1、已知 ab，下列不等式中正确的是（ ） A Ba3b3 Ca+3b+3 D3a3b 4 （3 分）已知在ABC 中，ABC，则ABC 为（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上都有可能 5 （3 分）下列条件不能保证两个三角形全等的是（ ） A三边对应相等 B两边一角对应相等 C两角一边对应相等 D直角边和一个锐角对应相等 6 （3 分）下列命题中：同旁内角互补，两直线平行；若|a|b|，则 ab；直角都 相等；相等的角是对顶角是真命题的个数有（
2、） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 7 （3 分）同学们都玩过跷跷板的游戏，如图是一个跷跷板的示意图，立柱 OC 与地面垂直， OAOB当跷跷板的一头 A 着地时，AOA50，则当跷跷板的另一头 B 着地时， COB等于（ ） 第 2 页（共 25 页） A25 B50 C65 D130 8 （3 分）已知如图，A32，B45，C38，则DFE 等于（ ） A120 B115 C110 D105 9 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，AD 是 BC 边上的中
3、线，点 E、F、M、 N 是 AD 上的四点，则图中阴影部分的总面积是（ ） A6 B8 C4 D12 10 （3 分）如图，AOB45，AOB 内有一定点 P，且 OP10在 OA 上有一动点 Q， OB 上有一动点 R若PQR 周长最小，则最小周长是（ ） A10 B10 C20 D20 二、填空题（共二、填空题（共 6 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）在 RtABC 中，锐角A35，则另一个锐角B 12 （4 分）如图，数轴上所表示的 x 的取值范围为 &n
4、bsp; 13 （4 分）已知等腰三角形的两边长分别为 2、5，则三角形的周长为 第 3 页（共 25 页） 14 （4 分）如图，AOB50，CDOA 于 D，CEOB 于 E，且 CDCE，则DOC 15 （4 分）如图，在ABC 中，点 E 是 BC 的中点，ABBE，BDAE 交 AD 于点 D，若 ABC 的面积为 2，则CDE 的面积为 16 （4 分）如图，ABC 中，C90，ACBC，AD16cm，BE12cm，点
5、P 是斜边 AB 的中点有一把直角尺 MPN，将它的顶点与点 P 重合，将此直角尺绕点 P 旋转，与 两条直角边 AC 和 CB 分别交于点 D 和点 E 则线段 PD 和 PE 的数量关系为 ， 线 段 DE cm 三、简答题（共三、简答题（共 8 题，共题，共 66 分）分） 17 （8 分）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1）25x82x （2） 18 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC，ABC76 （1） 用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D （保留作
6、图痕迹， 不要求写作法） ； （2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数 第 4 页（共 25 页） 19 （8 分）如图，在ABC 和DCB 中，ABDC，ACDB，AC 与 DB 交于点 M （1）求证：ABCDCB； （2）过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BNAC，CN 与 BN 交于点 N，试判断BNC 的形 状，并证明你的结论 20 （6 分）如图，花果山上有两只猴子在一棵树 CD 上的点 B 处，且 BC5m，它们都要到 A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树
7、爬下走到离树 10m 处的池塘 A 处，另一只猴子乙先爬 到树顶 D 处后再沿缆绳 DA 线段滑到 A 处已知两只猴子所经过的路程相等，设 BD 为 xm （1）请用含有 x 的整式表示线段 AD 的长为 m； （2）求这棵树高有多少米？ 21 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，A36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂 足，连接 EC （1）求ECD 的度数； （2）若 CE5，求 BC 长 第 5 页（共 25 页） 22 （8 分）如图，已知ABC
8、 是等边三角形，BD 是 AC 上的高线作 AEAB 于点 A，交 BD 的延长线于点 E取 BE 的中点 M，连结 AM （1）求证：AEM 是等边三角形； （2）若 AE2，求AEM 的面积 23 （10 分） （1） 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，ABC 中，若 AB13，AC9，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 至点 E，使 DEAD，连接 BE请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到ADCEDB，依据是
9、 ASSS BSAS CAAS DHL 由“三角形的三边关系”可求得 AD 的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点” 、 “中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中 （2） 【初步运用】 如图，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且FAEAFE若 AE 4，EC3，求线段 BF 的长 第 6 页（共 25 页） 24 （12 分
