1、 三角形中位线与多边形的内角和、外角和 第17讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.三角形中位线定理及其应用 2.多边形的内角和与外角和 教学目标 1.知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 2.理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 3.多边形外角和定理的探索和应用 教学重点 掌握三角形中位线定理 多边形外角和定理的探索和应用 教学难点 证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握三角形中位线定理的证明及其性质和应用以及多边
2、形内角和外角 和的知识。难点在于证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 三角形的中位线的性质及应用。 2. 多边形的内角和。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关三角形的中位线，多边形内角和外角和的相关知识，难度不大，重点是中位线的内容，同时也是中考 的考点，需要教师们在授课过程中有所偏重 第一环节：创设情景，导入课题 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为ABC （2）分别取 AB,AC 中点 D,E，连接 DE （3） 沿 DE 将AB
3、C 剪成两部分，并将ABC 绕点 E 旋转180，得四边形 BCFD. 三角形中位线与多边形 的内角和、外角和 三角形中位线定理及其应用 多边形的内角和与外角和 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 三角形中位线定理及其应用 2、思考：四边形 ABCD 是平行四边形吗？ 3、探索新结论：若四边形 ABCD 是平行四边形，那么与有什么位置和数量关系呢？ 目的：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学 2 1 生逆向类比猜想：， 由此引出课题。 效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。 第二环节：教师讲授，传授新知 内容：
4、引入三角形中位线的定义和性质 1定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别 2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 目的：通过学生前期的猜测，测量，初步感知三角形中位线的定理和性质。 从边形的一个顶点可以引出条对角线，把边形分成个三角形。从而得出：边形的内角 和是。 多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形。 n 边形的内角和=（n2）180 知识点 2 多边形的内角和与外角和 n n1802 n 360 180 正 n 边形的一个内角= = 多边形的外角和等于360 【题干】【题干】在ABC 中，D、E 分别是边 A
5、B、AC 的中点，若 BC5，则 DE 的长是（ ） A25 B5 C10 D15 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直接由中位线的性质可得 【题干】【题干】如图，已知四边形 ABCD 中，R、P 分别是 BC、CD 上的点，E、F 分别是 AP、RP 的中点，当点 P 在 CD 上从 C 向 D 移动而点 R 不动时，那么下列结论成立的是（ ） A.线段 EF 的长逐渐增大 B.线段 EF 的长逐渐减小 C.线段 EF 的长不变 D.线段 EF 的长与点 P 的位 置有关 【答案】【答案】C 【解析】【解析】EF= 2 1 AR 【题干】【题干】如图，P 为平行四边形 ABCD 的边 AD
6、 上的一点，E，F 分别为 PB，PC 的中点，PEF，PDC，PAB 的面积分别为 S， 1 S， 2 S若 S=3，则 12 SS的值为（ ） 三、例题精析 例题 1 例题 2 例题 3 A24 B12 C6 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据面积公式求解即可 【题干】【题干】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ） A、内角和增加 360 B、外角和增加 360 C、对角线增加一条 D、内角和增加 180 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据多边形的内角和公式求解 1. 如图，在ABC中，E、F 分别是边 AC、BC 的中点，且 DF/AC，BD=3，则 EF 的长
