1、第四章第四章 图形的相似图形的相似 尖子生训练题尖子生训练题 一选择题 1下列各组线段能成比例的是（ ） A0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm B1cm，2cm，3cm，4cm C4cm，6cm，8cm，3cm Dcm，cm，cm，cm 2若两个相似三角形的面积之比为 1：4，则它们的周长之比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：1 3如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（ ） A3：2 B3：1 C1：1 D1：2 4如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止记 PAx，点D到直线P
2、A的距离为y，则y关于x的函数解析式是（ ） Ay12x B C D 5如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DEBC，若AD1，BD2，则的值 为（ ） A B C D 6如图，在正ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AEBE，则有（ ） AAEDABC BADBBED CBCDABC DAEDCBD 7如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE 3EC，作EFAB交BC于点F，量得EF6m，则AB的长为（ ） A30m B24m C18m D12m 8 如图， 等边ABC的边长为 3，P为BC上一点， 且BP1，D为AC上一点， 若A
3、PD60， 则CD的长是（ ） A B C D 9如图，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，则下列各式正确的是（ ） AD2BDDC；CD2CFCA；DE2AEAB；AEABAFAC A B C D 10如图，菱形ABCD中，ABAC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AEBF，连接CE、 AF交于点H，则下列结论：ABFCAE；AHC120；AEHCEA；AE ADAHAF；其中结论正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题 11已知ADEABC，且相似比为，若DE4cm，则BC的长为 12如图，已知在ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，D
4、EBC，EFAB， 且AD：DB3：5，那么CF：CB等于 13在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，3），ABO是 ABO关于点A的位似图形，且点O的坐标为（1，0），则点B的坐标为 14如图，以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF，若ADOA，则ABC与DEF的面 积之比为 15如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为 8cm2、32cm2、18cm2，则ABC的面积为 cm2 三解答题 16在等腰三角形ABC中，ABAC，ADBC于点D，CFAB，P为AD上一点，连结并延长 BP交AC于点E，交CF于点F，求证： （1
5、）ABPACP； （2）BP2PEPF 17 如图， 在平面直角坐标系中， 已知ABC的三顶点坐标分别为A（2， 1） ，B（1， 4） ， C（3，2） （1）请画出ABC向右平移 3 个单位长度后得到的A1B1C1 （2） 以原点O为位似中心， 相似比为 2： 1， 在第四象限内， 画出ABC放大后的A2B2C2 18小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小 亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、小颖的头部B及小亮的眼睛 A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD 2m， 小颖与教学楼之间的距离DN38
6、m， （C、D、M在同一直线上） ， 小颖的身高BD1.6m， 小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离AC1m请你根据以上测量数据帮助他们求出教学楼 的高度 19在 RtABC中，A90，AB8，AC6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A 为止，速度是每秒 2 个单位；动点E从点A出发，沿线段AC运动，每秒 1 个单位，两点 同时出发，运动多长时间，ADE与ABC相似？ 20在ADB和AEC中，ADAE，DAE，AECADB90，BDkCE，延长ED 交BC于点F （1）如图 1，当k1 时，是否存在与BF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明； 若不存在，说明理由 （2） 如图 2， 当k1
