1、 平行四边形的性质 第15讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.平行四边形的性质 2.平行四边形性质的综合运用 教学目标 1.掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 2.掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质； 教学重点 平行四边形性质的探索 教学难点 平行四边形性质的应用 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握平行四边形的性质，了解性质探索的过程，学会应用平行四边形 的性质解决问题。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 平行四边形的性质探索。 2. 平行四边形的性质综合
2、应用。 【知识导图】【知识导图】 平行四边形的性质 平行四边形的性质 平行四边形性质的综合运用 概述 【教学建议】【教学建议】 有关平行四边形的性质考题，难度不大，教师在授课过程中注重性质探索的过程。 1.第一环节：学习定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质：平行四边形两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分 以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质。温故知新。 1平行四边形都有哪些性质？ 2回顾思考 选择题 （1）平行四边形 ABCD 中，A 比B 大20，则C 的度数为（ ） A60 B80
3、 C100 D120 （2）平行四边形 ABCD 的周长为40cm，三角形 ABC 的周长为25cm, 则对角线 AC 长为（ ） A5cm B15cm C6cm D16cm （3）平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 O，则全等三角形的对数有 参考答案： 1 C 2 A 34对 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 平行四边形的性质 活动目的： 1通过（1）（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结 论：平行四边形对角线互相平分。 活动效果： 能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。 第二环节
4、探索发现，灵活运用 活动内容： 探索问题1 在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？ A（学生思考、交流）得出：平行四边形的对角线互相平分。 B请尝试证明这一结论 已知：如图6-4，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证:OA=OC,OB=OD. 证明: 四边形 ABCD 是平行四边形 AB=CD AB/DC BAO=DCO ABO=CDO AOBCOD OA=OC,OB=OD. 你还有其他的证明方法吗，与同伴交流。 活动目的： 通过对上节课做一做的回顾，得出平行四边形对角线互相平分的性质，再通过严格的说理证明，深
5、化对知 识的理解。 活动效果及注意： 因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应该给学生强调：定 理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻烦，直接由平行四边形可得出其 对角线互相平分。 活动内容 例1.如图6-5， 在平行四边形 ABCD 中， 点 O 是对角线 AC、 BD 的交点， 过点 O 的直线分别与 AD、 BC 交于点 E、 F. 求证:OE=OF. A议论交流 B师生共析归纳 解：四边形 ABCD 是平行四边形 AD=CB AD/BC OA=OC DAC=ACB 又AOE=COF AOECOF OE=OF 如图6-6, 平
6、行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O, ADB=900,OA=6,0B=3.求 AD 和 AC 的长度. 解: 四边形 ABCD 是平行四边形 OA=OC=6 OB=OD=3 AC=12 又ADB=900 在 RtADO 中，根据勾股定理得 OA2=0D2+AD2 AD=33 活动目的： 通过练一练的两个问题的训练，进一步巩固平行四边形的性质，并学会应用。 观察分析，理性升华 例2 已知，如图，在平行四边形 ABCD 中，平行于对角线 AC 的直线 MN 分别交 DA，DC 的延长线于 M，N， 交 BA，BC 于点 P，点 B，你能说明 MQ=NP 吗？ A学生独立观察分析
