1、3.1 函数及其表示函数及其表示（学生版学生版） 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的概念要点一、函数的概念 1函数的定义函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函 数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 要点诠释：要点诠释： （1）A、B 集合的非空性； （2）对应关系的存在性、唯一性、确
2、定性； （3）A 中元素的无剩余性； （4）B 中元素的可剩余性。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3区间的概念区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示 区间表示： |( , );x axba b x|axb=a，b； |,x axba
3、b； |,x axba b； |- ,; |,x xbbx axa. 要点二、函数的表示法要点二、函数的表示法 1函数的三种表示方法：函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值. 2分段函数：分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况 要点三、映射与函数要点三、映射与函数 1.映射定义：映射定义
4、： 设 A、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f：AB. 象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象. 要点诠释：要点诠释： (1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为 f(a). 2.函数与映射的区别与联系：函数与映射的区别与联系： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：AB 是从集合 A 到集合 B
5、的映射，这个映射叫做从集合 A 到集 合 B 的函数，记为 y=f(x). 要点诠释：要点诠释： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. (5)如果 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则从集合 A 中到集合 B 的映射（不加限制）有有 m n 个个。 3.函数定义域的求法函数定义域的求法 (1)确定函数定义域的原则 定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号 的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为
6、零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条 件. （2）抽象函数定义域的确定 注意 1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量x的取值集合。 注意 2：在同一函数f作用下，括号内整体的取值范围相同。 4.函数值域的求法函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完 全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：观察法： 通过对函数解析式的简单变形， 利用熟知的基本函数的值域， 或利用函数的图象的“最高点” 和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值
7、范围的情况下，利用求二 次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函 数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本 函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法最值法、数形结合法数形结合法等. 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【典型例题】【典型例题】 类型一、函数的概念类型一、函数的概念 例 1.已知集合1
8、,2,3A，4,5B ，则从A到B的函数( )f x有 个. 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集R上的一个函数？为什么？ （1）:fx 2 ,0,xxR x ； （2）:gxy， 2 ,yx xN yR； （3）:h * ABN，对任意的,xA|3|xx. 例 2下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1） 0 ) 1x()x(f；1)x(g （2）x)x(f； 2 x)x(g （3） 2 x)x(f； 2 ) 1x()x(g （4）|x|)x(f； 2 x)x(g 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列命题的真假 (1)y=x-1
9、 与 1x 1x y 2 是同一函数； (2) 2 xy 与 y=|x|是同一函数； (3) 233 )x(y)x(y与是同一函数； (4) )0 x(xx )0 x(xx )x(f 2 2 与 g(x)=x2-|x|是同一函数. 类型二、函数定义域的求法类型二、函数定义域的求法 例 3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1) 2 -1 ( ) -3 x f x x ； (2)( )3 -8f xx； (3) 1 ( )2- 6 f xx x . 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示） ： (1) 3 f(x) |x 1| 2 ； (2) 1 f(x)x3 x1
10、 ； （3）( )1f xxx. 例 4.（1）已知函数 y=f（x）的定义域为1，2，求函数 y=f（1x2）的定义域 （2）已知函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1，求函数 y=f（x）的定义域 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知(1)f x的定义域为2,3，求 1 (2)f x 的定义域. 例 5.已知函数 32 1 43 ax y axax 的定义域为R，求实数a的取值范围. 类型三、求函数的值及值域类型三、求函数的值及值域 例 6. 已知 f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)