7、时， 猜想并证明EC，ED，EF的数量关系 （用含k， 的式子表示） 参考答案 一选择 1解：A、因为 0.20.20.10.4，所以 0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm成比例，所以A 选项正确； B、因为 1424，所以 1cm，2cm，3cm，4cm不成比例，所以B选项错误； C、因为 4683，所以 4cm，6cm，8cm，3cm不成比例，所以C选项错误； D、因为，所以cm，cm，cm，cm不成比例，所以D选项 错误 故选：A 2解：两个相似三角形的面积之比为 1：4， 它们的相似比为 1：2， 它们的周长之比为 1：2 故选：A 3解：ABCD，故ADBC， DEFBCF，
8、 ， 点E是边AD的中点， AEDEAD， 故选：D 4解：矩形ABCD中，ADBC， DAEAPB， BAED90， ABPDEA， ， ， y 故选：B 5解：AD1，DB2， ABAD+BD1+23， DEBC， ADEABC， 故选：B 6解：ABC是等边三角形， ABBCAC，AC， 设ADx，AC3x， 则BC3x，CD2x， AEBEx， ， ， AEDCBD； 故选：D 7解：EFAB， CEFCAB， ， AB4EF24m， 故选：B 8解：ABC为等边三角形， BC60， 又APD+DPCB+BAP，且APD60， BAPDPC， ABPPCD， ， ABBC3，BP1，
9、PC2， ， CD 故选：C 9解：ADB与CDA不能确定相似， 不能确定，故错误； ACDDCF，ADCDFC90， ADCDFC， ， CD2CACF，故正确； BDE+ADEB+BDE90， BADE， BEDDEA90， BEDDEA， ， DE2AEBE，故错误； EADDAB，AEDADB90， ABDADE， ， AD2AEAB， 同理可证AD2AFAC， AEABAFAC，故正确 故选：C 10解：四边形ABCD是菱形， ABBC， ABAC， ABBCAC， 即ABC是等边三角形， 同理：ADC是等边三角形 BEAC60， 在ABF和CAE中， ， ABFCAE（SAS）；
10、故正确； BAFACE， AEHB+BCE， AHCBAF+AEHBAF+B+BCEB+ACE+BCEB+ACB60+60 120 故正确； BAFACE，AECAEC， AEHCEA， 故正确； 在菱形ABCD中，ADAB， AEHCEA，ABFCAE， AEHAFB， ， ， AEADAHAF， 故正确， 故选：D 二填空题（共 5 小题） 11解：ADEABC，且相似比为，DE4cm， ， 即 解得，BC10， 故答案为：10cm 12解：DEBC， AE：ECAD：DB3：5， CE：CA5：8， EFAB， CF：CBCE：CA5：8 故答案为 5：8 13解：过点B作BEOA与点E
11、，过点B作BEOA于点E， ABO是ABO关于点A的位似图形， OABABO， ， 解得：BE4， 由题意可得：OBEOBE， 则， 故， 解得：OE， OE， 点B的坐标为：（，4） 故答案为：（，4） 14解：以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF，ADOA， AB：DEOA：OD1：2， ABC与DEF的面积之比为：1：4 故答案为：1：4 15解：DEFGBC， AEDEGFGCI， GIEFAB， AFEGIGC， ADEEFGGICABC， ADE、EFG、GIC的面积分别为 8cm2、32cm2、18cm2， AE：EG：GC2：4：3， AE：AC2：9， SABCSADE8
12、162 故答案为：162 三解答题（共 5 小题） 16解：（1）证明： ABAC，ADBC， AD是ABC的对称轴 PCPB，PCEABP 在ABP和ACP中， ABP和ACP， （2）CFAB， PFCABP（两直线平行，内错角相等）， PCEPFC 又CPEEPC， EPCCPF （相似三角形的对应边成比例） PC2PEPF PCBP BP2PEPF 17解：（1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作 18解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F 由已知可得FNEDAC1m，AECD2m，EFDN38m， AEBAFM90 又BAEMAF， ABEAMF ，即，
13、 解得MF12m MNMF+FN12+113（m） 教学楼的高度为 13m 19解：ADE 与ABC相似， 或 设运动的时间是t秒， 则AEt，AD82t 或，解得t或 经过t12/5 或 32/11 秒两个三角形相似 20解：（1）结论：BFFC理由如下， 如图 1 中，作CMEF于M，BNEF于N AEAD， AEDADE， ADBAEC90， ADE+BDN90，CEM+AED90， CEMBDN， k1，BDkEC， BDEC， BNEF，CMEF， NCME90，NBCM， 在BDN和CEM中， ， BDNCEM， BNCM， 在CFM和BFN中， ， CFMBFN， BFCF （2）结论：2ECcos+ED（k+1）EF 如图 2 中，作AHEF于H，CMEF于M，BNEF于N 由（1）可知BDNMEC，EMCBND， BDNCEM， k， CMBN， k， MFMN， AEAD，AHED， HAEHAD， EAH+AEH90，AEH+CEM90， BDNCEM， EMECcos，DNBDcos， ENED+DNED+BDcos， MNENEMED+kECcosECcos， FM（ED+kECcosECcos）， EFEM+FMECcos+（ED+kECcosECcos）， EFECcos+ED， 2kECcos+ED（k+1）EF