7、 B交流探索 知识点 2 平行四边形性质的综合运用 C师生共析小结 解：四边形 ABCD 是平行四边形 AD/BC，AB/CD 即 AM/CQ 又AC/MN 即 AC/MQ 由平行四边形定义得四边形 MQCA 是平行四边形 MQ=AC 同理 NP=AC MQ=NP 小结：利用平行四边形可以证明两线段相等 活动目的： 由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，本环节让学 生就用的结论进行说理和推理，实验理性升华，培养语言表达能力。 【题干】【题干】如图，在ABCD 中，EFBC，GHAB，EF，GH 相交于点 O，那么图中共有平行四边形（ ） A. 6 个
8、 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 【答案】【答案】D 【解析】【解析】按照平行四边形的定义解题 【题干】【题干】在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ） 三、例题精析 例题 1 例题 2 A对边相等 B对边平行 C对角互补 D内角和为 360 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据平行四边形的性质解题 【题干】【题干】如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形，O（0，0），A（1，-2），B（3，1）则 C 点坐标为 【答案】【答案】（2，3） 【解析】【解析】根据 BC 平行且等于 OA 可得 C 点坐标为（2，3） 【题干】【题干】如图，ABCD 中，AB=
9、4，BAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E，与 DC 交于点 F，且点 F 为边 DC 的中点，DGAE，垂足为 G，若 DG=1，则 AE 的边长为（ ） A23 B43 C4 D8 【答案】【答案】 B 【解析】【解析】AE 为DAB 的平分线， DAE=BAE， DCAB， BAE=DFA， DAE=DFA， AD=FD， 又 F 为 DC 的中点， 例题 3 例题 4 DF=CF， AD=DF= 2 1 DC= 2 1 AB=2， 在 RtADG 中，根据勾股定理得：AG=3， 则 AF=2AG=23， 平行四边形 ABCD， ADBC， DAF=E，ADF=ECF， 在ADF
10、和ECF 中，DAF=E，ADF=ECF，DFCF， ADFECF（AAS）， AF=EF， 则 AE=2AF=43 故选 B 【题干】【题干】如图，M 是平行四边形 ABCD 的一边 AD 上的任意一点，若CMB 的面积为 S，CDM 的面积为 S1， ABM 的面积为 S2，则下列大小关系正确的为（ ） ASS1+S2 BSS1+S2 CS=S1+S2 D无法确定 【答案】【答案】 C 【解析】【解析】根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式即可求解 1. 某人准备设计平行四边形图案，拟以长为 4cm，5cm，7cm） 的三条线段中的两条为边，另一条为对角 线画不同形状的平行四边形，他可以
11、画出形状不同的平行四边形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】【答案】C. 【解析】【解析】直接作图解题即可 2.平行四边形 ABCD 中，BC,AD 的长分别为（x+2）cm 和（3-x）cm,则 x 的值为( ) 例题 5 四 、课堂运用 基础 A2 B1 C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】BC 和 AD 是对边，根据平行四边形对边相等列方程即可 3.口 ABCD 中，ABCD 可以为（ ） A、1234 B、1221 C、2211 D、2121 【答案】【答案】 D 【解析】【解析】平行四边形对角相等，邻角互补，内角和为 360 1.如图，已知ABCD
12、的对角线BD=4cm，将ABCD绕其对称中心O旋转 180 ，则点D） 所转过的路径长为 （ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. cm 【答案】【答案】C. 【解析】【解析】D 点所经过的路径长是以 BD 为直径的半圆 2.如图，在ABCD 中，AD=6，AB=4，DE 平分ADC 交 BC 于点 E，则 BE 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据平行四边形的性质可得 ADBC，则ADE=EDC，又因为 DE 平分ADC，所以，DEC=EDC， 所以 DC=EC=4，又因为 AD=BC=6，所以 BE=2 3.如图，EF 过平行四边形
13、ABCD 的对角线的交点 O， 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，已知 AB=4，BC=5，OE=1 5， 那么四边形 EFCD 的周长是 2 1 2 1 巩固 【答案】【答案】 12 【解析】【解析】由平行四边形的性质易证 AE=FC（通过证明三角形 AOE 和三角形 COF 的全等来得），则四边形 EFCD 的周长=AD+DC+2OE=5+4+3=12 4.如图，已知四边形 ABDE 是平行四边形，C 为边 BD 延长线上一点，连结 AC、CE，使 AB=AC （1）求证：BADAEC； （2）若B=30，ADC=45，BD=10，求平行四边形 ABDE 的面积 【答案】【答案】见解
