1、2020 年河南中考数学二模试题年河南中考数学二模试题 一、选择题一、选择题 1. 1 3 的相反数是（ ） A. 3 B. 3 C. 1 3 D. 1 3 2. 如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方形成的，从左面看到的平面图形为（ ） A. B. C. D. 3. 根据中国铁路总公司 3月 13 日披露，2018年铁路春运自 2月 1 日起至 3月 12 日止，为期 40 天全国铁路 累计发送旅客 3.82亿人次3.82 亿用科学记数法可以表示为（ ） A. 3.82 107 B. 3.82 108 C. 3.82 109 D. 0.382 1010 4. 如图，直线 ab，一块含
2、60角直角三角板 ABC（A60）按如图所示放置若155，则 2的度数为（ ） A. 105 B. 110 C. 115 D. 120 5. 已知关于 x 的一元二次方程 2 kx2x10 有实数根，若 k 为非负整数，则 k 等于（ ） A 0 B. 1 C. 0，1 D. 2 6. 为了解某社区居民的用电情况， 随机对该社区 10 户居民进行了调查， 下表是这 10 户居民 2014 年 4 月份 用电量的调查结果： 那么关于这 10 户居民月用电量（单位：度） ，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是 55 B. 众数是 60 C. 平均数是 54 D. 方差是 29 7. 已知一次函数
3、y=(k+1)x+b的图象与x轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取 值情况为（ ） A. k1，b0 B. k1，b0 C. k0 D. k1，b0； 4a+b=0；若点A坐标为(1，0)，则线段AB=5； 若点M(x1，y1)、N(x2，y2)在该函数 图象上，且满足 0x11，2x23，则 y11，b0 B. k1，b0 C. k0 D. k1，b0； 4a+b=0；若点A坐标为(1，0)，则线段AB=5； 若点M(x1，y1)、N(x2，y2)在该函数 图象上，且满足 0x11，2x23，则 y1y2其中正确结论的序号为（ ） A. ， B. ， C. ， D.
4、， 【答案】D 【解析】 解：抛物线开口向下，a0对称轴2 2 b x a ，b=4a0抛物线与 y轴交点在 y 轴正半 轴，c0，abc0，故错误； 由得：b=4a，4a+b=0，故正确； 若点 A坐标为（1，0），因为对称轴为 x=2，B（5，0），AB=5+1=6故错误； a0，横坐标到对称轴的距离越大，函数值越小0 x11，2x23， 12 22xx ，y1 y2，故正确 故选 D 点睛：本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对 称轴、抛物线与 y轴的交点抛物线与 x轴交点的个数确定 二、填空题二、填空题 11. 计算： 20
5、 2( 41) _ 【答案】 5 4 【解析】 【分析】 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算 【详解】 20 15 2( 41) =+1= 44 ， 故填： 5 4 【点睛】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算法则，比较基础 12. 如图，根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的哪个公式答：_ 【答案】a2b2=（a+b） （ab） 【解析】 【分析】 分别表示出图 1 和图 2 中阴影部分的面积，然后结合在一起即可解答 【详解】解：左边阴影图形的面积是：a2b2 右边阴影图形的面积是： （a+b） （a-b）. 根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的平方差公式：a
6、2b2=（a+b） （ab） 故答案为：a2b2=（a+b） （ab） 【点睛】 本题主要考查了平方差公式的几何背景， 分别表示出图 1 和图 2 中阴影部分的面积是解答本题的关 键 13. 某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中 随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得 【详解】解：所有可能的结果如下表： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 （男 1，男 2） （男 1，
7、女 1） （男 1，女 2） 男 2 （男 2，男 1） （男 2，女 1） （男 2，女 2） 女（女 1，男（女 1，男 （女 1，女 1 1） 2） 2） 女 2 （女 2，男 1） （女 2，男 2） （女 2，女 1） 由表可知总共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相同挑选的两位教师恰好是一男一女的结果有 8种， 所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为 8 12 = 2 3 ， 故答案为 2 3 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知