11、，g(f(x) 例 7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，4, 1x ；2,3x ； 2 -2 (2) ( )-23; (3) ( ) 3 x f xxxf x x . 举一反三：举一反三： 【变式 1】 求下列函数的值域： （1）1yx； （2） 21 3 x y x ； （3） 2 2 1 1 x y x ； （4） 2 54yxx 类型四、映射与函数类型四、映射与函数 例 8. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？ （1） A=直角坐标平面上的点， B= （x， y）|,xR yR， 对应法则是： A 中的点与 B 中的
12、 （x， y）对应 （2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以 2 的余数； （4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是 f： 2 xyx （5）A=0，1，2，B=0，1， 1 2 ，对应法则是 f： x 1 yx 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列对应是否是实数集 R 上的函数： （1）f：把 x 对应到 3x+1； （2）g：把 x 对应到|x|+1； （3）h：把 x 对应到 1 25x ； （4）r：把 x 对应到36x 类型五、函数解析式的求法类型五、函数解析式的求法 例 9.求函数的解析式 (
13、1)已知( )f x是二次函数，且(0)2, (1)( )1ff xf xx，求( )f x； (2)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)； （3）已知3 ( )2 ()3f xfxx，求( )f x. 举一反三：举一反三： 【变式】求下列函数( )f x的解析式 （1）已知 2 2 1 1 2()= x fx x ，求( )f x； （2）已知 1 592( )()=ff x xx，求( )f x 类型六、函数的图象类型六、函数的图象 例 10.作出下列函数的图象. （1）1( 21012)yx x ， ， ， ，； （2） 21 1 x y x ； （3） 2 |2 | 1yxx 类型七
14、、分段函数类型七、分段函数 例 11.设函数 2 2 220 0 xx,x, f x x ,x. 若 2ff a，则a= 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，在边长为 4 的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA 由B（起点）向A（终点）运动.设点P运动的路程为x，APB的面积为y. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）画出( )yf x的图象. 【巩固练习】【巩固练习】 1函数1yxx的定义域是( ) A|1x x B|0 x x C|10 x xx或 D|01xx 2函数 2 43,0,3yxxx的值域为 （ ） A0,3 B-1,0 C-1,3 D0,2 3对于集合 A
15、到集合 B 的映射，有下述四个结论: B 中的任何一个元素在 A 中必有原象； A 中的不同元素在 B 中的象也不同； A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的； A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4设|02 ,|12MxxNyy，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集 合M到N的函数关系的有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5设函数 2 , 0, ( ) 1, 0, xx f x xx 则)1(ff的值为( ) A2 B1 C1 D2 6已知 f（x21）定义域为0，3，则 f（2x1）的定义
16、域为（ ） A 9 (0, ) 2 B 9 0, 2 C 9 (, ) 2 D 9 (, 2 7向高为H的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么 水瓶的形状是图中的（ ） 8已知函数 2 2 ( ) 1 x f x x ，则: 1111 (1)(2)( )(3)( )(4)( )(2010)() 2342010 fffffffff的值是（ ） A2008 B2009 C 1 2009 2 D 2010 9若( )yf x的定义域是0,1，则( )()(2) 01F xf xafxaa的定义域是 10已知 0, 1 0, 1 )( x x xf，则不等式(2)(
17、2)5xxf x的解集是 11若函数 2 xb y x 在（a，a+6） （b2）上的值域为（2，+） ，则 a+b=_ 12 已知 * , a bN，()( ) ( ),(1)2,f abf a f bf则 (2)(3)(4)(2011) (1)(2)(3)(2010) ffff ffff = 13当m为何值时，方程 2 4| 5,xxm （1）无解； （2）有两个实数解； （3）有三个实数解； （4）有四个实数解 3.1 函数及其表示（教师函数及其表示（教师版版） 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的概念要点一、函数的概念 1函数的定义函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个
18、确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函 数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 要点诠释：要点诠释： （1）A、B 集合的非空性； （2）对应关系的存在性、唯一性、确定性； （3）A 中元素的无剩余性； （4）B 中元素的可剩余性。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 构成函数的三个要素是定义
19、域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3区间的概念区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示 区间表示： |( , );x axba b x|axb=a，b； |,x axba b； |,x axba b； |- ,; |,x xbbx axa. 要点二、函数的表示法要点二、函数的表示法 1函数的三种表示方法：函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式
