1、八年级上册知识点八年级上册知识点 第第 11 章章 数的平方数的平方 11.1 平方根与立方根平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。 二、平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0 有一个平方根，就是它本身。 3. 负数没有平方根。 三、算术平方根 正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根，记作，读作“根号 a” ；另一个平方根是它的相反数，即-。因 此，正数 a 的平方根可以记作，其中 a 称为被开方数。 0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同； 2.
2、 表示方法不同； 3. 个数及取值不同。 aa a 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1. 概念：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。 2. 性质：任何数（正数、负数和 0）的立方根只有一个。 3. 表示：数 a 的立方根，记作，读作“三次根号 a” 。其中 a 称为被开方数，3 是根指数。 4. 一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0 的立方根是 0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2 实数实数 一、无理数 1. 无限不循环小数叫做无理数。 2. 无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无
3、限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是 1 的分数） ，而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 2. 实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数 分数 实数 负分数 正无理数 无理数 负无理数 （2）按正负分类 3 a 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数
4、的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 0, 0, 0 0, a aa a aa 2.一个数的绝对值是非负数，即 a0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零两个相反数的绝对值相等 第第 12 章章 整式的乘除整式的乘除 12.1 幂的运算幂的运算 12.1.1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法 一、同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则 1. 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂。 （其中底数可以是数、单独的字母或其他单项式，也可以是多项式） 。 2. 同底数幂的乘法法则 nmnm aaa （m、n 为正整数） ，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 二、逆用同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘
5、法法则 nmnm aaa （m、n 为正整数）可以逆用，即am+n=aman（m、n 为正整数） 。 12.1.2 幂的乘方，幂的乘方，12.1.3 积的乘方积的乘方 一、幂的乘方的意义及运算法则 1. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘。如（a）是两个 a相乘。 2. 幂的乘方的运算法则 mn n m aa（m、n 为正整数） ，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 二、幂的乘方运算法则的逆向运用 幂的乘方运算法则可以逆向运用，即amn=(am)n=（an）m（m、n 为正整数） 。 三、积的乘方的意义及运算法则 1. 积的乘方的意义 积的乘方指底数是乘积形式的乘方。 2. 积的乘方的
6、运算法则 nn n baab（n 为正整数） ，即积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 四、积的乘方运算法则的的逆向运用 积的乘方的运算法则可以逆用,即anbn=(ab)n（n 为正整数） 。 注意：运用积的乘方运算法则进行运算，要注意系数也要乘方；底数是科学计数法的形式时，乘方后的结果往往也 需要写成科学计数法的形式。 12.1.4 同底数幂的除法同底数幂的除法 一、同底数幂的除法法则 一般地，设 m,n 为正整数，mn,a0,有amanam-n 这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。 注意：只有“同底数”的幂才可应用同底数幂的除法法则，底数互为相反数时可以先化为同底
7、数的幂再进行运算。 （） 二、逆用同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则可以逆用，即am-naman（m,n 都是正整数，且 mn,a0） 12.2 整式的乘法整式的乘法 12.2.1 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘 12.2.2 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘 一、单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它 的指数一起作为积的一个因式。 二、单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 12.2.3 多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘 一、多项式与多项式相
8、乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（m+n） (a+b)=ma+mb+na+nb 12.3 乘法公式乘法公式 12.3.1 两数和乘以这两数的差两数和乘以这两数的差 一、两数和与这两数差的乘法公式（平方差公式） 两数和与这两数差的乘法公式： 22 bababa 即两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。此公式也简称为平方差公式。 12.3.2 两数和（差）的平方两数和（差）的平方 一、两数和（差）的平方公式及其几何意义 两数和（差）的平方公式： 22 2 2bababa 22 2 2bababa 语言描述：两数和（差）的平方，等于
9、这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍。 （注：此公式简称完全平方 公式） 。 12.4 整式的除法整式的除法 一、单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为 商的一个因式。 二、多项式除以单项式 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 12.5 因式分解因式分解 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 注意：多项式因式分解的结果必须是乘积的形式。 二、提公因式法 多项式的每项中都含有相同的因式叫做公因式。如 ab+ac+ad 中，公因式
10、是 a. 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解 的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c). 三、公式法 把乘法公式反过来运用，可以把符合公式特点的多项式因式分解，这种因式分解的方法称为公式法。 公式法 1：平方差公式的逆用：a-b=(a+b)(a-b) 公式法 2：两数和（差）的平方公式的逆用：a+2ab+b=(a+b),a-2ab+b=(a-b) 四、十字相乘法：abxbax)( 2 =)(bxax（a、b 是常数） 公式特点：1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一
