1、20202020 年河北省衡水中学高考数学三模试卷（理科）年河北省衡水中学高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1（3 分）设集合Ax|x|3，Bx|x2k，kZ，则AB（ ） A0，2 B2，2 C2，0，2 D2，1，0，1，2 2（3 分）若复数z满足zi1+i，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3（3 分）设实数x，y满足条件，则x+y+1 的最大值为（ ） A1 B2 C3 D4 4（3 分）平面向量 与 的夹角为 60， （2，0），| |1，则| +2 |（ ） A B C12 D 5（3 分）如图，
2、是函数f（x）的部分图象，则f（x）的解析式可能是（ ） Af（x）|sinx+cosx| Bf（x）sinx 2+cosx2 Cf（x）|sinx|+|cosx| Df（x）sin|x|+cos|x| 6 （3 分）已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于 64，则展开式中常数项等于（ ） A240 B120 C48 D36 7（3 分）祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度 计算到小数点后第 7 位， 也就是 3.1415926 和 3.1415927 之间， 这一成就比欧洲早了 1000 多年， 我校 “爱 数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率
3、的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型该模 型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置实 验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量， 来估算圆周率的近似值已知某次实验中，某同学一次投掷了 1000 个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率 精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ） A297 B302 C307 D312 8（3 分）设函数f（x）2sin（x+），xR，其中 0，|若f（）2，f（） 0，且f（x）的最小正周期大于 2，则（ ） A， B， C， D， 9（3 分）甲、乙
4、、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如表， 其中“”表示猜测某人获奖，“”表示猜测某人未获奖，而“”则表示对某人是否获奖未发表意 见已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ） 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丙获奖 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 A乙丁 B乙丙 C丙丁 D甲丁 10（3 分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线E：y 22px （p0）的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线AF1的倾斜角为 45，则C的离心率为（ ） A B C3 D 11（3 分）已知a0，不等式x a+1ex+alnx0
5、对任意的实数 x1 恒成立，则实数a的最小值为（ ） A B2e C De 12（3 分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为 27，A1DB与A1DC1的重心分别为E，F，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为（ ） A B C D 二、填空题 13（3 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线y 28x 的焦点F重合，抛物线的 准线与双曲线交于A，B两点，且OAB的面积为 6（O为原点），则双曲线的标准方程为 14（3 分）2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于 除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情
6、防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后 顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课现随机 安排甲、乙、丙 3 名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物 4 门学科，每名志愿者至少辅导 1 门 学科，每门学科由 1 名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 15（3 分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我 国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取 两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离 为 16（
7、3 分）已知圆O：x 2+y24，点 A（2，2），直线l与圆O交于P，Q两点，点E在直线l上且满足 2若AE 2+2AP248，则弦 PQ中点M的横坐标的取值范围为 三、解答题 17已知等差数列an的公差为d，Sn是数列an的前n项和，等比数列bn的公比为q（q1），Tn是数列 bn的前n项和，a3+b30，b11，T33，dq （1）求数列bn的通项公式； （2）是否存在正整数 ，使得关于k的不等式 （30+Sk）10 有解？若 存在，求出 的值；若 不存在，说明理由 18如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为 4 的等边三角形，PAAC，BDCD2，PCPB4， 点E为BC的中点，平