20、表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值. 2分段函数：分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况 要点三、映射与函数要点三、映射与函数 1.映射定义：映射定义： 设 A、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f
21、：AB. 象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象. 要点诠释：要点诠释： (1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为 f(a). 2.函数与映射的区别与联系：函数与映射的区别与联系： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集 合 B 的函数，记为 y=f(x). 要点诠释：要点诠释： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应
22、法则； (3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. (5)如果 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则从集合 A 中到集合 B 的映射（不加限制）有有 m n 个个。 3.函数定义域的求法函数定义域的求法 (1)确定函数定义域的原则 定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号 的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条 件. （2）抽象函数定义域的确定 注意 1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量x的取值集合。 注意 2：在同一函数f作用下
23、，括号内整体的取值范围相同。 4.函数值域的求法函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完 全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：观察法： 通过对函数解析式的简单变形， 利用熟知的基本函数的值域， 或利用函数的图象的“最高点” 和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二 次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函 数等；此外，使用此方
24、法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本 函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法最值法、数形结合法数形结合法等. 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【典型例题】【典型例题】 类型一、函数的概念类型一、函数的概念 例 1.已知集合1,2,3A，4,5B ，则从A到B的函数( )f x有 个. 【答案】8 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集R上的一个函数？为什么？ （1）
25、:fx 2 ,0,xxR x ； （2）:gxy， 2 ,yx xN yR； （3）:h * ABN，对任意的,xA|3|xx. 【解析】 （1）对于任意一个非零实数 2 , x x 被x唯一确定，所以当0 x 时，x 2 x 是函数，可表示为 2 ( )(0)f xx x . （2）当4x 时， 2 4y ，得2y 或2y ，不是有唯一值和x对应，所以xy（ 2 yx）不是 函数. （3）不是，因为当3x 时，在集合B中不存在数值与之对应. 例 2下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1） 0 ) 1x()x(f；1)x(g （2）x)x(f； 2 x)x(g （3）
26、 2 x)x(f； 2 ) 1x()x(g （4）|x|)x(f； 2 x)x(g 【答案】 （1）不是（2）不是（3）不是（4）是 【解析】 (1) ( )( )f xg x与的定义域不同，前者是|1,x xxR，后者是全体实数，因此是不同的函数； (2)( ) |g xx，因此( )( )f xg x与的对应关系不同，是不同的函数； (3) ( )( )f xg x与的对应关系不同，因此是不相同的函数； (4) ( )( )f xg x与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数. 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列命题的真假 (1)y=x-1 与 1x 1x y 2 是同一函数； (
27、2) 2 xy 与 y=|x|是同一函数； (3) 233 )x(y)x(y与是同一函数； (4) )0 x(xx )0 x(xx )x(f 2 2 与 g(x)=x2-|x|是同一函数. 【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. 类型二、函数定义域的求法类型二、函数定义域的求法 例 3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1) 2 -1 ( ) -3 x f x x ； (2)( )3 -8f xx； (3) 1 ( )2- 6 f xx x . 【解析】(1) 2 1 ( ) 3 x f x x 的定义域为 x2-30， 3(
28、,3)(3, 3)( 3,)x ， 定义域为：； (2) 88 ( )3 -8-80, 33 f xxxx ，由3得，定义域为； (3) 202 1 ( )2 6,2 60-66 xx f xx xxx ，由得定义域为. 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示） ： (1) 3 f(x) |x 1| 2 ； (2) 1 f(x)x3 x1 ； （3）( )1f xxx. 【解析】(1)当|x-1|-2=0，即 x=-1 或 x=3 时， 3 | x1| 2 无意义，当|x-1|-20，即 x-1 且 x3 时，分 式有意义，所以函数的定义域是(-，-1)(-1，3)(