8、识 点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14. 如图，在 RtABC 中，B=90 ，C=30 ，BC= 3，以点 B 为圆心，AB为半径作弧交 AC于点 E，则 图中阴影部分面积是_ 【答案】 3 64 【解析】 【分析】 根据勾股定理可以求得 AB的长，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求得阴影部分的面积 【详解】连接 BE， 在Rt ABC中，90B ，30C，3BC ； 1AB ，60BAE； BABE； ABE是等边三角形； 图中阴影部分面积是： 22 6013 13 360464 故答案为： 3 64 【点睛】本题考查扇形面积的计算，应用到勾股定理、直角三角形的性质等知
9、识，掌握扇形面积计算公式 为解题关键 15. 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高） ，底面半径之比为 1：2：1， ，用两 个相同的管子在容器的 5cm高度处连通（即管子底端离容器底 5cm） ，现三个容器中，只有甲中有水，水位 高 1cm，如图所示若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水 1分钟，乙的水位上升 5 6 cm，则开 始注入_分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 05cm 【答案】 3 5 ， 33 20 ， 171 40 【解析】 【分析】 由甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为 1：2：1，注水 1 分钟，乙的水位上升 5 6 cm，得到注水 1
10、 分 钟，丙的水位上升10 3 cm，设开始注入 t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0.5cm，甲与乙的水位高 度之差是 0.5cm 有三种情况：当乙的水位低于甲的水位时，当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不 变时，当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别求解即可 【详解】甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高） ，底面半径之比为 1:2:1，甲、乙、丙三个圆柱形容 器的底面积之比为 1：4：1，每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，注水 1 分钟，乙的水位上升 5 6 cm， 注水 1分钟，丙的水位上升 510 4 63 cm， 当甲比乙高 05cm时，此时乙中
11、水位高 05cm，用时 055 6 = 3 5 分； 当丙的高度到 5cm时，此时用时为 510 3 = 3 2 分，此时乙中水高 53 62 = 5 4 1+05，在这之后丙中的水流入 乙中，乙每分钟水位上升 55 2 63 cm，15- 5 4 = 1 4 ， 153 4320 分，即开始注水后乙比甲高 05cm的用 时为 3333 22020 分； 当乙的水位达到 5cm时开始流向甲，此时用时为 355 (5) 243 =15 4 分，甲水位每分上升 1020 2 33 cm， 当甲的水位高为 45cm时，乙比甲高 05cm，此时用时 1520 (4.5 1) 43 =171 40 分；
12、 综上，开始注入 3 33 171 , 5 2040 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 05cm 【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，考虑各种不同情况，全面分析是解题的关键. 三、解答题三、解答题 16. 化简 2 22 323 4442 xxx xxxx ，并从 1，2，3，2四个数中，取一个合适的数作为 x 的值代入求 值 【答案】 1 2x 1 3 【解析】 试题分析：利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可 试题解析：解：原式= 2 233 222 2 x xx xxx x = 33 222 xx xxx = 32 223 xx xxx = 1 2x
13、由题意可知，只有1x 成立，原式= 11 123 17. 为了解某市区九年级学生每天的健身活动情况， 随机从市区九年级的12000名学生中抽取了500名学生， 对这些学生每天的健身活动时间进行统计整理，作出了如下不完整的统计图（每组数据含最小值不含最大 值，统计数据全部为整数） ，请根据以下信息解答如下问题： （1）a= ，b= （2）请补全频数分布直方图； （3）学生每天健身时间的中位数会落在哪个时间段？ （4）若每天健身时间在 60 分钟以上为符合每天“阳光一小时”的规定，则符合规定的学生人数大约是多少 人？ 【答案】 （1）200； 0.15； （2）图见解析； （3）6070； （4）