14、析 【解析】【解析】（1）证明：AB=AC， B=ACB 又四边形 ABDE 是平行四边形 AEBD，AE=BD， ACB=CAE=B， 在DBA 和EAC 中 ABAC BEAC BDAE ， DBAEAC（SAS）； （2）解：过 A 作 AGBC，垂足为 G设 AG=x， 在 RtAGD 中，ADC=45， AG=DG=x， 在 RtAGB 中，B=30， BG=3x， 又BD=10 BG-DG=BD，即310 xx， 解得 AG=x= 10 5 35 3 1 ， S平行四边形 ABDE=BDAG=10（5 35）=50 350 1.如图,在平面直角坐标系中,直线 L 经过原点,且与 y
15、 轴正半轴所夹的锐角为 600,过点 A（0,1）作 y 轴的 垂线交直线 L 于点 B,过点 B 作直线 L 的垂线交 y 轴于点 A1,以 A1B、BA 为邻边作ABA1C1；过点 A1作 y 轴的 垂线交直线 L 于点 B1,过点 B1作直线 L 的垂线交 y 轴于点 A2,以 A2B1、B1A1为邻边做A1B1A2C2,；按此作法 继续下去,则点 Cn 的坐标是_ 【答案】【答案】（-4 n-1 3,4 n） 【解析】【解析】：直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60，直线 l 的解析式为 y=x。 ABy 轴，点 A（0，1），可设 B 点坐标为（x，1）。 将 B（
16、x，1）代入 y=x，得 1=x，解得 x=。 B 点坐标为（，1），AB=。 在 RtA1AB 中，AA1B=9060=30，A1AB=90， AA1=AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4。 ABA1C1中，A1C1=AB=， 拔高 C1点的坐标为（，4），即（，4 1）。 由x=4，解得 x=4。B1点坐标为（4，4），A1B1=4。 在 RtA2A1B1中，A1A2B1=30，A2A1B1=90， A1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16。 A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4， C2点的坐标为（，16），即（，4 2）。 同理，可得 C3点的坐标为
17、（，64），即（，4 3）。 以此类推，则 Cn的坐标是（）。 2.如图，平行四边形 ABCD 的面积为 acm 2，对角线交于点 O；以 AB、AO 为邻边作平行四边形 AOC 1B，连接 AC1 交 BD 于 O1，以 AB、AO1为邻边作平行四边形 AO1C2B；依此类推，则平行四边形 AOn1CnB 的面积为（ ） cm 2 Aa n 1 2 1 ）（ Ba n ）（ 2 1 Ca n 1 2 1 ）（ Da n ）（3 1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】四边形 ABCD 是平行四边形， O1A=O1C1，O1B=O1O， SAO1B= 2 1 SABC1= 4 1 S ABCD
18、= 4 a cm 2， 平行四边形 ABC1O 的面积是： 2 a cm 2， 同理平行四边形 ABC2O1 的面积是 4 a =（ 2 1 ） 2acm2， 平行四边形 ABC3O2 的面积是 8 a =（ 2 1 ） 3acm2， 平行四边形 ABC4O3 的面积是 16 a =（ 2 1 ） 4acm2， 以此类推 AOn-1CnB 的面积为：（ 2 1 ） na 3.(1)如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F. 求证：AE=CF. (2)如图，将ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1 处，点B落在点B1 处，设 F
19、B1 交CD于点G，A1B1 分别交CD，DE于点H，I. 求证：EI=FG. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， ADBC，OA=OC， 1=2， 在AOE和COF中， 1=2 OA=OC 3=4， AOECOF(ASA)， AE=CF； (2)四边形ABCD是平行四边形， A=C，B=D， 由(1)得AE=CF， 由折叠的性质可得：AE=A1E，A1=A，B1=B， A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D， 又1=2， 3=4， 5=3，4=6， 5=6， 在A1IE与CGF中， A1IECGF(AAS)， EI=FG. 平行四边形的定义：