29、3，+)； (2)要使函数有意义，须使 x10 x3x1 x30 ，即且，所以函数的定义域是3,1(1,)； (3)要使函数有意义，须使 1x0, x0. ，所以函数的定义域为0,1. 例 4.（1）已知函数 y=f（x）的定义域为1，2，求函数 y=f（1x2）的定义域 （2）已知函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1，求函数 y=f（x）的定义域 【答案】 （1）2,2； （2） （7，1 【解析】 （1）因为函数 y=f（x）的定义域是1，2， 所以函数 f（1x2）中11x22，1x22， 即2,2x ，f（1x2）的定义域为2,2 （2）函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1，
30、2x1，42x2，72x31， 即函数 y=f（x）的定义域为（7，1 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知(1)f x的定义域为2,3，求 1 (2)f x 的定义域. 【答案】 11 , 32 【解析】(1)f x的定义域为2,3，23x ，114x ， 1 124 x ，解得： 1 2 x 或 1 3 x ， 所以 1 (2)f x 的定义域为 11 , 32 . 例 5.已知函数 32 1 43 ax y axax 的定义域为R，求实数a的取值范围. 【答案】 3 0, 4 【解析】 当0a 时， 2 430axax 对任意xR恒成立. 当0a 时 ， 要 使 2 430axax 恒
31、 成 立 ， 即 方 程 2 430axax 无 实 根 . 只 需 判 别 式 2 (4 )124 (43)0aaaa ，于是 3 0 4 a. 综上，a的取值范围是 3 0, 4 . 类型三、求函数的值及值域类型三、求函数的值及值域 例 6. 已知 f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x) 【答案】 （1）-23，-1； （2）-20，-51； （3）8x2-46x+40，4x2-6x-55 【解析】 (1)f(2)=2 22-3 2-25=-23；g(2)=2 2-5=-1；
32、(2)f(g(2)=f(-1)=2 (-1)2-3 (-1)-25=-20；g(f(2)=g(-23)=2 (-23)-5=-51； (3)f(g(x)=f(2x-5)=2 (2x-5)2-3 (2x-5)-25=8x2-46x+40； g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2 (2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55. 例 7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，4, 1x ；2,3x ； 2 -2 (2) ( )-23; (3) ( ) 3 x f xxxf x x . 【解析】(1)法一：配方法求值域 22 24(1)3yxxx，当4, 1x 时， maxmin 2
33、8,7yy，值域为7，28； 当2,3x 时， maxmin 12,3yy，值域为3，12 法二：图象法求值域 二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x ， 所以函数在区间,1上单调递减，在区间1,上单调递增 所以当4, 1x 时，值域为7，28；当2,3x 时，值域为3，12 (2) 22 -23( -1)22,2,yxxx 值域为； (3) -23-555 1-,0,1 3333 xx yy xxxx ，函数的值域为(-，1)(1，+). 举一反三：举一反三： 【变式 1】 求下列函数的值域： （1）1yx； （2） 21 3 x y x ； （3） 2 2 1 1 x y x ；
34、（4） 2 54yxx 【解析】（1）0,1 1xx ，即所求函数的值域为1, （2） 21 3 x y x 2672(3)77 2 333 xx xxx ， 7 0 3x ，2y， 值域为|2y y （3） 2 2 1 1 x y x 2 2 1 1x ，函数的定义域为R 2 2 2 11,02 1 x x ， 2 2 111 1x ，1,1y ，即函数的值域为1,1 （4） 22 54(2)9yxxx， 2 0(2)99x ，所求函数的值域为0,3 类型四、映射与函数类型四、映射与函数 例 8. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？ （1
35、） A=直角坐标平面上的点， B= （x， y）|,xR yR， 对应法则是： A 中的点与 B 中的 （x， y）对应 （2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以 2 的余数； （4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是 f： 2 xyx （5）A=0，1，2，B=0，1， 1 2 ，对应法则是 f： x 1 yx 【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合 A、B 不是数集，是点集； (2)是映射，集合 A 中的任意一个元素(三角形)，在集合 B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与 之对应，这是因为不共线的三
36、点可以确定一个圆；不是函数 (3)是映射，也是函数，函数解析式为 0,(2 ) ( ) 1,(21) xn f x xn （4）是映射，也是函数 （5）对于集合 A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合 B 中没有元素与它对应，所以不是映 射，也不是函数 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列对应是否是实数集 R 上的函数： （1）f：把 x 对应到 3x+1； （2）g：把 x 对应到|x|+1； （3）h：把 x 对应到 1 25x ； （4）r：把 x 对应到36x 【解析】 （1）是它的对应关系 f 是：把 x 乘 3 再加 1，对于任一 xR，3x+1 都有唯一确定的
37、y 值 与之对应如 x=1，则 3x+1=2 与之对应； （2）是它的对应关系 f 是：把 x 取绝对值再加 1，对于任一 xR，|x|+1 都有唯一确定的 y 值与 之对应如 x=1，则|x|+1=2 与之对应； （3）不是当 5 2 x 时，根据对应关系，没有值与之对应； （4）不是当 x2 时，根据对应关系，找不到实数与之对应 类型五、函数解析式的求法类型五、函数解析式的求法 例 9.求函数的解析式 (1)已知( )f x是二次函数，且(0)2, (1)( )1ff xf xx，求( )f x； (2)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)； （3）已知3 ( )2 ()3f xfxx，
