1、第第 22 章章 二次函数二次函数 单元综合测试单元综合测试 一选择题一选择题 1若 y（m+1）是二次函数，则 m 的值为（ ） A2 B1 C1 或 2 D以上都不对 2抛物线 y5（x2）23 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 3下列各函数中，x 逐渐增大 y 反而减小的函数是（ ） Ayx Byx Cyx2 Dy4x1 4已知二次函数 yx2+（a+2）x+a（a 为常数）的图象顶点为 P（m，n） ，下列说法正确的 是（ ） A点 P 可以在任意一个象限内 B点 P 只能在第四象限 Cn 可以等于 Dn1 5对于二次函数 y2（x+3
2、）2的图象，下列说法不正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是直线 x3 C顶点坐标为（3，0） D当 x3 时，y 随 x 的增大而减小 6 已知抛物线 yx2+mx+2m， 当 x1 时， y 随 x 的增大而增大， 则抛物线的顶点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7若二次函数 yax2+bx1 的最小值为2，则方程|ax2+bx1|2 的不相同实数根的个数 是（ ） A2 B3 C4 D5 8竖直上抛物体离地面的高度 h（m）与运动时间 t（s）之间的关系可以近似地用公式 h 5t2+v0t+h0表示，其中 h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体
3、抛出时的 速度某人将一个小球从距地面 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的 离地面的最大高度为（ ） A23.5m B22.5m C21.5m D20.5m 9 已知函数yx2+x1在mx1上的最大值是1， 最小值是， 则m的取值范围是 （ ） Am2 B0m C2m Dm 10 已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 有下列 5 个结论： abc0； 4a+2b+c 0；（a+c）2b2；2c3b；a+bm（am+b） （m1 的实数） 其中正确的结论 有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二填空题二填空题 11要得到函数 y2（x
4、1）2+3 的图象，可以将函数 y2x2的图象向 平移 1 个单 位长度，再向上平移 3 个单位长度 12当1x3 时，二次函数 yx24x+5 有最大值 m，则 m 13二次函数 yx2+2x4 的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 14一段抛物线 L：yx（x3）+c（0 x3）与直线 l：yx+2 有唯一公共点，则 c 的取 值范围为 15已知函数 yx2+bx+2b（b 为常数）图象不经过第三象限，当5x1 时，函数的最大 值与最小值之差为 16，则 b 的值为 16如图，平面直角坐标系中，点 A（3，3） ，B（1，1） ，若抛物线 yax2+2x1 （a0）与线段 AB（包含 A、B 两
5、点）有两个不同交点，则 a 的取值范围是 17如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，2） ，点 B 的坐标为（4，2） 若抛物 线 y（xh）2+k（h、k 为常数）与线段 AB 交于 C、D 两点，且 CDAB，则 k 的值为 18二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x 2，下列结论：4a+b0；9a+c3b；，3a+c0；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大；4a+2bam2bm（m 为任意实数） 其中正确的结论有 （填 序号） 三解答题三解答题 19已知二次函数的图象的顶点坐本标为（3，2）且与 y 轴交与（0，） （
6、1）求函数的解析式，并画出它的图象； （2）当 x 为何值时，y 随 x 增大而增大 20在平面直角坐标系中，抛物线 L1：yax2+bx+3 经过点 A（3，0） 、B（1，0） ，顶点 为 D （1）求抛物线 L1的函数表达式及顶点 D 的坐标； （2）将抛物线 L1平移后的得到抛物线 L2，点 A 的对应点为 A，点 D 的对应点为 D，且 点 A、D都在 L2上，若四边形 AADD 为正方形，则抛物线 L1应该如何平移？请写出解 答过程 21已知抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为直线 x1 （1）若抛物线顶点在 x 轴上，且过（0，1） ，求抛物线的函数解