10、）如图，ABC 中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若点 P 从点 A 出发， 以每秒 1cm 的速度沿折线 ABCA 运动，设运动时间为 t（t0）秒 （1）AC cm； （2）若点 P 恰好在 AB 的垂直平分线上，求此时 t 的值； （3） 在运动过程中， 当 t 为何值时， ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形 （直接写出结果） ？ 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年浙江省衢州市六校联谊八年级（上）期中数学试学年浙江省衢州市六校联谊八年级（上）期中数学试 卷卷
11、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 题，每题题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关
12、键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 2 （3 分）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A2cm，2cm，4cm B3cm，4cm，6cm C1cm，4cm，6cm D2cm，5cm，7cm 【分析】根据三角形三边关系定理（三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之 差小于第三边）逐个判断即可 【解答】解：A、2+24，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； B、3+46，符合三角形三边关系定理，故本选项正确； C、1+46，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； D、2+57，不
13、符合三角形三边关系定理，故本选项错误 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：判定三条线段能否构成三角 形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度 即可判定这三条线段能构成一个三角形 第 8 页（共 25 页） 3 （3 分）已知 ab，下列不等式中正确的是（ ） A Ba3b3 Ca+3b+3 D3a3b 【分析】根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可 【解答】解：Aab，不等式两边同时乘以得：，即 A 项不合
14、题意， B ab， 不等式两边同时乘以得：， 不等式两边同时减去 3 得： a3 3，即 B 项符合题意， Cab，不等式两边同时加上 3 得：a+3b+3，即 C 项不合题意， Dab，不等式两边同时乘以3 得：3a3b，即 D 项不合题意， 故选：B 【点评】本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题的关键 4 （3 分）已知在ABC 中，ABC，则ABC 为（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上都有可能 【分析】根据三角形的内角和是 180可得答案 &nb
15、sp;【解答】解：A+B+C180， 又ABC， 把代入，得 2B180， B90， 故该三角形是直角三角形 故选：C 【点评】本题考查了三角形的内角和是 180，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键 5 （3 分）下列条件不能保证两个三角形全等的是（ ） A三边对应相等 B两边一角对应相等 C两角一边对应相等 D直角边和一个锐角对应相等 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得出答案 【解答】解：A、SSS 可以判定全等，故本选项不符合题意；
16、 第 9 页（共 25 页） B、若是 SSA 不可以判定全等，故本选项符合题意； C、AAS 或 SAS 都可以判定全等，故本选项不符合题意； D、AAS 或 SAS 都可以判定全等，故本选项不符合题意 故选：B 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 6 （3 分）下列命题中
17、：同旁内角互补，两直线平行；若|a|b|，则 ab；直角都 相等；相等的角是对顶角是真命题的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据同旁内角、直角、对顶角的性质，以及绝对值的含义和求法，逐项判断即 可 【解答】解：同旁内角互补，两直线平行， 选项正确； 若|a|b|，则 ab 或 ab， 选项不正确； 直角都相等， 选项正确； 相等的角不一定是对顶角， 选项不正确， 是真命题的个数有 2 个：、
18、 故选：C 【点评】此题主要考查了命题的真假判断，要熟练掌握，正确的命题叫真命题，错误的 命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 7 （3 分）同学们都玩过跷跷板的游戏，如图是一个跷跷板的示意图，立柱 OC 与地面垂直， OAOB当跷跷板的一头 A 着地时，AOA50，则当跷跷板的另一头 B 着地时， 第 10 页（共 25 页） COB等于（ ） A25 B50 C65 D130 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：OAOBAB， OAOBAB，