8、面BDC平面ABC （1）求证：DE平面PAC （2）线段BC上是否存在一点T，使得二面角TDAB为直二面角？若存在，试指出点T的位置；若不 存在，请说明理由 19如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，短轴长为 4 （1）求椭圆C的方程； （2）若与原点距离为 1 的直线l1：ykx+m与椭圆C相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆C 相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）记MAB，OAB的面积分别为S1，S2若S1S2，求实数 的 取值范围 202019 年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻 10 月 21 日至 22 日首次公开测产，经测 产专家组评定，最
9、终亩产为 1046.3 千克第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加 优质、高产、绿色和可持续方向发展某企业引进一条先进的年产量为 100 万件的食品生产线，计划以 第三代杂交水稻为原料进行深加工已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值k（k70，100） 为衡量标准，其产品等级划分如表为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取 了 1000 件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如图的产品质量指标值的频率分布直方图 质量指标值k 90k100 85k90 80k85 75k80 70k75 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 （1）若从质量指标值不小于 5
10、 的产品中，采用分层抽样的方法抽取 7 件产品，然后从这 7 件产品中任取 3 件，求产品的质量指标值k90，95）的件数X的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的产品中至少有 1 件是合格及以上 等级”为事件A求事件A发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值k与利润y（单位：元）的关系如表所示；（1t4） 质量指标值k 90k100 85k90 80k85 75k80 70k75 利润 e t t 3t 5t 3t 试确定t的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln20.7，ln31.1， ln51.6） 21已知函
11、数f（x） （1）当m时，求函数f（x）的最小值； （2）若me 22，g（x） ，求证：f（x）g（x） 选考题选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中直线l的参数方程为（t为参数，0，）以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 （1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程； （2）设点P（x0，y0）圆心C（2x0，2y0），若直线l与圆C交于M，N两点，求的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数f（x）|ax3|，不等式f（x）2 的解集为x|1x5 （1）解不等式f（x）2f（x+1）1； （2）若m3，n3，f（m）+f（n）3，
12、求证： 参考答案参考答案 一、选择题 1（3 分）设集合Ax|x|3，Bx|x2k，kZ，则AB（ ） A0，2 B2，2 C2，0，2 D2，1，0，1，2 【分析】求出集合A，B，由此能求出AB 解：集合Ax|x|3x|3x3， Bx|x2k，kZ， 故选：C 2（3 分）若复数z满足zi1+i，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解：由zi1+i，得z， ， 故选：D 3（3 分）设实数x，y满足条件，则x+y+1 的最大值为（ ） A1 B2 C3
13、 D4 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数zx+y+1 对应的 直线进行平移，可得x+y+1 的最大值 解：作出不等式组件 表示的平面区域， 得到如图的ABC及其内部， 当l与AB重合时，目标函数z达到最大值， z最大值0+2+13 故选：C 4（3 分）平面向量 与 的夹角为 60， （2，0），| |1，则| +2 |（ ） A B C12 D 【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算 即可得到结果 解：平面向量 与 的夹角为 60， （2，0），| |1， | +3 |2， 故选：B 5（3 分）
14、如图，是函数f（x）的部分图象，则f（x）的解析式可能是（ ） Af（x）|sinx+cosx| Bf（x）sinx 2+cosx2 Cf（x）|sinx|+|cosx| Df（x）sin|x|+cos|x| 【分析】利用排除法，分别排除选项A、C、D，再说明选项B满足题意 解：由于f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数，排除选项A； 当x1 时，f（x）的图象落在y轴下方，可以排除选项C； 且在x时f（x）取得最大值，在x时f（x）0，所以D选项不满足条件 且在x时f（x）取得最大值，在x时f（x）0，且为偶函数，满足条件 故选：B 6 （3 分）已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于 64
15、，则展开式中常数项等于（ ） A240 B120 C48 D36 【分析】先根据二项式系数的性质求出n的值，再利用通项公式求得展开式中常数项 解：二项式的展开式中，二项式系数之和等于 2 n64，则 n6， 故展开式的通项公式为 Tr+32 6r ，令 80，求得r2， 故选：A 7（3 分）祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度 计算到小数点后第 7 位， 也就是 3.1415926 和 3.1415927 之间， 这一成就比欧洲早了 1000 多年， 我校 “爱 数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型