11、。2）左边 是二次三项式，二次项的系数是 1，一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。 五、因式分解的一般步骤 在进行因式分解是应遵循“首先提取公因式，然后考虑用公式”的原则。 第第 13 章全等三角形章全等三角形 13.1 命题、定理与证明命题、定理与证明 一、命题 表示判断的语句叫做命题。 命题的两层含义： （1）命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句； （2）命题必须是对 某件事情作出肯定或否定的判断。 二、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。 条件是已知事项； 结论是由已知事项推出的事项。 这样的命题通常可写成 “如果. 那么.”的形
12、式。 三、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类： 真命题：有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。 假命题：有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称 为假命题。 四、定理 基本事实：人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步 判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程
13、叫做证 明。 13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定 一、全等三角形 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。 相互重合的顶点是对应顶点，相互重合的边是对应边，相互重合的角是对应角。 一个三角形经过翻折、平移和旋转等变换得到的新三角形一定与原三角形全等。 二、边角边（S.A.S.） 基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简记为 S.A.S.（或边角边） 。 注意： 应用 S.A.S.判定两个三角形全等时一定要保证相等的角必须是分别对应相等的两边的夹角， 即 “两边夹一角” ， 切不可出现“边边角”的错误。 三、角边角（A.S.A.） 基本事实：两角及其夹边分别相等
14、的两个三角形全等。简记为 A.S.A.（或边角边） 。 四、角角边（A.A.S.） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简记为 A.A.S.（或角角边） 五、边边边（S.S.S.） 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。简记为 S.S.S.（或边边边） 。 六、斜边直角边（H.L.） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简记为 H.L.（或斜边直角边） 。 13.3 等腰三角形等腰三角形 一、等腰三角形的有关概念 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角。 二、等腰三角形的性质 （1）等
15、腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。 （2）等腰三角形的两底角相等， （简写成“等边对等角” ） （3）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合。 （简称“三线合一” ） 三、等边三角形的有关概念及性质 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。 等边三角形也具有“三线合一”的性质。 四、等腰三角形的判定 判定方法 1：在同一个三角形中两边相等的三角形是等腰三角形。 判定方法 2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ） ，即在同一个 三角形中两角相等的三角形是等腰三角形。 判定方法 3：
16、如果一个三角形一边上的高、中线和这一条边所对角的平分线中有任意两条线互相重合，那么这个三 角形是等腰三角形。 五、等边三角形的判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形。 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形。 3. 有一个叫等于 60的等腰三角形是等边三角形。 13.4 尺规作图尺规作图 一、尺规作图 尺规作图的定义：只能使用圆规和没有刻度的直尺（有刻度的直尺不得使用刻度的度量功能）这两种工具作几何图 形的方法称为尺规作图。 基本作图的定义：最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图。 五种基本的尺规作图： （1）作一条线段等于已知线段； （2） 作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线
17、； （4）经过一已知点作已知直线的垂线； （5）作已知线段的垂直平分 线。 13.5 逆命题与逆定理逆命题与逆定理 一、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两 个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 二、互逆命题 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 三、线段垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 四、角平分线 性质
18、定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 第第 14 章章 勾股定理勾股定理 14.1 勾股定理勾股定理 一、勾股定理 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有a+b=c,这种关系我们称为勾股定理。 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 二、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a,b,c 有关系 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角。 三、勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。例如，3、4、5 , 6、8、10，n-1、2n、n+1 等都
19、是 勾股数。 第第15章章 数据的收集与表示数据的收集与表示 15.1 数据的收集数据的收集 一、收集数据的方法及收集数据的过程 1. 收集数据的方法：民意调查法、实地调查法、实验法、测量法、媒体查询法等。 2. 收集数据的过程：明确调查问题；明确调查对象；选择调查方法；展开调查；记录结果；得出结 论。 二、频数和频率 频数：每个对象出现的次数。 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分百） 。 1. 频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。 2. 频数之和为实验的总次数，频率之和为 1. 3. 频率除了与频数有关，还与总次数有关，因此频数大，频率不一定大。 15.2 数据的表示数据的表示 一、扇形统计图 用整个圆面表示总体，用圆内各个扇形的大小来表示各部分占总体的百分比，这样的统计图叫做扇形统计图。 顶点在圆心的角叫做圆心角，扇形的圆心角的度数=该扇形面积占整圆面积的百分比360。 扇形统计图的作用：能够清楚地显示各部分数量占总数量的百分比，所以在需要表示各部分所占比例时，常常使用 扇形统计图。 二、利用统计图表传递信息 统计表：把收集到的数据制成表格的形式，使数据更直观、清楚、便于分析。 统计图：我们目前学习的统计图有条形统计图、折线统计图、扇形统计图。