1、第二章第二章 相交线与平行线相交线与平行线 2 2.1 1 两条直线的位置关系 第 1 课时 对顶角、余角和补角 1.能识别对顶角，并掌握它的性质. 2.理解补角和余角的概念及性质，并能进行简单的角度计算. 自学指导 阅读教材 P3839，完成下列问题. (一)知识探究 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 2.两条直线相交所成的四个角中，若两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶 角.对顶角相等. 3.如果两个角的和是 180，那么称这两个角互为补角.如果
2、两个角的和是 90，那么称这两个角互为余角.同 角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等. (二)自学反馈 1.下列图形中，表示1 和2 是对顶角的是( D ) 2.由1290，1390，得23，其依据是同角的余角相等. 活动 1 1 小组讨论 例 如图 1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时12. 图 1 图 2 将图 1 简化为图 2，ON 与 DC 相交所成的DON 和CON 都等于 90，且12.在图 2 中： (1)有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ (2)3 与4 有什么关系？为什么？ (3)AOC 与BOD 有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论
3、？ 解：(1)互为补角的有1 与AOC，1 与BOD，2 与BOD，2 与AOC，DON 与CON 等.互为余角的 有1 与3，1 与4，2 与4，2 与3. (2)3 与4 相等. 因为3901，4902，且12， 所以34. (3)AOCBOD. 因为AOC1801，BOD1802，且21， 所以AOCBOD. 结论归纳：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等. 活动 2 2 跟踪训练 1.已知 和 是对顶角，若30，则 的度数为( A ) A.30 B.60 C.70 D.150 2.下列四个角中，最有可能与 70角互补的是( D ) 3.下列说法错误的是( B ) A.两个互余的角
4、都是锐角 B.一个角的补角大于这个角本身 C.互为补角的两个角不可能都是锐角 D.互为补角的两个角不可能都是钝角 4.若一个角的余角是这个角的 2 倍，则这个角的度数为 30. 5.如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE 平分AOD，BOC80，求BOD 和AOE 的度数. 解：由平角的定义，得BOD180BOC18080100. 由对顶角相等，得AODBOC80. 因为 OE 平分AOD， 所以AOE1 2AOD40. 活动 3 3 课堂小结 学生试述：这节课你学到了什么？ 第 2 课时 垂直 1.理解垂直、垂线、垂足等概念. 2.能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，理解并掌握
5、“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直”这一性质. 3.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离，理解并掌握“垂线段最短”这一性质. 自学指导 阅读教材 P4142，完成下列问题. (一)知识探究 1.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直 线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“”表示两条直线互相垂直. 2.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最 短. 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. (二)自学反馈 1.如图，OAOB，若140
6、，则2 的度数是( C ) A.20 B.40 C.50 D.60 2.如图，OAAB 于点 A，点 O 到直线 AB 的距离是( B ) A.线段 OA B.线段 OA 的长度 C.线段 OB 的长度 D.线段 AB 的长度 活动 1 1 小组讨论 例 (1)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说说你的画法和理由； (2)你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ (4)如图，如何测量跳远成绩？ 解：略. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，点 O 在直线 AB 上，点 M，N 在直线 AB 外.若 MOAB，
7、NOAB，垂足均为 O，则可得点 N 在直线 MO 上. 其理由是( D ) A.经过两点有且只有一条直线 B.在同一平面上，一条直线只有一条垂线 C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.如图，C90，AC3，点 P 是 BC 边上一动点，则 AP 的长不可能是( B ) A.3 B.2.8 C.3.5 D.4 3.如图，当1 和2 满足条件1290时，能使 OAOB. 4.如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OD 平分AOF，OECD 于点 O，AOE50，求BOC，BOF 的度数. 解：因为 OECD，AOE50， 所以DOE90， AOD90AOE4
