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第五章 生活中的轴对称 单元教案(2020年北师大七年级数学下册)

1、 第五章第五章 生活中的轴对称生活中的轴对称 5 5.1 1 轴对称现象 1.感知生活中的轴对称现象,探索轴对称的共同特征. 2.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念. 2.通过大量的实例初步认识轴对称,能识别简单的轴对称图形和成轴对称的图形及其对称轴. 自学指导 阅读教材 P115116,完成下列问题. (一)知识探究 1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条 直线叫做对称轴. 2.对称轴是一条直线,有些轴对称图形可能有几条,甚至无数条对称轴. 3.如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条

2、直线叫做这两个图形 的对称轴. (二)自学反馈 1.如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是( A ) 2.下面给出的四组图形中,成轴对称的是( D ) 判断是否成轴对称要看是否能沿着某条直线折叠后重合. 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 下列两个图形是轴对称关系的有 ABC. 轴对称图形是指一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,而轴对称是两个 平面图形沿一条直线对折后能够完全重合,注意两者的区别. 例 2 2 小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后,得到一个三角形,然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮 的图案,她拿出剪出的图案问小冬,打开后的图案的对称轴至少有( B ) A

3、.0 条 B.1 条 C.2 条 D.无数条 对称轴是一条直线. 活动 2 2 跟踪训练 1.下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称图形. 解:C 和 D,B 和 F. 2.观察如图所示的图案,它们都是轴对称图形,它们各有几条对称轴?在图中画出所有的对称轴. 解:(1)有 2 条对称轴;(2)有 4 条对称轴;(3)有 5 条对称轴;(4)有 3 条对称轴, 如图所示: 活动 3 3 课堂小结 1.可用折叠判断是否为轴对称图形. 2.对称轴是一条直线,一条垂直于对应顶点连线的直线. 3.轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形. 5 5.2 2 探索轴对称的性质 1.

4、掌握轴对称的性质. 2.会画出已知轴对称图形的另一半. 自学指导 阅读教材 P118119,完成下列问题. (一)知识探究 轴对称的性质: (1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分; (2)对应线段相等,对应角相等. (二)自学反馈 1.如图是轴对称图形,则相等的线段有 ABCD,BEEC,相等的角是BC. 2.把图中(实线部分)补成以虚线 l 为对称轴的轴对称图形. 解:如图所示. 可先作出各点的对称点,再顺次连接各点就得到所求图形. 活动 1 1 小组讨论 例 如图,已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称,ABC125,AB3 cm,EH4 cm. (1)试写出 EF

5、,AD 的长度; (2)求EFG 的度数; (3)连接 BF,线段 BF 与直线 MN 有什么关系? 解:(1)因为四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称,AB3 cm,EH4 cm, 所以 EFAB3 cm,ADEH4 cm. (2)因为ABC125,所以EFG125. (3)因为对称轴垂直平分对称点的连线, 所以直线 MN 垂直平分 BF. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图,在四边形 ABCD 中,边 AB 与 AD 关于 AC 对称,则下列说法错误的是( D ) A.OBOD B.AC 平分BAD C.BDAC D.OAOC 2.如图,正方形 ABCD 的面积为 16

6、 cm 2,则图中阴影部分的面积为( B ) A.4 cm 2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.6 cm2 利用轴对称性把阴影部分移到对称轴的同一边,即可发现阴影部分面积为全部面积的一半. 3.如图,请在网格纸上,画出所给图形关于直线 l 对称的图形. 解:如图所示. 活动 3 3 课堂小结 1.在轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等. 2.轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置. 3.成轴对称的两个图形,它们的对应线段或其延长线相交,交点在对称轴上. 5.35.3 简单的轴对称图形 第 1 课时 等腰三角形的性质 1.理解等腰三

7、角形的有关概念. 2.探索并掌握等腰三角形的性质. 3.了解等边三角形的概念,探索并掌握等边三角形的性质. 自学指导 阅读教材 P121,完成下列问题. (一)知识探究 1.等腰三角形是轴对称图形. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰 三角形的对称轴. 3.等腰三角形的两个底角相等. 4.等边三角形有三条对称轴,等边三角形每条边都相等. (二)自学反馈 1.下列说法中,正确的有( D ) 等腰三角形的两腰相等;等腰三角形的两底角相等;等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等;等 腰三角形是轴对称图形. A.1 个 B.2 个 C.