7、析式； （2）若抛物线不过第三象限，求的取值范围； （3）若抛物线过点（1，1） ，当 0 x1 时，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4， 求 a 的值 22已知，点 P 为二次函数 y（xm）22m+1 图象的顶点，直线 ykx+2 分别交 x 轴 的负半轴和 y 轴于点 A，点 B （1）若二次函数图象经过点 B，求二次函数的解析式； （2）如图，若点 A 坐标为（4，0） ，且点 P 在 AOB 内部（不包含边界） 求 m 的取值范围； 若点，都在二次函数图象上，试比较 y1与 y2的大小 23 攀枝花得天独厚， 气候宜人， 农产品资源极为丰富， 其中晚熟芒果远销北上广等大城市 某
8、 水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为 10 元/千克，售价不低于 15 元/千克，且不超过 40 元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量 y（千克）与该天的售价 x （元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系 销售量 y（千克） 32.5 35 35.5 38 售价 x（元/千克） 27.5 25 24.5 22 （1）求芒果一天的销售量 y 与该天售价 x 之间的一次函数关系式，写出 x 的取值范围 （2）设某天销售这种芒果获利 m 元，写出 m 与售价 x 之间的函数关系式如果水果店 该天获利 400 元，那么这天芒果的售价为多少元？ 24如图，已知抛物线与 x 轴交于
9、 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ， 抛物线的顶点为 P，连接 AC （1）求此抛物线的表达式； （2）在抛物线上找一点 D，使得 DC 与 AC 垂直，且直线 DC 与 x 轴交于点 Q，求 D 的 坐标； （3） 抛物线对称轴上是否存在一点 M， 使得 S MAP3S ACP， 若存在， 求出 M 点坐标； 若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 1解：y（m+1）是二次函数， m+10 且 m2m2， 解得：m2， 故选：A 2解：抛物线 y5（x2）23， 顶点坐标为： （2，3） 故选：A 3解：函数 yx 中，y 随 x 的增大而增大，故选项 A
10、不符合题意； 函数 yx 中，y 随 x 的增大而减小，故选项 B 符合题意； 函数 yx2，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 不符合题意； 函数 y4x1 中，y 随 x 的增大而增大，故选项 D 不符合题意； 故选：B 4解：二次函数 yx2+（a+2）x+a（a 为常数）的图象顶点 P（m，n） ， ， a20， a2+44， ， 故选：D 5解：二次函数 y2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（3，0） ，对称轴为直线 x 3，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大， 故 A、B、C 正确，D 不正确， 故选：D 6解：抛物
11、线 yx2+mx+2m（x）2+2m，当 x1 时，y 随 x 的增大而增 大， 该抛物线的对称轴是直线 x，开口向下， 1， 即 m2， +2m0， 该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限， 故选：A 7解：由题意可知，二次函数 yax2+bx1 的图象开口向上，经过定点（0，1） ，最小 值为2， 则二次函数 yax2+bx1 的大致图象如图 1 所示， 函数 y|ax2+bx1|的图象则是由二次函数 yax2+bx1 位于 x 轴上方的图象不变， 位于 x 轴下方的图象向上翻转得到的，如图 2 所示， 由图 2 可知，方程|ax2+bx1|2 的不相同实数根的个数是 3 个， 故选：B 8
12、解：由题意可得， h5t2+20t+1.55（t2）2+21.5， 因为 a50， 故当 t2 时，h 取得最大值，此时 h21.5， 故选：C 9解：函数 yx2+x1 的对称轴为直线 x， 当 x时，y 有最小值，此时 y1， 函数 yx2+x1 在 mx1 上的最小值是， m； 当 x1 时，y1+111，对称轴为直线 x， 当 x1（）2 时，y1， 函数 yx2+x1 在 mx1 上的最大值是 1，且 m； 2m 故选：C 10解：由图象可知：a0，c0， 0， b0， abc0，故此选项错误； 由对称知，当 x2 时，函数值大于 0，即 y4a+2b+c0，故此选项正确； 当 x1