14、8400人 【解析】 【分析】 （1）根据频数=总人数 频率可得 a的值，再由频率=频数 总人数可得 b的值； （2）根据所求结果补全图形可得； （3）根据中位数的定义知其中位数为第 250、251 个数据的平均数，由第 250、251 个数据均落在 6070 内可得答案； （4）总人数乘以样本中 6080 的频率之和可得 【详解】解： （1）本次调查的总人数为 25 0.05=500， a=500 0.4=200，b=75 500=0.15， 故答案为：200，0.15； （2）频数分布直方图如图： （3）由于共有 500 个数据，其中位数为第 250、251个数据的平均数， 第 250、2
15、51 个数据均落在 6070 内， 学生每天的健身时间的中位数会落在 6070 时间段； （4）12000 （0.4+0.3）=8400， 答：符合规定的学生人数大约是 8400人 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须 认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 18. 如图，DE是O的直径，过点 D作O的切线 AD，C是 AD 的中点，AE交O 于点 B，且四边形 BCOE是平行四边形 (1)BC 是O 的切线吗?若是，给出证明：若不是，请说明理由； (2)若O半径为 1，求 AD的长 【答案】 （1）是切线， 证明见解析
16、； （2）2 【解析】 【分析】 （1）连接 OB，由 BC 与 OD 平行，BC=OD，得到四边形 BCDO 为平行四边形，由 AD 为圆的切线，利用 切线的性质得到 OD 垂直于 AD，可得出四边形 BCDO 为矩形，利用矩形的性质得到 OB 垂直于 BC，即可 得出 BC 为圆 O的切线 （2）连接 BD，由 ED为圆 O 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到DBE为直角，由 BCOE 为平行 四边形，得到 BC 与 OE平行，且 BC=OE=1，在直角三角形 ABD 中，C为 AD的中点，利用斜边上的中线 等于斜边的一半求出 AD的长即可 【详解】解：（1）是理由如下： 如图，连接
17、OBBCOD，BC=OD， 四边形 BCDO为平行四边形 AD为圆 O的切线， ODAD， 四边形 BCDO为矩形， OBBC， 则 BC为圆 O的切线 （2）连接 BD DE是直径， DBE=90 四边形 BCOE为平行四边形， BCOE，BC=OE=1 在 RtABD 中，C为 AD的中点， BC= 1 2 AD=1， 则 AD=2 点睛：本题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟 练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键 19. 如图，湛河两岸 AB与 EF平行，小亮同学假期在湛河边 A点处，测得对岸河边 C 处视线与湛河岸的夹 角CAB=37
18、，沿河岸前行 140 米到点 B 处，测得对岸 C处的视线与湛河岸夹角CBA=45 .问湛河的宽度 约多少米?(参考数据：sin370.60，cos37 =0.80，tan37 =0.75) 【答案】湛河的宽度约 60 米 【解析】 试题分析：过 C作 CDAB 于点 D，设 CD=x米由CBD=45，得到 BD=CD=x 在 RtADC 中，用 tanCAD 表示出 AD 根据 AB=AD+DB=140，列方程求解即可 试题解析：解：过 C作 CDAB 于点 D，设 CD=x米 在 RtBDC 中，CDB=90，CBD=45，BD=CD=x 在 RtADC 中，ADC=90，CAD=37，A
19、D= 0 4 tan370.753 xxx AB=AD+DB=140， 4 140 3 x x，x=60 答：湛河的宽度约 60米 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是菱形，点 A（0，4） ，B（3，0）反比例函数 k y x （k 为常数，k0，x0）的图象经过点 D （1）填空：k （2）已知在 k y x 的图象上有一点 N，y轴上有一点 M，且四边形 ABMN是平行四边形，求点 M 的坐标 【答案】 （1）20（2）M（0， 8 3 ） 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以求得点 D 的坐标，从而可以求得 k的值； （2）根据题意和平行四边形的性质可以求得点 M的坐
20、标 【详解】（1）点 A（0，4），B（3，0）， OA=4，OB=3， AB=5， 四边形 ABCD是菱形， AD=5， 即点 D的横坐标是 5， 点 D的坐标为（5，4）， 4= k 5 ，得 k=20， 故答案为 20； （2）四边形 ABMN是平行四边形，ANBM，AN=BM， AN可以看作是 BM经过平移得到的， 首先 BM向右平移了 3 个单位长度， N 点横坐标为 3，代入 y= 20 x ，得点 N的纵坐标为 y= 20 3 ， M点的纵坐标为 20 3 4= 8 3 ， M点的坐标为（0， 8 3 ） 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的性质
