1、2020/20212020/2021 学年度高三数学第一学期十月测试试卷学年度高三数学第一学期十月测试试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合 2 230 ,210Ax xxBxx ，则 AB=（ ） A 1) 2 (-3, B. (-3,1) C. 1 ( ,1) 2 D. 1 ( ,3) 2 2 己知定义在 R 上的奇函数f(x)， 当x0 时， 2 ( )logxf x ;且f(m)=2， 则m= （ ） A. 1 4 B.4 C.4 或 1 4 D.4 或 1
2、 4 3已知复数 z 的共轭复数为z，且满足 2z+z=3+2i，则|z|=（ ） A.3 B.5 C.3 D.5 4已知抛物线xy4 2 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点)32 , 3(M的直线 l 交抛物线于另一点 N，则NMNF :等于（ ） A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.3:1 5已知点 A 为曲线 4 0yxx x 上的动点，B 为圆 2 2 21xy上的动 点，则AB的最小值是（ ） A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2 6古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图 中的 1.3.6.10由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类
3、似地，将图 中的 1.4.9.16这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ) A189 B1225 C1024 D1378 7已知函数 sinf xx，其中0，0， 4 f xf 恒 成立，且 f x在区间0, 4 上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A6,10 B6,8 C.（8.10） D(6.12) 8若, x y满足 4, 20, 24, xy xy xy 则 4y x 的最大值为 （ ） A. 7 2 B. 5 2 C. 3 2 D. 1 二、 多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部
4、选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9. 下图为某地区 2006 年2018 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额 折线图 根据该折线图可知，该地区 2006 年2018 年（ ） A财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 10 著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时， 发现有这样一列数： 1， 1， 2， 3， 5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一
5、列数组 成的数列an称为“斐波那契数列”，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论正确 的是( ) Aa68 BS733 Ca1a3a5a2019a2022 D a21a22a 2 2019 a2019 a2020 11定义：若函数在区间上的值域为，则称是函数 的“完美区间” 另外，定义的“复区间长度”为，已知函数 则（ ） A0，1是的一个“完美区间” B是的一个“完美区间” C的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 D的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 12.已知函数的图象的一个最高 点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个 单位长度得到函数的图象，则（ ） A为偶函
6、数 B的一个单调递增区间为 C 为奇函数 D在上只有一个零点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知数列 n a 满足 1 1 2 nn nn aa aa ，且 1 1 9 a ，则 6 a的值为 14.已知ABC的面积等于 1，BC=1，则当ABC的三边之积取得最小值时， sinA= . 15.已知函数y2sin(x 3)(0)在区间( 3,)上有且仅有一个零点，则 的取值 范围为 16.若锐角，满足 sin( 4)sin( 4)=coscos，则+的值为 四、解答题：本题共 6 小题，第 17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分 17. .在A
7、 B; B A ; AB= A;这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中。 若问题中的实数 a 存在，求 a 的取值范围;若不存在，说明理由。 问题:己知集合 A= x|l (x-l)1,xR,B=x|(x-a)(x-4+a)0,xR,是否存在实数 a，使得 _? 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18已知 sin( 2) 5 5 ，(0，) (1)求 sin 2cos 3 2 sincos3的值； (2)求 cos(2 3 4 )的值 19如图，在三棱柱 111 ABCABC 中，侧面 11 ABB A 底 面ABC，ABAC，E，F分别是棱AB，BC的中点 求证： （1）
8、11 AC平面 1 B EF； （2） 1 ACB E 20某市现在已是拥有 1 400 多万人口的城市，机动车保有量已达 450 多万辆， 成年人中约 40%拥有机动车驾驶证为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学 的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查先根据是否拥有驾驶 证，用分层抽样的方法抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查这 200 人所得的分数都分布在30，100范围内，规定分数在 80 以上(含 80)的为“具有很强安 全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示 拥有驾 驶证 没有驾 驶证 总 计 具有很强安全意 识 不具有很强安全 意识 5