8、0. 因为BOC 与AOD 是对顶角， 所以BOCAOD40. 因为 OD 平分AOF， 所以DOFAOD40. 所以BOF180BOCDOF1804040100. 活动 3 3 课堂小结 学生试述：这节课你学到了什么？ 2.22.2 探索直线平行的条件 第 1 课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理 1.了解同位角的概念，并会在简单的图形中辨认同位角. 2.理解并掌握平行公理及其推论的内容，并会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线. 自学指导 阅读教材 P4445，完成下列问题. (一)知识探究 1.同位角相等，两直线平行.两直线平行，平行用符号“”表示. 2.过直线外一点有且只有一
9、条直线与这条直线平行.平行于同一条直线的两条直线平行. (二)自学反馈 1.如图，直线 a，b 被直线 c 所截，则图中与1 是同位角的是( B ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，能判定直线 ABCD 的条件是( D ) A.12 B.34 C.13180 D.34180 活动 1 1 小组讨论 例 (1)你能过直线 AB 外一点 P 画直线 AB 的平行线吗？能画出几条？ (2)在下图中，分别过点 C，D 画直线 AB 的平行线 EF，GH，那么 EF 与 GH 有怎样的位置关系？ 解：(1)能过直线 AB 外一点画直线 AB 的平行线，只能画 1 条. (2)EFGH. 活动
10、2 2 跟踪训练 1.如果1，2 是直线 l1，l2被直线 l3所截而形成的同位角，那么1 和2 的大小关系是( D ) A.12 B.12 C.12 D.无法确定 同位角相等的前提条件是“两直线平行”. 2.过一点画已知直线的平行线，则( D ) A.有且只有一条 B.有两条 C.不存在 D.不存在或有且只有一条 3.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行. 4.工人师傅在架设电线时，为了检测三条电线是否相互平行，工人师傅只检查了其中两条是否与第三条平行即 可，这种做法的依据是平行于同一条直线的两条直线平行. 5.(1)如图所示，ba，ca，请判断
11、b 与 c 的位置关系，并说明理由； (2)用一句话总结(1)中所包含的规律. 解：(1)bc.理由如下： 因为 ba，ca， 所以1290. 所以 bc. (2)在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 活动 3 3 课堂小结 学生试述：这节课你学到了什么？ 第 2 课时 利用内错角或同旁内角判定两直线平行 1.了解内错角、同旁内角的概念，并会在简单的图形中辨认内错角、同旁内角. 2.利用“同位角相等，两直线平行”推导判定平行线的另外两种方法，并能运用判定方法 2，3 进行简单的推 理论证，解决有关的计算问题. 自学指导 阅读教材 P4748，完成下列问题. (一
12、)知识探究 1.两条直线被第三条直线所截形成的角中， 如果两个角在被截直线之间， 在截线两侧， 这样的一对角是内错角； 如果两个角在被截直线之间，在截线同侧，这样的一对角是同旁内角. 2.内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. (二)自学反馈 如图，3 和5 是直线 AB，BE 被直线 AC 所截得的同旁内角，2 和5 是直线 AB，CD 被直线 AC 所截得的内 错角，直线 AC，BC 被直线 AB 所截得的同旁内角是4 和5. 活动 1 1 小组讨论 例 你能用三块大小相同的三角板(30，60，90)拼接成一个含有平行线段的图形吗？试一试，多拼几个 图形，找出平行线段后，说明你
13、的理由. 解：答案不唯一，如下图中，BDAE，ABCE，ACDE.理由略. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，下列说法错误的是( D ) A.1 与3 是对顶角 B.3 与4 是同位角 C.1 与4 是内错角 D.1 与2 是同旁内角 2.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道 ABCD，使其拐角ABC150，BCD 30，则( C ) A.ABBC B.BCCD C.ABDC D.AB 与 CD 相交 3.如图，可以判定 ABEC 的条件是( D ) A.BACE B.AECD C.BACB D.AACE 4.如图，如果26，那么 ADBC；如果3456180，那么 AD
14、BC；如果7BCD，那 么 ABCD. 活动 3 3 课堂小结 学生试述：这节课你学到了什么？ 2 2.3 3 平行线的性质 第 1 课时 平行线的性质 通过探究，理解平行线的性质，并能用其性质进行相关简单的计算与推理. 自学指导 阅读教材 P5051，完成下列问题. (一)知识探究 1.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补. (二)自学反馈 1.如图，直线 a，b 被直线 c 所截.若 ab，160，则2 的度数为( C ) A.120 B.90 C.60 D.30 2.如图，ABCD，150，则2 的度数是( C ) A.50 B.120 C