21、，解答本题的关键是 明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 21. 我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期 间到该景点游玩 两团队游客人数之和为 120 人， 乙团队人数不超过 50人， 设甲团队人数为 x人 如果甲、 乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为 W元 （1）求 W 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； （2）若甲团队人数不超过 100 人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱； （3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过 50 人时，门票价格不变
22、；人数 超过 50人但不超过 100 人时，每张门票降价 a 元；人数超过 100人时，每张门票降价 2a 元，在（2）的条 件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约 3400元，求 a的值 【答案】 （1）W= 109600? (70100) 209600? (100120) xx xx ； （2）1700； （3）10 【解析】 【详解】 （1）甲团队人数为 x 人，乙团队人数不超过 50人， 120 x50， x70， 当 70 x100 时，W=70 x+80(120-x)=10 x+9600， 当 100 x120时，W=60 x+80(120-x)=20 x
23、+9600， 综上所述，W= 109600? (70100) 209600? (100120) xx xx ； （2）甲团队人数不超过 100 人，x100， W=10 x+9600， 70 x100，x=70 时，W最大=8900（元） ，两团联合购票需 120 60=7200（元） ， 最多可节约 89007200=1700（元） （3）x100，W=（70a）x+80(120-x)=（a+10）x+9600， x=70时，W最大=70a+8900（元） ， 两团联合购票需 120（602a）=7200240a（元） ， 70a+8900(7200240a )=3400，解得：a=10 2
24、2. 如图： 已知ABC中， CA=CB， CDAB于D点， 点M为线段AC上一动点， 线段MN交DC于点N， 且BAC=2CMN， 过点 C 作 CEMN 交 MN 延长线于点 E，交线段 AB 于点 F，探索 CE MN 的值. （1）若ACB=90，点 M 与点 A重合（如图 1）时：线段 CE与 EF之间的数量关系是 ； CE MN = ； （2）在（1）条件下，若点 M不与点 A重合（如图 2） ，请猜想写出 CE MN 的值，并证明你的猜想 （3）若ACB90，CAB=，其他条件不变，请直接写出 CE MN 值（用含有的式子表示） 【答案】（1）CE=EF， 1 2 ；（2） CE
25、 MN = 1 2 ，证明见解析； （3） CE MN = 1 tan 2 . 【解析】 【分析】 (1)、 根据等腰三角形的三线合一定理得出点 E为 CF的中点， 从而得出答案； (2)、过点 M作 MQ/AB交 CD 于点 P， 交 CF于点 Q， 根据等腰三角形、 直角三角形的性质得出MPN和CPQ全等， 从而得出 CE=EQ ， MC=MQ，即 CE= 1 2 CQ= 1 2 MN；(3)、如图 3，同(1)、(2)可得 CE= 1 2 CQ，易证 MPN CPQ，则有 tan CPCQ MPMN ，即 1 tan 2 CE MN 【详解】解： （1）线段 CE 与 EF之间的数量关系
26、 CE=EF； 理由：MN平分BAC， CAE=FAE， 又AECF， AEC=AEF=90 ，而 AE=AE， ACEAFE（ASA） ， CE=EF； CA=CB，CDAB，ACB=90 ， CAD=ACD=45 ，ADN=CDF=90 ， AD=DC， 又AECF，AND=CNE， DAN=DCF， ADNCDF， AN=CF，即 MN=CF， 由可得，CE= 1 2 CF， CE= 1 2 MN， 即 CE MN = 1 2 故答案为：CE=EF； 1 2 ； (2) CE MN = 1 2 理由如下：如图 2所示：过点 M 作 MQ/AB 交 CD于点 P，交 CF于点 Q， 则有C
27、MP=BAC=45 ， CP=MP， BAC=2CMN， CMP=2CMN， CMN=NMP=22.5 ，CEMN， CEM=QEM=90 ，CE=EQ （三线合一） ，CDAB， MQ/AB， CDMQ，MPN=CPQ=90 ，又NCE+CNE=NCE+CQN=90 ， CQN=CNE=MNP，又 CP=MP，MPN CPQ，CE=EQ ，MC=MQ， CE= 1 2 CQ= 1 2 MN， CE MN = 1 2 ； (3) CE MN 1 tan 2 理由：如图 3，过点 M作 MGAB，交 CD 于点 H，交 CF于点 G CAB=CMH， tan= CH MH ， 由NMH=GCH，