19、 ABAB， OAOB， AOA50， AOB18050130， OCAB， COBAOB65， 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 8 （3 分）已知如图，A32，B45，C38，则DFE 等于（ ） A120 B115 C110 D105 【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算 【解答】解：B45，C38， ADF45+3883， DFEA+ADF32+83115 &n
20、bsp;故选：B 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系三角形的外角等于与它不相邻的 第 11 页（共 25 页） 两个内角和 9 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，AD 是 BC 边上的中线，点 E、F、M、 N 是 AD 上的四点，则图中阴影部分的总面积是（ ） A6 B8 C4 D12 【分析】先根据等腰三角形的性质得出 ADBC，根据勾股定理求出 AD 的长，再根据同 底等高的三角形面积相等可知 SEFCSEFB，SMNCSMNB，故可得出 S阴影SABD， 由此即可得出结论 &nbs
21、p;【解答】解：在ABC 中，ABAC5，BC6，AD 是 BC 边上的中线， BDBC3，ADBC， BD4， 同底等高的三角形面积相等， SEFCSEFB，SMNCSMNB， S阴影SABDBDAD346 故选：A 【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关 键 10 （3 分）如图，AOB45，AOB 内有一定点 P，且 OP10在 OA 上有一动点 Q， OB 上有一动点 R若PQR 周长最小，则最小周长是（ ） A10 B10 C20 D20
22、 【分析】作点 P 关于 OA 的对称点 P1，关于 OB 的对称点 P2，连接 P1P2与 OA、OB 分 别相交于点 Q、R，根据轴对称的性质可得 PQP1Q，PRP2R，从而得到PQR 的周 第 12 页（共 25 页） 长P1P2并且此时有最小值，连接 P1O、P2O，再求出P1OP2为等腰直角三角形，再根 据等腰直角三角形的性质求解即可 【解答】解：如图，作点 P 关于 OA 的对称点 P1，关于 OB 的对称点 P2，连接 P1P2与 OA、OB 分别相交于点 Q、R， 所以，PQP1Q，PRP2R， 所以
23、，PQR 的周长PQ+QR+PRP1Q+QR+P2RP1P2， 由两点之间线段最短得，此时PQR 周长最小， 连接 P1O、P2O，则AOPAOP1，OP1OP，BOPBOP2，OP2OP， 所以，OP1OP2OP10，P1OP22AOB24590， 所以，P1OP2为等腰直角三角， 所以，P1P2OP110， 即PQR 最小周长是 10 故选：B 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定 与性质，难点在于作辅助线得到与PQR 周长相等的线段 二、填
24、空题（共二、填空题（共 6 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）在 RtABC 中，锐角A35，则另一个锐角B 55 【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余即可得出答案 【解答】解：在 RtABC 中，锐角A35， 另一个锐角B903555， 故答案为：55 【点评】本题考查了直角三角形的性质，属于基础题，主要掌握直角三角形中两个锐角 互余 12 （4 分）如图，数轴上所表示的 x 的取值范围为 1x3 第 13 页（共 25 页）
25、 【分析】根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论 【解答】解：观察数轴可知： x1，且 x3， 所以 x 的取值范围为1x3 故答案为1x3 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是大于小的小于大的 中间找 13 （4 分）已知等腰三角形的两边长分别为 2、5，则三角形的周长为 12 【分析】根据 2 和 5 可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解 【解答】解：当 2 为腰时，三边为 2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角 形， &nbs
26、p;当 5 为腰时，三边为 5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+212 故答案为：12 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理关键是根据 2，5，分别 作为腰，由三边关系定理，分类讨论 14 （4 分）如图，AOB50，CDOA 于 D，CEOB 于 E，且 CDCE，则DOC 25 【分析】根据角平分线性质求出 OC 平分AOB，即可求出答案 【解答】解：CDOA 于 D，CEOB，CDCE， OC 平分AOB， AOB50， DOCAOB