38、求( )f x. 【解析】求函数的表达式可由两种途径. (1)设 2 ( )(0)f xaxbxc a，由(0)2,f得2c 由(1)( )1f xf xx，得恒等式 2ax+a+b=x-1,得 13 , 22 ab ，故解析式为： 2 13 ( )2 22 f xxx. (2) f(2x-1)=x2，令 t=2x-1，则 1 2 t x 22 11 ( )() ,( )() 22 tx f tf x （3）因为3 ( )2 ()3f xfxx， x用x代替得3 ()2 ( )3fxf xx ， 由消去()fx，得 3 ( ) 5 f xx. 举一反三：举一反三： 【变式】求下列函数( )f
39、x的解析式 （1）已知 2 2 1 1 2()= x fx x ，求( )f x； （2）已知 1 592( )()=ff x xx，求( )f x 【解析】 （1）令120()tx x ，则 1 1 2 =() t xt 2 2 22 1 1 232 1 11 2 ( )=() t tt f tt tt ， 2 2 23 1 1 ( )=() xx f xx x （2）将已知式子中的 x 换成 1 x 得2 15 9()( )=xff xx 消去 1 ()f x ，得 105 3 33 ( )=xfx x 类型六、函数的图象类型六、函数的图象 例 10.作出下列函数的图象. （1）1( 21
40、012)yx x ， ， ， ，； （2） 21 1 x y x ； （3） 2 |2 | 1yxx 【解析】(1) 21012x ， ， ， ，图象为一条直线上 5 个孤立的点；如下图（1） （2） 213 2 11 x y xx ， 先作函数 3 y x 的图象，把它向右平移一个单位得到函数 3 1 y x 的图象，再把它向上平移两个 单位便得到函数 21 1 x y x 的图象如下图（2） （3）先作 2 2yxx的图象，保留x轴上方的图象，再把x轴下方的图象对称翻到x轴上方再 把它向上平移 1 个单位，即得到 2 |2 | 1yxx的图象，如下图所示（3） 类型七、分段函数类型七、分段
41、函数 例 11.设函数 2 2 220 0 xx,x, f x x ,x. 若 2ff a，则a= 【答案】2 【解析】由题意，当0 x时， 2 22f xxx，则 1f x 又 2ff a， 0f a （舍）或 2f a 2 2f aa， 2a （舍负） 2a 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，在边长为 4 的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA 由B（起点）向A（终点）运动.设点P运动的路程为x，APB的面积为y. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）画出( )yf x的图象. 【解析】 （1） 2 ,04, 8,48, 224,812. xx yx xx （2）当P点
42、在BC边上运动时，即当04x时， 1 42 ; 2 yxx 当P点在CD边上运动时，即当48x时， 1 4 48; 2 y 当P点在DA边上运动时，即当812x时， 1 4 (12)2(12)224 2 yxxx ，故为分 段函数. 【巩固练习】【巩固练习】 1函数1yxx的定义域是( ) A|1x x B|0 x x C|10 x xx或 D|01xx 1 【答案】D 【解析】由题意 1-x0 且 x0，解得01x，故选 D 2函数 2 43,0,3yxxx的值域为 （ ） A0,3 B-1,0 C-1,3 D0,2 2 【答案】C【解析】 22 43(2)1,yxxx 又0,3x， 当 x
43、=2 时，y=1，当 x=0 时，y=3 1y3，即 1, 3y ，故选 C 3对于集合 A 到集合 B 的映射，有下述四个结论: B 中的任何一个元素在 A 中必有原象； A 中的不同元素在 B 中的象也不同； A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的； A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象 其中正确结论的个数是（ A ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4设|02 ,|12MxxNyy，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集 合M到N的函数关系的有 ( A ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5设函数 2 , 0, ( ) 1, 0, xx f x xx 则)1
44、(ff的值为( ) A2 B1 C1 D2 5 【答案】D【解析】该分段函数的二段各自的值域为,0 , 1,， 111 12fff ，故选 D 6已知 f（x21）定义域为0，3，则 f（2x1）的定义域为（ ） A 9 (0, ) 2 B 9 0, 2 C 9 (, ) 2 D 9 (, 2 6 【答案】B， 【解析】根据 f（x21）定义域为0，3，得 x0，3， x20，9，x211，8；令 2x11，8，得 2x0，9， 即 9 0, 2 x；所以 f（2x1）的定义域为 9 0, 2 7向高为H的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么 水瓶的形状是图
45、中的（ B ） 8已知函数 2 2 ( ) 1 x f x x ，则: 1111 (1)(2)( )(3)( )(4)( )(2010)() 2342010 fffffffff的值是（ ） A2008 B2009 C 1 2009 2 D 2010 8 【答案】C 11 (2)( )1,(3)( )1, 23 ffff， 11 (1)200920092009 22 f原式 9若( )yf x的定义域是0,1，则( )()(2) 01F xf xafxaa的定义域是 9 【答案】解不等式组 01, 021. xa xa 得 1, 1 22 axa aa x ， 又 11 ,1, 2222 aaa
46、a aax 10已知 0, 1 0, 1 )( x x xf，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 10 【答案】 3 (, 2 ，当 3 20,2,(2)1,25, 2, 2 xxf xxxx 即则 当20,2, (2)1,25,2xxf xxxx 即则恒成立，即， 3 2 x . 11若函数 2 xb y x 在（a，a+6） （b2）上的值域为（2，+） ，则 a+b=_ 11 【答案】10， 【解析】由 222 1 222 xbxbb y xxx ，b2，-（b+2）0， 则函数 2 1 2 b y x 在（，2） ， （2，+）上为减函数， 又函数在（a，a+6）上为减函数，且值域为（2，+） ， a=2，且 2 (4)12 42 b