15、.130 D.150 活动 1 1 小组讨论 例 如图所示，一束平行光线 AB 与 DE 射向一个水平镜面后被反射，此时12，34. (1)1 与3 的大小有什么关系？2 与4 呢？ (2)反射光线 BC 与 EF 也平行吗？ 解：(1)因为 ABDE， 所以13(两直线平行，同位角相等). 又因为12，所以23(等量代换). 又因为34(已知)，所以24(等量代换). (2)BCEF. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，ABCD，直线 EF 与 AB，CD 分别交于点 M，N，过点 N 的直线 GH 与 AB 交于点 P，则下列结论错误的是 ( D ) A.EMBEND B.BMNMNC C
16、.CNHBPG D.DNGAME 2.如图，已知AOB70，OC 平分AOB，DCOB，则C 的度数为 35. 3.如图，把一块三角板的 60角的顶点放在直尺的一边上.若240，则180. 4.如图，已知 ABCDEF，A105，ACE45，求E 的度数. 解：因为 ABCD， 所以AACD180. 因为A105， 所以ACD75. 所以DCEACDACE30. 因为 EFCD，所以EDCE30. 活动 3 3 课堂小结 平行线的三条性质. 第 2 课时 平行线的性质与判定的综合 能合理利用平行线的性质与判定进行相关推理和计算. 自学指导 阅读教材 P5253，完成下列问题. 自学反馈 1.如
17、图，170，270，360，则4 等于( C ) A.80 B.70 C.60 D.50 2.如图，已知136，236，3140，则4 等于( A ) A.40 B.36 C.44 D.100 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图，ABCD，如果12，那么 EF 与 AB 平行吗？说说你的理由. 解：因为12， 根据“内错角相等，两直线平行” ， 所以 EFCD. 又因为 ABCD， 根据“平行于同一条直线的两条直线平行”， 所以 EFAB. 例 2 2 如图，已知直线 ab，直线 cd，1107，求2，3 的度数. 解：因为 ab， 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以21107. 因
18、为 cd， 根据“两直线平行，同旁内角互补”， 所以13180. 所以3180118010773. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，34180，2135，则1 的度数是( A ) A.45 B.55 C.65 D.75 2.如图，已知AEFEGH，ABCD，则下列判断中不正确的是( C ) A.AEFEFD B.ABGH C.BEFEGH D.GHCD 3.如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，且 ca，cb，170，则270. 4.如图，若 ABCD，且ABC130，要使 BCDE，那么CDE50. 5.如图，已知 ABDE，12，直线 AE 与 DC 平行吗？请说明理由. 解：AED
19、C.理由如下： 因为 ABDE， 所以1AED. 又因为12， 所以2AED. 所以 AEDC. 活动 3 3 课堂小结 学生试述：这节课你学到了什么？ 2 2.4 4 用尺规作角 1.能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用. 2.经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识. 自学指导 阅读教材 P5556，完成下列问题. (一)知识探究 只用没有刻度的直尺与圆规作图称为尺规作图. (二)自学反馈 如图所示，求作一个角等于AOB. 作法：(1)作射线 OB； (2)以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D
20、； (3)以点 O为圆心，OC(或 OD)长为半径作弧，交 OB于点 D； (4)以点 D为圆心，CD 长为半径作弧，交前面的弧于点 C； (5)过点 C作射线 OA.则AOB就是所求作的角. 活动 1 1 小组讨论 例 利用尺规，作一个角等于已知角. 已知：AOB(如图). 求作：AOB，使AOBAOB. 解： 作法 示范 (1)作射线 OA； (2)以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； (3)以点 O为圆心，OC 长为半径作弧，交 OA于点 C； (4)以点 C为圆心，OC 长为半径作弧，交前面的弧于点 D； (5)过点 D作射线 OB.AOB就是所
21、求作的角. 活动 2 2 跟踪训练 1.尺规作图的画图工具是( D ) A.刻度尺、量角器 B.三角板、量角器 C.直尺、量角器 D.没有刻度的直尺和圆规 2.下列尺规作图的语句错误的是( B ) A.作AOB，使AOB3 B.以点 O 为圆心作弧 C.以点 A 为圆心，线段 a 的长为半径作弧 D.作ABC，使ABC 3.如图，用尺规作出了 BFOA，作图痕迹中，弧 MN 是( C ) A.以点 B 为圆心，OD 长为半径作的弧 B.以点 C 为圆心，CD 长为半径作的弧 C.以点 E 为圆心，CD 长为半径作的弧 D.以点 E 为圆心，OD 长为半径作的弧 4.如图所示，已知线段 AB，分别过点 A，B 作CAB，CBA.(不写作法，保留作图 痕迹) 解：如图. 活动 3 3 课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？