9、8 总计 2 00 (1)补全上面的 22 列联表，并判断能否有超过 95%的把握认为“具有很强安全 意识”与拥有驾驶证有关? (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 4 人，记“具有 很强安全意识”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 附表及公式：K2 n(adbc)2 (ab)(cd)(ac)(bd)，其中 nabcd P(K2 k0) 0 .15 0 .10 0 .05 0 .025 0 .010 0 .005 0. 001 k0 2 .072 2 .706 3 .841 5 .024 6 .635 7 .879 1 0.828 21在直角坐标系xOy中，曲线C
10、的参数方程为 2 2 1 1 4 xt t yt t （t 为参数） （1）求曲线C的普通方程； （2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 6 ，R，直线 l 与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长度AB 22已知函数f(x)1|2x1|，0 x1设fn(x)fn-1(f(x)，其中f1(x)f(x)，方程 fn(x)0 和方程fn(x)1 的根的个数分别记为gn(0)，gn(1) (1)求g2(1)的值； (2)证明：gn(0)=gn(1)+1. 十月测试数学参考答案 选择题 01-05 CDBCA 06-08 BAD 09 AD 10 ABD 11 AC
11、 12 BD 13 27 14 8 17 15 ( 1 3，1)( 4 3， 7 3 16 3 4 17 17.解：由 2 log (1)1x得12x 即3x ，故3 +A， 选：AB 当2a 时，,4,Baa 23ABa ； 当2a 时，,4,Baa 43ABa 即12a； 当2a 时，,22,B 此时AB 综上：13a 选：答案同 18 解： (1)sin( 2 ) 5 5 ，(0，) cos 5 5 ，(0，)sin 2 5 5 . sin 2cos 3 2 sincos3 cos sin sin cos 1 3.。 。 。 。5 分 (2)cos 5 5 ，sin 2 5 5 sin
12、24 5，cos 2 3 5. cos(23 4 ) 2 2 cos 2 2 2 sin 2 2 10 .。 。 。 。 。 。 。10 分 19 （1）在中，E，F分别是棱AB，BC的中点， 所以/ /EFAC， 又在三棱柱 111 ABCABC中， 11/ / ACAC， 所以 11/ / ACEF， 又因为 11 AC 平面 1 B EF，EF 平面 1 B EF， 所以 11/ / AC平面 1 B EF （2）因为侧面 11 ABB A 底面ABC，侧面 11 ABB A底面ABCAB， ABAC，AC 平面ABC，所以AC 平面 11 ABB A， 又因为 1 B E 平面 11
13、ABB A，所以 1 ACB E 20 解：(1)200 人中拥有驾驶证的占 40%，有 80 人，没有驾驶证的有 120 人；具有很 强安全意识的占 20%，有 40 人，不具有很强安全意识的有 160 人 补全的 22 列联表如表所示： 拥有驾 驶证 没有驾 驶证 总 计 具有很强安全意 识 22 18 4 0 不具有很强安全 意识 58 102 1 60 总计 80 120 2 00 计算得 K2 200(221021858)2 4080160120 75 164.68753.841， 所以有超过 95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关 (2)由频率分布直方图中数据可知，抽
14、到的每个成年人“具有很强安全意识”的概 率为 1 5，所以 X0，1，2，3，4，且 XB 4， 1 5 于是 P(Xk)Ck4 1 5 k 4 5 4k(k0，1，2，3，4)，X 的分布列为 0234 错误错误 错误错误 错误错误 错误错误 错误错误 所以 E(X)4 1 5 4 5 答：X 的数学期望为 4 5 21 1）曲线C的参数方程为 2 2 1, 1 4, xt t yt t （t 为参数） ， 将式两边平方，得 22 2 1 2xt t ， ，得 2 6xy，即 2 6yx， 因为 111 22xttt ttt ，当且仅当 1 t t ， 即1t 时取“” ，所以2x ，即2x
15、 或2x ， 所以曲线C的普通方程为 2 6yx（2x 或2x ） （2）把 cos sin x y 代入曲线C得： 22 sincos6，cos2， 则曲线C的极坐标方程为 22 sincos6，cos2 设A，B的极坐标分别为 1, 6 A ， 2, 6 B ，由 22 6 sincos6 得 22 sincos6 66 ，即 2 32240，且 4 3 3 因为44 3 244 73 ， 173 3 或 173 3 ， 满足 4 3 3 ，不妨设 1 173 3 ， 2 173 3 所以 12 2 73 3 AB 注：没考虑 4 3 3 要酌情扣分 22 【解】(1) g2(1)2. (
16、2)猜想gn(0)2 n-1+1，g n(1)= 2 n-1以下用数学归纳法证明 首先证明gn(1)= 2 n-1 当n=1 时，f1(x)=f(x)，由 1|2x1|1，得x=1 2，所以 g1(1)=1，猜想为真 假设n=k时，猜想为真，即fk(x)=1 有gk(1)=2 k-1个解 因为fk(0)=fk(1)=0，所以fk(x)=1 的gk(1)个解都在(0，1)上，记为xi(i=1,2,2 k-1) 对于fk+1(x)=1，即fk(f(x)=1,所以f(x)xi， 因为每一个方程f(x)xi有两个解，所以gk1(1)2gk(1)=2 k 综上，gn(1)= 2 n-1 再证gn(0)2 n-1+1 当n=1 时，f1(x)=f(x)，由 1|2x1|0，得x=0 或 1，所以g1(0)=2，猜想为真 假设n=k时，猜想为真，即fk(x)=0 有gk(0)=2 k-11 个解 因为fk(0)=fk(1)=0，所以fk(x)=0 的解有 2 k-1个解在0，1)上，记为 yi(i=1,2,2 k-1) 对于fk+1(x)=0，即fk(f(x)=0,所以f(x)xi，或f(x)=1， 因为每一个方程f(x)yi有两个解，f(x)=1 仅有一解， 所以gk1(0)2gk(0)11=2 k1 综上，gn(0)2 n-1+1 故gn(0)=gn(1)+1.