27、25， 故答案为：25 【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等 15 （4 分）如图，在ABC 中，点 E 是 BC 的中点，ABBE，BDAE 交 AD 于点 D，若 第 14 页（共 25 页） ABC 的面积为 2，则CDE 的面积为 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可 【解答】解：ABBE，BDAE， ADDE， SCDESACE， 点 E 是 BC 的中点， SACESAB
28、C1， CDE 的面积 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键 16 （4 分）如图，ABC 中，C90，ACBC，AD16cm，BE12cm，点 P 是斜边 AB 的中点有一把直角尺 MPN，将它的顶点与点 P 重合，将此直角尺绕点 P 旋转，与 两条直角边 AC 和CB 分别交于点 D和点E 则线段 PD 和PE 的数量关系为 PDPE ， 线段 DE 20 cm 【分析】连接 PC，根据等腰直角三角形的性质，判定DCPEBP（ASA） ，即可得出 PDPE，然后根据勾股定理即可
29、得到结论 【解答】解：连接 PC， ABC 中，C90，ACBCa，P 为 AB 的中点， CPAB，CPABBP，DCPB45， 第 15 页（共 25 页） DPE90， DPCEPB， 在DCP 和EBP 中， DCPEBP（ASA） ， PDPE，CDBE12， CEAD16， DE20， 故答案为：PDPE；20 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角 形的判定和性质，正确的
30、作出辅助线是解题的关键 三、简答题（共三、简答题（共 8 题，共题，共 66 分）分） 17 （8 分）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1）25x82x （2） 【分析】 （1）移项、合并同类项，系数化成 1，即可求得不等式的解集 （2）首先去分母，去括号，然后移项、合并同类项，系数化成 1，即可求得不等式的解 集 【解答】解： （1）25x82x， 移项得5x+2x82， 合并得3x6， 系数化为 1 得 x2； 在数轴上表示为： &nb
31、sp;第 16 页（共 25 页） （2） 去分母得（x+5）23x+2， 去括号得 x+523x+2， 移项得 x3x2+25， 合并得2x1， 系数化为 1 得 x 在数轴上表示为： 【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质先去括号（或去分母） ，再把 含未知数的项移到不等式的左边，常数项移到右边，合并同类项后，然后把未知数的系 数化为 1 即可也考查了利用数轴表示不等式的解集 18 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC，ABC76 &nbs
32、p;（1） 用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D （保留作图痕迹， 不要求写作法） ； （2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数 【分析】 （1）直接利用角平分线的作法得出答案； （2）直接利用角平分线的定义分析得出答案 【解答】解： （1）如图所示：BD 即为所求； （2）ABAC，ABC76， C76， ABC 的平分线 BD， BDC7638， BDC180763866 第 17 页（共 25 页） &nbs
33、p; 【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，正确掌握角平分线的定义是 解题关键 19 （8 分）如图，在ABC 和DCB 中，ABDC，ACDB，AC 与 DB 交于点 M （1）求证：ABCDCB； （2）过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BNAC，CN 与 BN 交于点 N，试判断BNC 的形 状，并证明你的结论 【分析】 （1）由 SSS 可证ABCDCB； （2）BNC 是等腰三角形，可先证明四边形 BMCN 是平行四边形，由（1）知，MBC MCB，可得 BMCM，于是就有四边形 BMCN 是
34、菱形，则 BNCN 【解答】 （1）证明：如图，在ABC 和DCB 中， ， ABCDCB（SSS） ； （2）解：BNC 是等腰三角形证明如下： CNBD，BNAC， 四边形 BMCN 是平行四边形， 由（1）知，MBCMCB， BMCM（等角对等边） ， 四边形 BMCN 是菱形， BNCN 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，难度一般，对于此类题目要注意掌握三 第 18 页（共 25 页） 角形全等及菱形判定定理 &nbs
35、p;20 （6 分）如图，花果山上有两只猴子在一棵树 CD 上的点 B 处，且 BC5m，它们都要到 A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树 10m 处的池塘 A 处，另一只猴子乙先爬 到树顶 D 处后再沿缆绳 DA 线段滑到 A 处已知两只猴子所经过的路程相等，设 BD 为 xm （1）请用含有 x 的整式表示线段 AD 的长为 15x m； （2）求这棵树高有多少米？ 【分析】已知 BC，要求 CD 求 BD 即可，可以设 BD 为 x，找到两只猴子经过路程相等 的等量关系，即 BD+DABC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解 【
