1、 第 1 页 共 9 页 华二附中高三月考数学试卷华二附中高三月考数学试卷 2020.09 一一. 填空题填空题 1. 已知集合0,1,2,3A ， |1| 0Bxx，则AB U 2. 若复数z满足i1 iz ，则复数z的虚部为 3. 若 2 sin 3 x ，则cos2x 4. 二项式 10 (1)x的展开式中 5 x的系数为 5. 记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 2a ， 26 2aa，则 10 S 6. 若x、y满足约束条件 1 1 21 xy xy xy ，则2zxy的最大值是 7. 圆锥的母线长为 10cm，高为 8cm，它的侧面展开图的中心角为 弧度 8. 已知方程
2、9 |10 x xax 恰有 3 个解，则a的取值范围为 9. 已知点F为椭圆 22 :1 43 xy 的左焦点， 点P为椭圆上任意一点， 点O为坐标原点， 则OP FP uu u r uur 的最大值为 10. 有五张写有 1、2、3、4、5 的卡片，每次抽取 1 张记好数字后放回，这样抽 4 次，则抽 到的最大数与最小数的差小于 4 的概率是 11. 已知,1,3x y，4xy，则 11 |xy yx 的最大值为 12. 在ABC中， 1 2 BDDC uuu ruuu r ，AEEB uuu ruur ，点F为ADC内（包括边界）任意一点， 若EFEBED uuu ruuruuu r ，
3、则2的取值范围为 二二. 选择题选择题 13. 已知空间向量 111 ( ,)ax y z r 和 222 (,)bxyz r ，设 12 1 12 xx D yy 和 12 2 12 xx D zz ，则 “a r b r ”是“ 12 0DD”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知 2 ( )4f xx 的反函数为 12 ( )4fxx ，则( )f x的定义域为（ ） A. ( 2,0) B. 2,2 C. 2,0 D. 0,2 15. 运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个
4、 第 2 页 共 9 页 平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面 半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图 1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖 去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体 （如图 2） ， 用任何一个平行于底面的平面去截它们时， 可证得所截得的两个截面面积相等， 由此可证明 新几何体与半球体积相等， 现将椭圆 22 1 916 xy 绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体 （如 图 3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ） 图 1 图 2 图 3 A. 64 B. 48 C. 16 D. 3
5、2 16. 已知数列 n a满足 2 1 34 nnn aaa ， 1 3a ，则下列选项错误的是（ ） A. 数列 n a单调递增 B. 不存在正数M，使得| n aM恒成立 C. 1 11 lim()1 11 n n aa D. 100 101a 三三. 解答题解答题 17. 如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD 底面ABCD，设平面PAD与平面 PBC的交线为l. （1）证明：l 平面PDC； （2）已知1PDAD，Q为l上的点，求PB与 平面QCD所成角的正弦值的最大值. 第 3 页 共 9 页 18. 已知函数 4 ( ) 31 x f xa （a为实常数）. （1）讨论函数(
6、 )f x的奇偶性，并说明理由； （2）当( )f x为奇函数时，对任意的1,5x，不等式( ) 3x u f x 恒成立， 求实数u的最大值. 19. 今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离，现某地 发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围 成一个封闭的隔离区，经测量，边界AB与AD的长都是 200 米，60BAD， 120BCD. （1）若105ADC，求BC的长；（结果精确到米） （2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米） 第 4 页 共 9 页 20. 已知抛物线 2 :2C ypx（0p