16、该模 型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置实 验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量， 来估算圆周率的近似值已知某次实验中，某同学一次投掷了 1000 个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率 精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ） A297 B302 C307 D312 【分析】先求出正四面体的体积V1与内切球的体积V2，设落在球内的玻璃球数量为x，由几何概型的概 率计算公式，得到，能估算落在球内的玻璃球数量 解：由三视图得该模型是一个棱长为a50的四面体， 正四面体体积V1， 由题意
17、得BODBEC，即， 内切球体积为， 则，即， 故选：B 8（3 分）设函数f（x）2sin（x+），xR，其中 0，|若f（）2，f（） 0，且f（x）的最小正周期大于 2，则（ ） A， B， C， D， 【分析】由题意求得，再由周期公式求得 ，最后由若f（）2 求得 值 解：由f（x）的最小正周期大于 2，得， 又f（）2，f（）4，得， f（x）2sin（x+）6sin（x+）， +，kZ ， 故选：A 9（3 分）甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如表， 其中“”表示猜测某人获奖，“”表示猜测某人未获奖，而“”则表示对某人是否获奖未发表意 见
18、已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ） 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丙获奖 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 A乙丁 B乙丙 C丙丁 D甲丁 【分析】根据四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，逐个分析即可判断出结果 解：从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误； 若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误； 综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖， 故选：A 10（3 分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线E：y 22px （p0）的焦点，点A为C与E的一个交点，
19、且直线AF1的倾斜角为 45，则C的离心率为（ ） A B C3 D 【分析】 由题意可得：c 直线AF1的方程为：yx+c 联立，解得A（c，2c） ， 代入椭圆方程可得：1，即+1，化为：e 2+ 1，解出即可得出 解：由题意可得：c 直线AF1的方程为：yx+c A（c，2c）， +1，化为：e 2+ 1， 故选：B 11（3 分）已知a0，不等式x a+1ex+alnx0 对任意的实数 x1 恒成立，则实数a的最小值为（ ） A B2e C De 【分析】设f（x）xe x，问题可等价为 f（x）f（lnx a），再利用函数 f（x）的单调性即可得解 解：x a+1ex+alnx0 即
20、为 ， 设f（x）xe x，则上式f（x）f（lnxa）对任意的实数 x6 恒成立， ， 故选：D 12（3 分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为 27，A1DB与A1DC1的重心分别为E，F，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为（ ） A B C D 【分析】由题意可求得正方体棱长为 3，则球 O 的半径 ，以点 D 为坐标原点，建立空间直角 坐 标 系 ， 求 得， 进 而 可 得 点 O 到 直 线EF 的 距 离 ，根据公式可得弦长 解：设正方体的边长为 a，则 ， 即正方体棱长为a3， 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， B（3，3
21、，0），C1（0，3，3），D（4，0，0）， 点 O 到直线 EF 的的距离 ， 因此正方体外接球被 EF 所在直线截的弦长为 故选：D 二、填空题 13（3 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线y 28x 的焦点F重合，抛物线的 准线与双曲线交于A，B两点， 且OAB的面积为 6 （O为原点） ， 则双曲线的标准方程为 【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合三角形的面积公式求出A的坐标，结合双曲线的定 义求出a，b即可 解：抛物线的焦点坐标F（2，0）， 即双曲线中c2，抛物线的准线方程为x2， 则由OAB的面积为 6 得S22m2m6，得m4， 则双曲线的两个焦点坐标为F1（2，0）
22、，F2（8，0）， 得a1， 则双曲线的方程为1， 故答案为：1 14（3 分）2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于 除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后 顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课现随机 安排甲、乙、丙 3 名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物 4 门学科，每名志愿者至少辅导 1 门 学科，每门学科由 1 名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 【分析】根据题意，由排列组合公式分析 3 名志愿者辅导 4 门学科的情况数目，在