7、为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 易证四边形 ADFE 是平行四边形， 则 EF=AD， 又因为 EF 为三角形 ABC 的中位线， 所以 EF= 2 1 AB， 则 BD=AD=3，EF=3 2.如图，点 D、E、F 分别为ABC 各边中点，下列说法正确的是（ ） 例题 4 四 、课堂运用 基础 ADE=DF BEF= 1 2 AB CSABD=SACD DAD 平分BAC 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用三角形中位线的性质可得 3.过多边形某个顶点所有对角线，将这个多边形分成 7 个三角形，这个多边形是（ ） A八边形 B九边形 C十边形 D十
8、一边形 【答案】【答案】B 【解析】【解析】应用多边形一个顶点出发的对角线与三角形的关系求解 1.如图，四边形 ABCD 中，A=90，AB=3 3，AD=3，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点（含端点，但 点 M 不与点 B 重合），点 E，F 分别为 DM，MN 的中点，则 EF 长度的最大值为 . 【答案】【答案】3 【解析】【解析】连接 DN，根据 E、F 分别为中点可得 EF= 1 2 DN，则要使 EF 最大，则必须保证 DN 达到最大值.当 N 到达点 B 时，此时 DN 最大，此时 AN=AB=33，根据 RtADN 的勾股定理可得 DN= 22 (3 3)3+=6，
9、则 EF 的最大值为 3. 2.如图，在ABC 中，BC=1，点 P1，M1分别是 AB，AC 边的中点，点 P2，M2分别是 AP1，AM1的中点，点 P3， M3分别是 AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n 为正整数） 【答案】【答案】 1 2n 【解析】【解析】多次使用中位线定理即可 3.如图，已知平行四边形 ABCD 中，E、F 分别 BC、AD 边上，AE=BF，AE 与 BF 交于 G，ED 与 CF 交于 H 巩固 求证：（1）GHBC； （2）GH= 2 1 AD 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，A
10、D=BC，AECF，AE=CF，四边形 ABFE 是平行 四边形，AF 与 BE 互相平分，G 点是 BE 的中点，同理可证：DECF，DE=CF，四边形 EFCD 是平行四 边形，DF 与 CE 互相平分H 点是 CE 的中点，GH 是BEC 的中位线，GHBC，GH= 2 1 BC； （2）AD=BC，GH= 2 1 BC，GH= 2 1 AD 4.如图， M 是ABC 的边 BC 的中点， AN 平分BAC， BNAN 于点 N， 延长 BN 交 AC 于点 D， 已知 AB=10， BC=15， MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求ABC 的周长 【答案】【答案】见解析 【解析
11、】【解析】（1）证明ABNADN，即可得出结论；（2）41, 先判断 MN 是BDC 的中位线，从而得出 CD， 由（1）可得 AD=AB=10，从而计算周长即可 1.已知，如图四，ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，DBBC 于 B，且ABC=120，求证：AB=2BC 拔高 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】过点 A 作 AEBC，交 CB 的延长线于 E，可由平行线的判定得到 AEBD，再由中位线的性质和含 30 度角的直角三角形的性质即可证明 AB=2BC 试题解析：证明：过点 A 作 AEBC，交 CB 的延长线于 EAEBC，DBBC，AEBD，AD=CD，BD 是ACE
12、 的中位线，BC=BE，ABC=120，ABE=60，BAE=30，AB=2BE=2BC 2.如图，已知ABC 的中线 BD、CE 相交于点 O、M、N 分别为 OB、OC 的中点 （1）求证：MD 和 NE 互相平分； （2）若 BDAC，EM=2，OD+CD=7，求OCB 的面积 【答案】【答案】(1) 连接 ED、MN，根据三角形中位线定理可得 EDMN，ED=MN，进而得到四边形 DEMN 是平行四边 形，再根据平行四边形的性质可得 MD 和 NE 互相平分； （2）8.5, 利用（1）中所求得出 OC=2DN=4，再利用勾股定理以及三角形面积公式求出 SOCB= OBCD 即 可 【
13、解析】【解析】（1）（2）试题解析：（1）证明：连接 ED、MN， CE、BD 是ABC 的中线， E、D 是 AB、AC 中点，EDBC，ED= BC， M、N 分别为 OB、OC 的中点，MNBC，MN= BC，EDMN，ED=MN， 四边形 DEMN 是平行四边形，MD 和 NE 互相平分； （2）解：由（1）可得 DN=EM=2， BDAC，ODC=90， N 是 OC 的中点，OC=2DN=4（直角三角形斜边中线等于斜边的一半） OD 2+CD2=OC2=32，（OD+CD）2=OD2+CD2+2ODCD=72=49， 2ODCD=4932=17，ODCD=8.5， OB=2OM=2