13、 时，yab+c0；当 x1 时，ya+b+c0， （ab+c） （a+b+c）0，即（a+c）2b20， （a+c）2b2，故此选项错误； 当 x3 时函数值小于 0，y9a+3b+c0，且 x1， 即 a，代入得 9（）+3b+c0，得 2c3b，故此选项正确； 当 x1 时，y 的值最大此时，ya+b+c， 而当 xm 时，yam2+bm+c， 所以 a+b+cam2+bm+c， 故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b） ，故此选项正确 故正确 故选：B 11 解： 抛物线 y2x2的顶点坐标是 （0， 0） ， 抛物线线 y2 （ x1） 2+3 的顶点坐标是 （1， 3） ，
14、 所以将顶点（0，0）向右平移 1 个单位，再向是平移 3 个单位得到顶点（1，3） ， 即将将函数 y2x2的图象向右平移 1 个单位， 再向上平移 3 个单位得到函数 y2 （x1） 2+3 的图象 故答案为右 12解：二次函数 yx24x+5（x2）2+1， 该函数开口向上，对称轴为 x2， 当1x3 时，二次函数 yx24x+5 有最大值 m， 当 x1 时，该函数取得最大值，此时 m（12）2+110， 故答案为：10 13解：yx2+2x4（x+1）25， 该函数图象的对称轴是直线 x1，顶点坐标为（1，5） ， 故答案为：直线 x1， （1，5） 14解：抛物线 L：yx（x3）
15、+c（0 x3）与直线 l：yx+2 有唯一公共点， 如图 1，抛物线与直线相切， 联立解析式， 得 x22x+2c0， （2）24（2c）0， 解得：c1， 如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0 x3 上只有一个交点， 此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5） ， 2c5， 综上，c 的取值范围是 2c5 或 c1， 故答案为 2c5 或 c1 15解：yx2+bx+2b（x+）2+2b， 对称轴 x， 当 b0 时，函数不经过第三象限，则 2b0， b0， 此时 yx2，当5x1 时，函数最小值是 0，最大值是 25， 最大值与最小值之差为 25； （舍去） 当 b0 时，函数不经过第
16、三象限，则 0， b28b0， 0b8， 40， 当5x1 时，函数有最小值+2b， 当52 时，函数有最大值 1+3b， 当20 时，函数有最大值 253b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 当最大值 1+3b 时，1+3b+2b16， b6 或 b10， 4b8， b6； 当最大值 253b 时，253b+2b16， b2 或 b18， 0b4， b2； 综上所述 b2 或 b6， 故答案为 b2 或 b6 16解：a0 时，x1 时，y1，x3 时，y3， 即 a2； a0 时，x3 时，y3，x1 时，y1， 即 a， 点 A、B 的坐标得，直线 AB 的解析式为 yx， 抛物线与
17、直线联立：ax2+2x1x， ax2+x+0， 2a0， a， a 的取值范围为a或 a2； 故答案为a或 a2 17解：点 A 的坐标为（0，2） ，点 B 的坐标为（4，2） ， AB4， 抛物线 y（xh）2+k（h、k 为常数）与线段 AB 交于 C、D 两点，且 CDAB 2， 设点 C 的坐标为（c，2） ，则点 D 的坐标为（c+2，2） ，hc+1， 抛物线 2c（c+1）2+k， 解得，k 18解：抛物线过点（1，0） ，对称轴为直线 x2， 因此可得，抛物线与 x 轴的另一个交点为（5，0） ，ab+c0，x2，即 4a+b 0，因此正确； 当 x3 时，y9a3b+c0，
18、即 9a+c3b，因此不正确； 当 x5 时，y25a+5b+c0，又 b4a，所以 5a+c0，而 a0，因此有 3a+c0， 故正确； 在对称轴的左侧，即当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，因此不正确； 当 x2 时，y最大4a+2b+c，当 xm 时，yam2+bm+c，因此有 4a+2bam2+bm，故 正确； 综上所述，正确的结论有：， 故答案为： 19解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x3）22， 将（0，）代入 ya（x3）22 得， a， 函数解析式为 y（x3）22， 即函数的解析式为 yx23x+； 画出函数图象如图： （2）由图象可知，当 x3 时，y 随 x 增
19、大而增大 20解： （1）抛物线 L1：yax2+bx+3 经过点 A（3，0） 、B（1，0） ， ， 解得， 抛物线 L1的函数解析式为 yx2+2x+3， yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 D 的坐标是（1，4） ； （2）作 DMx 轴于 M，DNDM 于 N，如图， A（1，0） ，D（1，4） ， AM2，DM4， 在正方形 AADD 中，ADDD，ADD90 ， ADM+DDN90 ， 在 Rt ADM 中，ADM+DAM90 ， DAMDDN， AMDDND90 ， ADMDDN（AAS） ， DNAM2，DNDM4， MNDMDN422， 点 D的坐标是（5，2） ，