28、MHN=CHG=90 ，可得MNHCGH， tan CGCH MNMH 即 CG=tanMN， 由（2）可得，CE= 1 2 CG， CE= 1 2 tanMN， 即 CE MN 1 tan 2 图 1 图 2 图3 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的证明与性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度较大作 出辅助线构造三角形全等是解决这个问题的关键 错因分析 设问 失分原因 第一问 （1）不能熟练应用等腰三角形的性质； （2）不能想到通过用三角形全等来证明CEEF 第二问 （1）不能正确作出辅助线； （2）不能想到通过三角形全等来证明 CE 与 MN 的数量关系 第三问 （1）不能作出辅助线；
29、 （2）不能通过三角形相似来表示出 CE 与 MN 的数量关系. 23. 如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板 ABC的直角顶点 A在 y轴上，坐标为（0，1） ， 另一顶点 B坐标为（2，0） ，已知二次函数 y 3 2 x2bxc 的图象经过 B、C 两点现将一把直尺放置在 直角坐标系中， 使直尺的边 ADy轴且经过点 B， 直尺沿 x轴正方向平移， 当 AD与 y轴重合时运动停止 （1）求点 C坐标及二次函数的关系式； （2）若运动过程中直尺的边 AD交边 BC 于点 M，交抛物线于点 N，求线段 MN长度的最大值； （3）如图，设点 P 为直尺的边 AD上的任一点，连接 PA、
30、PB、PC，Q为 BC 的中点，试探究：在直尺 平移的过程中，当 PQ 10 2 时，线段 PA、PB、PC之间的数量关系请直接写出结论，并指出相应的点 P 与抛物线的位置关系 （说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图中，点 A在抛物线内，点 C在抛物线上，点 D在 抛物线外 ） 【答案】 （1）C（-1，-3） y= 3 2 x2+ 3 2 x-3 （2） 3 8 （3）PB-PC= 2PA 【解析】 【详解】试题分析： （1）求 C 点坐标，考虑作 x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得 CDAAOB，所以 C 点坐标易知进而抛物线解析式易得 （2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵
31、坐标作差，因为两点分别在直线 BC 与抛物线上，故可以 利用解析式，设横坐标为 x，表示两个纵坐标作差记得关于 x 的二次函数，利用最值性质，结果易求 （3）计算易得，BC= 10，因为 Q 为 BC的中点，PQ= 10 2 恰为半径，则以 10 2 作圆，P 点必在圆上此 时连接 PB，PC，PA，因为 BC为直径，故 BP2+CP2=BC2为定值，而 PA不固定，但不超过 BC，所以易得 结论 BP2+CP2PA2，题目要求考虑三种情况，其中 P 在抛物线上时，P 点只能与 B 或 C重合，此时，PA， PB，PC可求具体值，则有等量关系 试题解析： （1）如图 1，过点 C作 CDy轴于
32、 D，此时 CDAAOB， CDAAOB， AD=BO=2，CD=AO=1， OD=OA+AD=3， C（-1，-3） 将 B（-2，0） ，C（-1，-3）代入抛物线 y= 3 2 x2+bx+c， 解得 b= 3 2 ，c=-3， 抛物线的解析式为 y= 3 2 x2+ 3 2 x-3 （2）设 lBC：y=kx+b， B（-2，0） ，C（-1，-3） ， 02 3 kb kb ， 解得 3 6 k b ， lBC：y=-3x-6， 设 M（xM，-3xM-6） ，N（xN， 3 2 xN2+ 3 2 xN-3） ， xM=xN（记为 x） ，yMyN， 线段 MN长度=-3x-6-（
33、3 2 x2+ 3 2 x-3）=- 3 2 （x+ 3 2 ）2+ 3 8 ， （-2x-1） ， 当 x=- 3 2 时，线段 MN长度为最大值 3 8 （3） 答： P 在抛物线外时， BP2+CP2PA2； P 在抛物线上时， BP+CP= 2AP； P 在抛物线内， BP 2+CP2PA2 分析如下： 如图 2，以 Q点为圆心， 10 2 为半径作Q， OB=2，OA=1， AC=AB= 22 AOOB = 5， BC= 22 ACAB10 ， BQ=CQ= 10 2 ， BAC=90 ， 点 B、A、C 都在Q上 P 在抛物线外， 如图 3，圆 Q与 BD的交点即为点 P，连接 P
34、B，PC，PA，延长 PC交 y轴于点 D BC为直径， BPC=90 BD与 y轴平行 ADC=90 ，且 D点为抛物线与 y轴交点 PDx 轴 易得 PC=1，PB=3，PA=2 2 BP+CP= 2AP P 在抛物线上，此时，P只能为 B 点或者 C点， AC=AB= 5， AP= 5， BP+CP=BC= 10， BP+CP= 2AP P抛物线内，有两种情况，如图 4，5， 如图 4，在 PC上取 BP=PT， BC为直径， BPC=90 BPT 为等腰直角三角形 PBT=45 =1+2 ABC=3+2=45 1=3 BAP=BCP（同弧 BP） BPABTC 1 2 BPPA BTCT PC=PT+CT PC=PT+ 2PA=PB+2PA PC-PB= 2PA 同理，如图 5，也可得 PB-PC= 2PA 考点：二次函数综合题