14、OD，SOCB= OBCD=ODCD=8.5 1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 2.n 边形的内角和=（n2）180 正 n 边形的一个内角= n n1802 = n 360 180 多边形的外角和等于360 1.如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别是 BC、AB、AC 的中点，如果ABC 的周长为 20，那么DEF 的周长 是（ ） A20 B15 C10 D5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】DEF 的周长= 2 1 ABC 的周长 2. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为 2340的新多边形，则原多边 形的边数为（
15、） 课堂小结 扩展延伸 基础 A13 B14 C15 D16 【答案答案】B 【解析解析】设新多边形是 n 边形，由多边形内角和公式得：（n2）180=2340，解得 n=15，原多边形是 151=14，故选 B 3.（1）叙述三角形中位线定理,并运用平行四边形的知识证明； （2） 运用三角形中位线的知识解决如下问题： 如图， 在四边形 ABCD 中， ADBC,E,F 分别是 AB,CD 的中点， 求证 EF=)( 2 1 BCAD 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半 已知，D,E 是ABC 的边 AB,AC 的中点，求证 DE=BC 2 1 且
16、 DEBC 证明：过点 C 作 CEAB 交 DE 的延长线于点 F，可证四边形 ADCF 是平行四边形， 四边形 BDFC 是平行四边形， DE=BC 2 1 且 DEBC （2）连接 AF,并延长交 BC 的延长线于点 G,证ADFGCF,则 AF=CG,AD=CG 由（1）的结论可证 1.已知：如图，在ABC 中，点 D 为 BC 上一点，CA=CD，CF 平分ACB，交 AD 于点 F，点 E 为 AB 的中点， 若 EF=2，则 BD= FE A BC D 巩固 【答案答案】4 【解析解析】BD=2EF=4 2.如图，已知直线 l1：y=k1x+4 与直线 l2：y=k2x5 交于点
17、 A，它们与 y 轴的交点分别为点 B，C，点 E，F 分别为线段 AB、AC 的中点，则线段 EF 的长度为 【答案答案】 9 2 【解析解析】根据题意求出 B、C 两点坐标，表示出 BC 线段长，根据 BC=2EF 可得结果 3.如图，在ABC 中，BD、CE 是ABC 的中线，BD 与 CE 相交于点 O，点 F、G 分别是 BO、CO 的中点，连接 AO.若 AO = 6cm，BC = 8cm，则四边形 DEFG 的周长是（ ） A.14 cm B.18 cm C.24cm D.28cm. 【答案答案】A 【解析解析】利用中位线定理进行求解 1.【知识链接】连接三角形两边中点的线段，叫
18、做三角形的中位线 【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无 重叠 的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图 1）； 拔高 （1）在图 1 方框中填空，以补全已知和求证； （2）按图 2 小明的想法写出证明 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）中点、 1 2 ；（2）见解析 试题解析：（1）解：中点， 1 2 ； （2）证明：延长 DE 到点 F，使 EF=DE连接 CF， 在ADE 和CEF 中，ADECEF， AD=CF，A=EC
19、F， ADCF， BD=AD=CF， 四边形 DBCF 是平行四边形， DEBC，且 DF=BC， DE= 1 2 DF= 1 2 BC 2.连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线观察上述图形并阅读相关文字，思考回答 问题：显然四边形对角线有 2 条；五边形的对角线有 5 条；对于六边形的对角线条数，光靠“数”数，也 能数出来，但已感到较麻烦，需寻找规律！从一个顶点 A 出发，显然有 3 条，同理从 B 出发也 3 条，每个 顶点出发都是 3 条，但从 C 顶点出发，就有重复线段！用此方法算出六边形的对角线条数为 a；且能归纳出 n 边形的对角线条数的计算方法；若一个 n 边形有 35 条对角线，则 a 和 n 的值分别为（ ） A12，20 B12，15 C9，10 D9，12 【答案答案】C 【解析解析】根据规律求解，学生可以多找几组数据，找数据的规律 教学反思