23、分析其中甲辅导数学 的情况数目，由古典概型公式计算可得答案 解：根据题意，要求甲、乙、丙 3 名志愿者每名志愿者至少辅导 1 门学科，每门学科由 1 名志愿者辅导， 则必有 1 人辅导 2 门学科； 则有C8 2A 3 36636 种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为， 故答案为： 15（3 分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我 国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取 两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离 为 80 【分析】 根据题
24、意画出图形， BCD中利用正弦定理求出BD的值， ACD中利用等角对等边求出AD的值， 再在ABD中由余弦定理求得AB的值 解：如图所示， BCD中，CD80，BDC15，BCDACB+DCA CBD30， ACD中，CD80，DCA15，ADCADB+BDC135+15150， ABD中，由余弦定理得，AB 2AD2+BD22ADBDcosADB AB80，即A，B两点间的距离为 80 故答案为：80 16（3 分）已知圆O：x 2+y24，点 A（2，2），直线l与圆O交于P，Q两点，点E在直线l上且满足 2若AE 2+2AP248，则弦 PQ中点M的横坐标的取值范围为 （，） 【分析】由
25、题意可得M，Q为线段EP的三等分点，首先证明三角形的中线长定理，可推得AM 2+2QM216， 由垂径定理可得AM 2+2（4OM2）16，所以 AM 22OM28，设 M（x，y），求得M的轨迹方程，考虑M 在圆O内，求得分界点的横坐标，进而得到所求横坐标的范围 解：点E在直线l上且满足2 可得M，Q为线段EP的三等分点， 可得 2 （ 2+2+2 ） 则AB 2+AC62AM2+2BM2， AQ 2+AP22AM2+2QM2， 7（2AM 2+2QM2）+2QM2AM2 即AM 2+5QM216， 所以AM 22OM28， 化为x 2+y2+4x+4y0， 所以由M在圆O内，可得M的横坐标
26、x（，） 故答案为：（，） 三、解答题 17已知等差数列an的公差为d，Sn是数列an的前n项和，等比数列bn的公比为q（q1），Tn是数列 bn的前n项和，a3+b30，b11，T33，dq （1）求数列bn的通项公式； （2）是否存在正整数 ，使得关于k的不等式 （30+Sk）10 有解？若 存在，求出 的值；若 不存在，说明理由 【分析】（1）由b11，T33 列式求得等比数列的公比，即可求得数列bn的通项公式； （2）由（1）结合已知求得等差数列an的首项与公差，得到前n项和，把 （30+Sk）10 转化为 有解，求的最大值，则正整数 值可求 解：（1）由b11，得q2 或q1（舍去）
27、， ； ana8+2（n3）2n10，则a18， （30+Sk）10 有解，即有解， 故存在 8，使得关于k的不等式 （30+Sk）10 有解 18如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为 4 的等边三角形，PAAC，BDCD2，PCPB4， 点E为BC的中点，平面BDC平面ABC （1）求证：DE平面PAC （2）线段BC上是否存在一点T，使得二面角TDAB为直二面角？若存在，试指出点T的位置；若不 存在，请说明理由 【分析】（1）推导出BDC是等腰直角三角形，BDC90，得到DEBC，进而得到DE平面ABC， 推导出PAB与PAC都是直角三角形，得到PAAC，PAAB，进而得到PA平面A
28、BC，DEPA，由此 能证明DE平面PAC （2）连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角TDAB为直二面角 解：（1）证明：因为，ABC是边长为 4 的等边三角形， 所以， 又点E为BC的中点，所以DEBC 所以DE平面ABC 所以PA 2+AC252+4332PC2，PA2+AB222+4232PB2， 故PAAC，PAAB 因为PA平面PAC，DE平面PAC， （2）解：连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴， 则，B（2，0，0），C（2，0，5），D（
29、0，0，2）， 设平面BAD的法向量为， 得，令z41，得x1x11， 设平面TAD的法向量为， 得，令z21，得，故 所以当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角TDAB为直二面角 19如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，短轴长为 4 （1）求椭圆C的方程； （2）若与原点距离为 1 的直线l1：ykx+m与椭圆C相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆C 相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）记MAB，OAB的面积分别为S1，S2若S1S2，求实数 的 取值范围 【分析】（1）利用椭圆的离心率以及短轴长求出a，b，然后求解椭圆C的方程 （2）原点与直线l1：ykx+
30、m的距离为 1，推出，设直线l2：ykx+n，由， 利用韦达定理，结合平行线之间的距离求解三角形的面积，然后转化求解实数 的取值范围 解：（1）椭圆的离心率为，短轴长为 4， 所以，b2， 解得a 25，c21， （2）因为原点与直线l1：ykx+m的距离为 1， 设直线l2：ykx+n，由， 因为直线l2与椭圆C相切， 整理得n 25k2+4， 所以， 又， 又O，M位于直线l1的两侧，所以m，n同号， 故实数 的取值范围为 202019 年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻 10 月 21 日至 22 日首次公开测产，经测 产专家组评定，最终亩产为 1046.3 千克第三代杂