8、3 个 D.4 个 2.ABC 中,ABAC. (1)若B45,则A90,C45; (2)若C60,则A60,B60. 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图,在ABC 中,ABAC,A40,BD 是ABC 的平分线,求BDC 的度数. 解:因为 ABAC,A40, 所以ABCC180A 2 70. 因为 BD 是ABC 的平分线, 所以DBC1 2ABC35. 所以BDC180DBCC75. 例 2 2 如图,在一条河的同岸有两个村庄 A 和 B,两村要在河上合修一座便民桥,桥修在什么地方可以使桥到 两村的距离之和最短? 解:如图,作点 A 关于河岸的对称点 C,连接 BC 交河岸于点 P

9、,点 P 就是桥的位置. 理由:两点之间线段最短. 在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从 而作出最短路径的选择. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图,ABC 中,ACBC,直线l经过点 C,则下列说法正确的是( D ) A.l垂直 AB B.l平分 AB C.l垂直平分 AB D.l与 AB 的关系不能确定 2.已知等腰三角形的顶角为 80,那么它的一个底角为 50. 3.如图,P,Q 是ABC 的边 BC 上的两点,且 BPPQQCAPAQ,求BAC 的度数. 解:因为 PAPQAQ, 所以APQPQAQAP60. 因为 PAPB, 所以BPA

10、B. 又因为BPAB180APB180(180APQ)60, 所以PBAPAB30.同理QAC30. 所以BACBAPPAQQAC 306030 120. 活动 3 3 课堂小结 在等腰三角形中,常常需要作底边上的高,运用等腰三角形“三线合一”的性质,对于解决相关问题能起到事 半功倍的效果.对于等边三角形,它属于特殊的等腰三角形, “三线合一”的性质就更能不受限制,淋漓尽致地发挥 了. 第 2 课时 线段垂直平分线的性质及画法 1.经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体会轴对称的特征,发展空间观念. 2.探索并掌握线段垂直平分线的有关性质. 自学指导 阅读教材 P123P124,完成下列问题

11、. (一)知识探究 1.线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. (二)自学反馈 1.如图, 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线, P 是直线 CD 上的一点.已知线段 PA5, 则线段 PB 的长度为( B ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.如图, 在ABC 中, 分别以点 A, B 为圆心, 大于1 2AB 的长为半径画弧, 两弧分别交于点 D, E, 则直线 DE 是( D ) A.A 的平分线 B.AC 边的中线 C.BC 边的高线 D.AB 边的垂直平分线 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图,在

12、ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分线,AE3 cm,ABD 的周长为 13 cm,求ABC 的周长. 解:因为 DE 是 AC 的垂直平分线, 所以 ADCD,AC2AE6(cm). 因为ABD 的周长为 13 cm, 所以 ABBDADABBDDCABBC13 cm. 所以ABC 的周长为 ABBCAC13619(cm). 由垂直平分线的性质得 ADDC,再通过线段之间的等量代换即可得出ABC 的周长. 例 2 2 某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC,如图所示,现要在道路 AB 的边缘上建一个休息点 M,使它到 A,C 两个点的距离相等.在图中确定休息点 M 的位置. 解:作 AC 的

13、垂直平分线交 AB 于 M 点,则点 M 即为所求. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图,已知直线 MN 是线段 AB 的中垂线,垂足为 N,AM5 cm,MAB 的周长为 16 cm,那么 AN 等于( A ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 2.如图,在已知的ABC 中,按以下步骤作图: 分别以 B,C 为圆心,大于1 2BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点 M,N; 作直线 MN 交 AB 于点 D,连接 CD. 若 CDAC,A50,则ACB 的度数为( D ) A.90 B.95 C.100 D.105 活动 3 3 课堂小结 本课时主要学些了哪些知识与方法,有