20、点 D 到 D是先向右移动 4 个单位，再向下移动 2 个单位得到的， 抛物线 L1先向右移动 4 个单位，再向下移动 2 个单位得到抛物线 L2； 同理，当抛物线 L1向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位时得到抛物线 L2也符合题 意， 综上，当抛物线 L1先向右移动 4 个单位，再向下移动 2 个单位得到抛物线 L2或当抛物 线 L1向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位时得到抛物线 L2其对应点构成的四边形 AADD 为正方形 21解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为直线 x1 1， b2a， 抛物线顶点在 x 轴上，且过（0，1）
21、， 0，c1 0， 1a0，解得 a1， b2， 抛物线的函数解析式为 yx22x1； （2）抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为直线 x1，且抛物线 不过第三象限， 抛物线开口向上，不交于 y 轴的负半轴，1， a0，c0，0，b2a， ca， 1； （3）对称轴为直线 x1，抛物线过点（1，1） ， 该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：ya（x+1）21， 当 0 x1 时，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4，而顶点到 x 轴的距离为 1， x1 时，该点的 y 坐标为 4 或4，即该点坐标为（1，4）或（1，4） ， 将点（1，4）或（1，4） ，代入
22、函数表达式得：4a（1+1） 21 或4a（1+1）21， 解得：a或 22解 （1）直线 ykx+2 分别交 x 轴的负半轴和 y 轴于点 A，点 B， 当 x0 时，y2，即 B（0，2） ， 将 B（0，2）代入二次函数得：m22m+12， 解得：m1m21， 二次函数的解析式为 y（x+1）2+3； （2）将 A（4，0）代入 ykx+2 得：4k+20， 一次函数的解析式为， 顶点 P（m，2m+1） ，点 P 在 AOB 内部， ， 解得：； 二次函数开口朝下，对称轴为 xm， 又点 C（，y1） ，D（，y2）都在二次函数图象上， 点 C 和点 D 的横坐标中点为， 点 C 离对
23、称轴比点 D 离对称轴远，开口朝下的抛物线上的点离对称轴越远的点对应的 函数值越小， y1y2 23解： （1）设一次函数关系式为 ykx+b（k0） ，将表中数据代入得： ， 解得： yx+60（15x40） （2）由题知 my（x10） （x+60） （x10） x2+70 x600， 当 m400 时，x2+70 x600400， 整理得：x270 x+10000， 解得：x120，x250 15x40， x20 这天芒果的售价为 20 元 24解： （1）设此抛物线的解析式为：ya（xx1） （xx2） ， 抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点， ya（x+1） （x
24、3） ， 又抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ， a（0+1） （03）3， a1， y（x+1） （x3） ， 即 yx22x3； （2）点 A（1，0） ，点 C（0，3） ， OA1，OC3， DCAC， DCO+OCA90 ， OCx 轴， COACOQ90 ，OAC+OCA90 ， DCOOAC， QOCCOA， ，即， OQ9， 又点 Q 在 x 轴的正半轴上， Q（9，0） ， 设直线 QC 的解析式为：ymx+n，则，解得， 直线 QC 的解析式为：yx3， 点 D 是抛物线与直线 QC 的交点， ，解得， 点 D（，） ； （3）存在，理由： 如图，点 M 为直线 x1
25、上一点，连接 AM，PC，PA， 设点 M（1，y） ，直线 x1 与 x 轴交于点 E， E（1，0） ， A（1，0） ， AE2， 抛物线 yx22x3 的顶点为 P，对称轴为 x1， P（1，4） ， PE4， 则 PM|y+4|， S四边形AEPCS四边形OEPC+S AOC 1 （3+4）+ 1 35， 又S四边形AEPCS AEP+S ACP， S AEPAE PE 2 44， S ACP541， S MAP3S ACP， 12 2 |y+4|2 1， |y+4|2， y11，y27， 故抛物线的对称轴上存在点 M 使 S MAP3S ACP，点 M 的坐标为（1，1）或（1， 7）