7、）的焦点为F，直线l过点F且与C相交于A、B 两点，当直线l的倾斜角为 4 时，| 8AB . （1）求C的方程； （2）若点P是抛物线上A、B之间一点，当点P到直线l的距离最大时，求ABC面积的 最小值； （3） 若AB的垂直平分线 l 与C相交于M、N两点， 且A、M、B、N四点在同一圆上， 求l的方程. 21. 在无穷数列 n a中， 21 | nnn aaa ， 1 a、 2 a是给定的非零整数. （1）若 16 4a ， 17 1a，求 2021 a； （2）证明：数列 n a中必存在0 k a 的项； （3）证明：数列 n a中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列. 第 5 页
8、 共 9 页 参考答案参考答案 一一. 填空题填空题 1. R 2. 1 3. 1 9 4.252 5. 25 6. 8 7. 6 5 8. 6a 9. 6 10. 431 625 11. 2 3 2 3 12. 8, 1 【第【第 10 题解析】题解析】 44 4 423431 5625 P （所选的数字均来自 1，2，3，4 或者 2，3，4，5 的 情况，再去掉重复的部分所选的数字均来自 2，3，4 的情况） 【第【第 11 题解析】题解析】 2 111111 2xyxyxy yxyxyx 111141 2222422 xy xyxyxyxyxy xyxyxyxyxyxy （*） 令(4
9、),3,4txyxx t，则（*）式 41 422t tt ，其在3,4t上单调递减， 当3t 时，即1,3xy或3,1xy时，（*）式取得最大值， 11 xy yx 的最大值为 2 3 2 3 【第【第 12 题解析】题解析】记2EDEG ， 从而2EFEBEDEBEG， 于是由“等系数和线”知识， 当F位于直线BG上时，21； 当F为点A时，2取得最大值1此时0EAEBED ，1,0 ； 当F为点C时，2取得最小值8此时2ECEDDCEDBD 2()23EDEBEDEBED ，2,3 ； 从而，可知2的取值范围为 8, 1 二二. 选择题选择题 13. A 14. D 15. B 16.
10、D 第 6 页 共 9 页 【第【第 15 题解析】题解析】由“祖暅原理”，易得该几何体的体积为底面半径为 3，高为 8 的圆柱的体 积的 2 3 ，其体积 2 2 3848 3 V，选 B 【第【第 16 题解析】题解析】 2 1 37 24 nn aa ，又 1 3a ，易得数列 n a单调递增， 且n ， n a ， 1 lim0 2 n n a ，又 11 1111111 2(1)(2)21122 nnnnnnnn aaaaaaaa ， 111 1111 limlim1 1122 nn nn aaaa ，故 A、B、C 均正确，选 D 三三. 解答题解答题 17.（1）证明略； （2）
11、 6 3 . 【解析】 （1）PD 底面ABCD，AD 底面ABCD，PDAD 又底面ABCD是正方形，ADDC， PDDCDI，AD 平面PDC， ADBC，AD 平面PBC，AD平面PBC， AD 平面PAD，平面PADI平面PBCl，lAD，l 平面PDC （2） 以D为坐标原点，DA uuu r 的方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则(0,0,0)D，(0,1,0)C，(1,1,0)B，(0,0,1)P，(0,1,0)DC uuu r ，(1,1, 1)PB uur ， 由（1）可设( ,0,1)Q a，则( ,0,1)DQa uuu r ， 设( , , )
12、nx y z r 是平面QCD的法向量，则 0, 0, n DQ n DC r uuu r r uuu r 即 0, 0 axz y 可取( 1,0, )na r ， 2 1 cos, | |31 n PBa n PB nPBa r uur r uur ruur， 设PB与平面QCD所成角为，则 2 2 3|1|32 sin1 331 1 aa a a ， 第 7 页 共 9 页 2 326 1 313 a a ，当且仅当1a 时等号成立， PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 6 3 18.（1）当2a 时，( )f x既不是偶函数， 也不是奇函数； 当2a 时，( )f x是奇函数；
13、（2） max 3u. 【解析】 （1）当2a 时，(1)1, ( 1)3fafa，( 1)(1)ff，且( 1)(1)ff ， 于是此时函数( )f x既不是偶函数，也不是奇函数； 当2a 时， 44 ( )()2240 3131 xx f xfxaa ，即()( )fxf x ， 此时函数( )f x是奇函数 （2）( )f x是奇函数，由（1）知2a ，从而 4 ( )2 31 x f x ， 由不等式( ) 3x u f x ，得 4 3 2 3 31 x x x u ， 令314,244 x t （1,5x ） ， 4(1)2 2(1)2()6 t utt tt ， 函数 2 ( )
