 方案 2:购空调 11 台,购彩电 19 台; 方案 3:购空调 12 台,购彩电 18 台; (3)选择方案 3:购空调 12 台,购彩电 18 台时,商场获利最大,最大利润是 15600 元 【解析解析】 (1)设商场计划购进空调 x 台,则计划购进彩电(30 x)台,由题意,得 y=(61005400)x+(39

24、003500) (30 x)=300 x+12000(0 x30) ; (2)依题意,有 54003500 30128000 3001200015000 xx x , 解得 10 x12 2 19 x 为整数, x=10,11,12 即商场有三种方案可供选择: 方案 1:购空调 10 台,购彩电 20 台; 方案 2:购空调 11 台,购彩电 19 台; 方案 3:购空调 12 台,购彩电 18 台; (3)y=300 x+12000,k=3000, y 随 x 的增大而增大, 即当 x=12 时,y 有最大值, y最大=30012+12000=15600 元 故选择方案 3:购空调 12 台

25、,购彩电 18 台时,商场获利最大,最大利润是 15600 元 1.2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8.0 级强力地震某市接到上级通知,立即派出甲、乙两 个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米的灾区乙组由于要携带一些救灾物资,比甲组迟 出发 1.25 小时(从甲组出发时开始计时) 图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程 y甲(千米) 、 y乙(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信息,解决下列问题: (1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了 小时; (2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区请问甲组的汽车

26、在排除故障时,距出发点的路程是多少 千米? (3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过 25 千米,请通过计 算说明,按图象所表示的走法是否符合约定? 拔高 【答案答案】见解析 【解析解析】解: (1)1.9; (2)设直线 EF 的解析式为 y乙=kx+b 点 E(1.25,0) 、点 F(7.25,480)均在直线 EF 上 解得 直线 EF 的解析式是 y乙=80 x100; 点 C 在直线 EF 上,且点 C 的横坐标为 6, 点 C 的纵坐标为 806100=380; 点 C 的坐标是(6,380) ; 设直线 BD 的解析式为 y甲=mx+n; 点

27、 C(6,380) 、点 D(7,480)在直线 BD 上, 解得; BD 的解析式是 y甲=100 x220; B 点在直线 BD 上且点 B 的横坐标为 4.9,代入 y 甲得 B(4.9,270) , 甲组在排除故障时,距出发点的路程是 270 千米 (3)符合约定; 由图象可知:甲、乙两组第一次相遇后在 B 和 D 相距最远 在点 B 处有 y乙y甲=804.9100(1004.9220)=22 千米25 千米 在点 D 有 y甲y乙=1007220(807100)=20 千米25 千米 按图象所表示的走法符合约定 2.今年我市水果大丰收,A、B 两个水果基地分别收获水果 380 件、

28、320 件,现需把这些水果全部运往甲、 乙两销售点,从 A 基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件 40 元和 20 元,从 B 基础运往甲、乙两销售 点的费用分别为每件 15 元和 30 元,现甲销售点需要水果 400 件,乙销售点需要水果 300 件。 (1) 设从 A 基础运往甲 销售点水果 x 件, 总运费为 w 元, 请用含 x 的代数式表示 w,并写出 x 的取值范围; (2)若总运费不超过 18300 元,且 A 地运往甲销售点的水果不低于 200 件,试确定运费最低的运输方案, 并求出最低运费。 【答案答案】解: (1)80 x380 (2)x=200 时,运费 w 最低,最低

29、运费为 81200 元。 此时运输方案如下: A B 甲 200 200 乙 180 120 【解析解析】 (1)依题意,列表得 A(380) B(320) 甲(400) x 400-x 乙(300) 380-x 320-(400-x)=x-80 W=40 x+20(380-x)+15(400-x)+30(x-80)=35x+11200 又 800 4000 3800 x x x 解得 80 x380 (2) 依题意得 351220018300 200 x x 解得 4 200202 7 x,x=200,201,202 因 w=35x+10,k=35,w 随 x 的增大而增大,所以 x=200 时,运费 w 最低,最低运费为 81200 元。 此时运输方案如下: A B 甲 200 200 乙 180 120 教学反思