31、交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加 优质、高产、绿色和可持续方向发展某企业引进一条先进的年产量为 100 万件的食品生产线，计划以 第三代杂交水稻为原料进行深加工已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值k（k70，100） 为衡量标准，其产品等级划分如表为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取 了 1000 件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如图的产品质量指标值的频率分布直方图 质量指标值k 90k100 85k90 80k85 75k80 70k75 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 （1）若从质量指标值不小于 5 的产品中，采用分层抽样的方法抽取
32、7 件产品，然后从这 7 件产品中任取 3 件，求产品的质量指标值k90，95）的件数X的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的产品中至少有 1 件是合格及以上 等级”为事件A求事件A发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值k与利润y（单位：元）的关系如表所示；（1t4） 质量指标值k 90k100 85k90 80k85 75k80 70k75 利润 e t t 3t 5t 3t 试确定t的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln20.7，ln31.1， ln51.6） 【分析】（1）推出质量指标值k90，95）的件
33、数X的所有可能取值为 0，1，2，求出概率，得到分布 列，然后求解期望 （2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为p，然后利用独立事件的概率求解即可 （3）推出每件产品的利润y0.3e t+1.5t，通过函数的导数，转化求解最大值即可 解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于 85 的产品中，k85，90）的频率为 0.085 0.4；k90，95）的频率为 0.0470.2；k95，100的频率为 0.0250.1 故利用分层抽样的方法抽取的 7 件产品中，k85，90）的有 7 件，k90，95）的有 2 件，k95， 100的有 1 件 则； X 0 1 2 P 故
34、则 质量指标值k 90k100 85k90 80k85 75k80 70k75 利润 e t t 3t 5t 3t P 0.3 0.4 0.15 0.1 0.05 故每件产品的利润y（e t）0.4+t0.4+3t0.15+3t0.1+3t0.056.3et+1.5t， 故当t（1，ln5）时，y0，当t（ln6，4）时，y0， 所以当tln51.6 时，每件产品的利润取得最大值，为 0.9 元 由已知，该生产线的年产量为 100 万件，所以该生产线的年盈利的最大值为 0.910090（万元） 21已知函数f（x） （1）当m时，求函数f（x）的最小值； （2）若me 22，g（x） ，求证：
35、f（x）g（x） 【分析】（1）当时，对f（x）求导后，构造函数u（x）e xex（x0）， 再次求导后，可推出u（x）的单调性与最小值，以此来判断f（x）与 0 的大小关系，从而得f（x）的 单调性与最小值 （2）构造函数F（x）f（x）g（x），求导后，分 0 x1 和x1 两大类讨论F（x）的单调性与最 大值；当 0 x1 时，易得F（x）单调递增，F（x）maxF （1）0；当x1 时，先将F（x）变形为 ，再构造函数，然后结合隐零点的思 维可证得F（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，其中x0（1，2，F（x）max ；又一次构造函数，x（1，2，求出其最大值后即
36、可得证 解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+）， 当时，则 令u（x）2，得 0 x1；令u（x）0，得x1， u（x）u（6）0，即对任意x（0，+），e xex0 恒成立 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， （2）证明：令，则， 当 6x1 时，F（x）0，F（x）单调递增， F（x）F（1）me0，即f（x）g（x），符合题意； 当x1 时， 令， me 32， ， 则有 0， F（x）有唯一的极大值点x0，x0（1，2 （x）在（1，2上单调递增，（x）（5）ln21， 综上所述，f（x）g（x） 选考题选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系x
37、Oy中直线l的参数方程为（t为参数，0，）以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 （1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程； （2）设点P（x0，y0）圆心C（2x0，2y0），若直线l与圆C交于M，N两点，求的最大值 【分析】（1）直接利用转换关系，把圆的极坐标方程和普通方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数的关系式和三角函数的关系式的变换，求出结果 解：（1）圆C的极坐标方程为， 所以 所以， （3）由（1）知圆C的圆心的直角坐标为， 所以直线l的参数方程为（t为参数，0，） 得 则，t1t212， 因此，当时，取得最大值为 选修 4-5：不等
38、式选讲 23已知函数f（x）|ax3|，不等式f（x）2 的解集为x|1x5 （1）解不等式f（x）2f（x+1）1； （2）若m3，n3，f（m）+f（n）3，求证： 【分析】（1）利用不等式f（x）2 的解集为x|1x5，说明x1 和x5 是方程f（x）|ax 3|2 的解，求出a，然后转化不等式f（x）2f（x+1）1 为|x3|2|x2|1，通过分类讨论转 化求解即可 （2）化简f（m）+f（n）3，得到m+n9利用基本不等式证明即可 【解答】（1）解：因为不等式f（x）2 的解集为x|1x5，则x1 和x6 是方程f（x）|ax 3|2 的解， 即，所以实数a的值为 1 则或或， 所以原不等式的解集为 即m+n6 当且仅当，即m3，n6 时取等号