14、2()6tt t 在4,244单调递增， min ( )(4)3t， 当不等式( ) 3x u f x 在1,5x 上恒成立时， max 3u 19.（1）163 米； （2）631 米. 【解析】 （1）联结BD，则在BCD中200,45BDBDC， 由 sinsin BDBC BCDBDC ，得： 200sin45200 6 163 sin1203 BC ， BC的长约为 163 米. （2）方法一：设(0) 3 CBD ，则 3 BDC ， 在BCD中，由 sinsinsin BDBCCD BCDBDCCBD ， 得： 400400 sin(),sin 333 BCCD ， 400400
15、 sin()sin sin() 3333 BCCD ， 当 6 时，BCCD取得最大值 400 3 ， 此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为 400 400 3 千米，约为 631 米 第 8 页 共 9 页 方法二：设BCx千米，CDy千米（,x y R） ， 在BCD中，由 222 cos 2 BCCDBD BCD BC CD ，得 22 400000 xyxy， 2 ()40000 xyxy， 又由2xyxy，得 2 1 () 4 xyxy，当且仅当xy时等号成立， 22 1 ()40000() 4 xyxy， 400 3 xy， 围成该施工区域所需的板材长度最长为 400 400
16、3 千米，约为 631 米. 20.（1） 2 4yx； （2）2； （3）10 xy 或10 xy . 【解析】 （1）(,0) 2 p F，设直线l的方程为 2 p yx，代入 2 2ypx，得 2 2 30 4 p xpx， 于是 12 |48ABxxpp，得2p ，C的方程为 2 4yx. （2）设直线l的方程为1xmy， 11 (,)A xy、 22 (,)B xy， 将1xmy代入 2 4yx，得 22 (42)40 xmx，于是 2 12 |44ABxxpm， 由题意，抛物线C过点P的切线与直线l平行，可设该切线的方程为xmyb， 代入 2 4yx，得 2 440ymyb，由0
17、，可得 2 bm ， 从而可得点P到直线l的距离为 2 2 2 1 1 1 m dm m ， 33 222 22 1 |2(1)12(1)2(01)2 2 ABP SAB dmmm ，当且仅当0m 时等号 成立，即ABP面积的最小值为 2 （3）由题意知l与坐标轴不垂直，可设l的方程为1(0)xmym， 代入 2 4yx，得 2 440ymy， 设 11 (,)A xy、 22 (,)B xy，则 12 4yym， 12 4y y AB的中点为 2 (21,2)Dmm， 2 | 44ABm， 又 l 的斜率为m， l 的方程为 2 1 23xym m ， 第 9 页 共 9 页 将上式代入 2
18、 4yx，并整理得 22 4 4(23)0yym m ， 设 33 (,)M xy、 44 (,)N xy，则 12 4 yy m ， 2 34 4(23)y ym， M N的中点为 2 2 22 23,Em mm ， 22 34 22 14(1) 21 |1| mm MNyy mm ， 由于M N垂直平分AB， A、M、B、N四点在同一圆上等价于 1 | | 2 AEBEMN， 从而 222 111 | 444 ABDEMN ， 即 22 222 22 24 224(1) (21) 4(1)22 mm mm mmm ， 化简得： 2 10m ，解得：1m 或1m ， 所求直线l的方程为10
19、xy 或10 xy 21.（1） 2021 1a； （2）证明略； （3）证明略. 【解析】（1） 16 4a， 17 1a， 18 3a， 19 2a， 20 1a， 21 1a， 22 0a， 23 1a， 24 1a， 25 0a， 自第 20 项起，每三个相邻的项周期地取值 1，1，0， 又2021196673 1 ， 2021 1a （2）假设 n a中没有“0”项，由于 21 | nnn aaa，当3n都有1 n a ， 若 1nn aa ，则 211 1(3) nnnn aaaan ， 若 1nn aa ，则 21 1(3) nnnn aaaan ， 即 2n a 要么比 1n a 至少小 1，要么比 n a至少小 1， 令 212122 222122 ,() ,() nnn n nnn aaa b aaa ，1,2,3,n ，则 1 01 nn bb ， 由于 1 b是确定的正整数，这样下去，必然存在某项0 k b ，这与0 k b 矛盾， n a中必有“0”项 （3）若第一次出现“0”项为 n a，记 1 (0) n aM M ，则自第n项开始，每三个相邻的项周 期地取值 0，M，M，即 3 0 nk a ， 31nk aM ， 32nk aM ，0,1,2,k ， 数列 n a中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列