20、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分 1.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，这 个四边形是_；理由是_。 【答案】【答案】平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】【解析】略 2. 在平行四边形 ABCD 中，A：B：C=2：3：2，则D=（ ） A36 B108 C72 D60 课堂小结 扩展延伸 基础 【答案答案】B 【解析解析】平行四边形对角相等，邻角互补，内角和为 360 3
21、.平行四边形 ABCD 与等边AEF 如图放置，如果B=45，则BAE 的大小是（ ） A75 B70 C65 D60 【答案答案】A 【解析解析】根据平行四边形的性质可得：BAD=135，则BAE=135-60=75 1.平行四边形 ABCD 的周长 32，5AB=3BC，则对角线 AC 的取值范围为（ ） A6AC10 B.6AC16 C.10AC16 D.4AC16 【答案答案】 D 【解析解析】根据平行四边形的性质可得：AB=6，BC=10，则对角线 AC 的取值范围为 4AC16 2.如图， 平行四边形 ABCD 的周长为 16cm， AC、 BD 相交于点 O， OEAC 交 AD
22、 于 E， 则DCE 的周长为 （ ） A4 B6 C8 D10 【答案答案】C 【解析解析】 根据题意易得三角形 AEC 是等腰三角形， 及 AE=EC， 则DCE 的周长为 EC+ED+DC=AE+ED+DC=AD+DC=8 3.如图 1，平行四边形纸片 ABCD 的面积为 120，AD=20，AB=18今沿两对角线将四边形 ABCD 剪成甲、乙、 丙、丁四个三角形纸片若将甲、丙合并（AD、CB 重合）形成对称图形戊，如图 2 所示，则图形戊的两条 对角线长度之和是 cmcmcm 巩固 【答案答案】26 【解析解析】AD=20，平行四边形的面积是 120， AD 边上的高是 6 要求的两对
23、角线长度和是 20+6=26 1.如图，过ABCD 的对角线 BD 上一点 M 分别作平行四边形两边的平行线 EF 与 GH，那么图中的AEMG 的 面积 S1与HCFM 的面积 S2的大小关系是 （ ） AS1 S2 BS1= S2 CS1S2 D不能确定 【答案答案】 B 【解析解析】四边形 ABCD 是平行四边形，EFBC，HGAB， AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， 四边形 HBEM、GMFD 是平行四边形， 在ABD 和CDB 中；AB=CD，BD=DB，DA=CB ABDCDB， 即ABD 和CDB 的面积相等； 同理BEM 和MHB 的面积相等，GMD 和FD
24、M 的面积相等， 故四边形 AEMG 和四边形 HCFM 的面积相等，即 S1=S2 2.在ABC 中，AB=AC，点 D 在边 BC 所在的直线上，过点 D 作 DFAC 交直线 AB 于点 F，DEAB 交直线 AC 于点 E 拔高 （1）当点 D 在边 BC 上时，如图，求证：DE+DF=AC （2） 当点 D 在边 BC 的延长线上时， 如图； 当点 D 在边 BC 的反向延长线上时， 如图， 请分别写出图、 图中 DE，DF，AC 之间的数量关系，不需要证明 （3）若 AC=6，DE=4，则 DF=_ 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）证明：DFAC，DEAB， 四边形 AFDE
25、 是平行四边形 AF=DE， DFAC， FDB=C 又AB=AC， B=C， FDB=B DF=BF DE+DF=AB=AC； （2）图中：AC+DE=DF 图中：AC+DF=DE （3）当如图的情况，DF=AC-DE=6-4=2； 当如图的情况，DF=AC+DE=6+4=10 故答案是：2 或 10 3.分别以ABCD（CDA90）的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形，ABE，CDG，ADF （1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 GF，EF请判断 GF 与 EF 的数量关系 及位置关系；（只写结论，不需证明） （2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在
26、该平行四边形内部时，连接 GF，EF，（1）中结论还成立吗？若 成立，给出证明；若不成立，说明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）答：在图 1 中，GF=EF 且 GEEF (2)、四边形 ABCD 是平行四边形 AB=DC，且 ABDC 又ABE、CDG 是等腰三角形 AE=BE=DG=CG，CDG=BAE=45 又AFD 是等腰三角形， AF=DF，FDA=DAF=45，AFD=90 又ABDC CDA+DAB=180 又CDA=90-FDG；DAB=90+FAE 90-FDG+90+FAE=180 FDG=FAE FDGFAE（SAS） FG=FE，DFG=AFE 又DFG+GFA=90， AFE+GFA=90 EEGF 教学反思