14、何收获和感悟? (1)线段的轴对称性:线段是轴对称图形. (2)线段的垂直平分线的性质 内容:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等. 作用:见垂直平分线,得线段相等. (3)线段垂直平分线的作图. 第 3 课时 角平分线的性质及画法 1.经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体会轴对称的特征,发展空间观念. 2.探索并掌握角平分线的有关性质. 自学指导 阅读教材 P125P126,完成下列问题. (一)知识探究 1.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. (二)自学反馈 1.下列图形中,不是轴对称图形的是( D ) A.角

15、B.等边三角形 C.线段 D.直角三角形 2.如图,CDOA,CEOB,D,E 为垂足. (1)若12,则有 CDCE; (2)若 CDCE,则有12. 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图,已知 AO 平分BAC,OEAB,ODAC.试说明:OEOD. 解:因为 AO 平分BAC,OEAB,ODAC, 所以 OEOD(角平分线上的点到角两边的距离相等). 角平分线的性质是说明线段相等的另一个途径,其前提条件有两条:(1)角平分线;(2)垂直. 例 2 2 如图,已知线段 a 和AOB. (1)在 OA 边上作点 P,使 OP2a; (2)作AOB 的平分线. 解:(1)点 P 为所求作.

16、 (2)OC 为所求作. 角平分线的作图依据是“SSS”. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图,OE 平分AOB,ECOA 于点 C,EDOB 于点 D,ED 与 EC 的长度关系为( B ) A.EDEC B.EDEC C.EDEC D.无法确定 2.如图,已知AOB.小明按如下步骤作图: 在 OA 和 OB 上分别截取 OD,OE,使 ODOE; 分别以 D,E 为圆心,大于1 2DE 的长为半径作弧,两弧在AOB 的内部交于点 C; 作射线 OC. 根据上述作图步骤,回答下列问题: (1)写出一个正确的结论:OC 为AOB 的平分线; (2)如果在 OC 上任取一点 M,那么点 M 到 O

17、A,OB 的距离相等. 依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 活动 3 3 课堂小结 在已知角平分线的条件下,常想到过角平分线上的点向角两边作垂线段的方法,在已知角平分线的条件下,也 可想到翻折的方法. 5 5.4 4 利用轴对称进行设计 1.经历对图形进行观察、 分析、 欣赏和动手操作、 画图的过程, 掌握有关画图的操作技能, 发展初步审美能力, 增强对图形欣赏的意识. 2.能按要求把所给出的图形补成以某条直线为对称轴的轴对称图形,能依据图形的轴对称关系设计轴对称图 形. 自学指导 阅读教材 P128129,完成下列问题. (一)知识探究 轴对称的性质: 在轴对称图形中:(1)对应

18、点所连的线段被对称轴垂直平分;(2)对应线段相等,对应角相等. (二)自学反馈 要在一块长方形的空地上修建一个共坛,要求花坛图案为轴对称图形,图中的设计符合要求的有( A ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图,直线l是一个轴对称图形的对称轴,画出这个轴对称图形的另一半. 题图 答案图 解:如图所示. 例 2 2 如图甲,正方形被划分成 16 个全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件: (1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半; (2)涂黑部分成轴对称图形.如图乙是一种涂法,请在图 13 中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案中, 若涂黑部分全等,则认为是同一种涂法,如图乙与图丙) 解:不同涂法的图案例举如下. 活动 2 2 跟踪训练 把下列各图补成以 l 为对称轴的轴对称图形. 解:如图所示. 活动 3 3 课堂小结 本节课学习了已知对称轴和一个点如何画出它的对应点,以及如何补全图形,并利用轴对称的性质知道如何设 计轴对称图形.