36、解答】解： （1）设 BD 为 x 米，且存在 BD+DABC+CA， 即 BD+DA15，DA15x， 故答案为：15x； （2）C90 AD2AC2+DC2 （15x）2（x+5）2+102 x2.5 CD5+2.57.5 答：树高 7.5 米； 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中 正确的找出 BD+DABC+CA 的等量关系并根据直角ACD 求 BD 是解题的关键 21 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，A36，AC 的垂直
37、平分线交 AB 于 E，D 为垂 足，连接 EC （1）求ECD 的度数； （2）若 CE5，求 BC 长 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）ED 是 AC 的垂直平分线，可得 AEEC；AC；已知A36，即可 求得； （2）ABC 中，ABAC，A36，可得B72又BECA+ECA72， 所以，得 BCEC5； 【解答】解： （1）DE 垂直平分 AC， CEAE，ECDA36； （2）ABAC，A36， BACB72， BECA+
38、ECD72， BECB， BCEC5 答： （1）ECD 的度数是 36； （2）BC 长是 5 【点评】本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直 平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 22 （8 分）如图，已知ABC 是等边三角形，BD 是 AC 上的高线作 AEAB 于点 A，交 BD 的延长线于点 E取 BE 的中点 M，连结 AM （1）求证：AEM 是等边三角形； （2）若 AE2，求AEM 的面积 第 20 页（共 25 页） &
39、nbsp; 【分析】（1） 由等边三角形的性质可得ABD30， 由直角三角形的性质可得 AMEM， 可得AEM 是等边三角形； （2）由直角三角形的性质可求 AD 的长，即可求解 【解答】证明： （1）ABC 是等边三角形，BD 是 AC 上的高线， ABD30，且 AEAB， AEB60， 点 M 是 BE 中点，EAB90， AMEM，且AEB60， AEM 是等边三角形； （2）AEM 是等边三角形，ACBD， EADMAD30，DEDN，AEEM2， DEAE1，AD
40、DE， AEM 的面积EMAD2 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形面积公式， 熟练运用等边三角形的性质是本题的关键 23 （10 分） （1） 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，ABC 中，若 AB13，AC9，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 至点 E，使 DEAD，连接 BE请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到ADCEDB，依据是 B ASSS BSA
41、S CAAS DHL 由“三角形的三边关系”可求得 AD 的取值范围是 2AD11 解后反思：题目中出现“中点” 、 “中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中 （2） 【初步运用】 如图，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且FAEAFE若 AE 4，EC3，求线段 BF 的长 第 21 页（共 25 页） 【分析】 （1） （）根据全等三角形的判定定理解答 （）根据三
42、角形的三边关系计算 （2）延长 AD 到 M，使 ADDM，连接 BM，证明ADCMDB，根据全等三角形的 性质解答 【解答】解： （1） （）在ADC 和EDB 中， ， ADCEDB（SAS） ， 故选：B； （）ADCEDB， BEAC9 ABBEAEAB+BE， 4AE22 2AD11， 故答案为：2AD11 （2）延长 AD 到 M，使 ADDM，连接 BM，如图 AD 是ABC 中线， BDDC， 在
43、ADC 和MDB 中， 第 22 页（共 25 页） ， ADCMDB（SAS） ， BMAC，CADM， AFEAEF， AEEF4， ACAE+CE7， BMAC7， CADAFE， AFEBFD， BFDCADM， BFBMAC， 即 ACBF7 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用， 掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 24 （12 分）如图
44、，ABC 中，ACB90，AB5cm，BC4cm，若点 P 从点 A 出发， 以每秒 1cm 的速度沿折线 ABCA 运动，设运动时间为 t（t0）秒 （1）AC 3 cm； （2）若点 P 恰好在 AB 的垂直平分线上，求此时 t 的值； （3） 在运动过程中， 当 t 为何值时， ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形 （直接写出结果） ？ 【分析】 （1）由勾股定理直接求出 AC 的长为 3cm； （2）由线段垂直平分线性质定理，点 P 的位置有两种情况，由路程，速度，时间三者的 关系，勾股定理相关知识求出 t 的值为秒或秒；
45、 （3）由ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形，分类由勾股定理，等积变换，路程，速度， 时间三者的关系，求出 t 的值为或秒或 6 秒 第 23 页（共 25 页） 【解答】解： （1）如甲图所示： ACB90， ABC 是直角三角形， 在 RtABC 中，由勾股定理得， ， 又 AB5cm，BC4cm， 3， 故答案为 3； （2）点 P 恰好在 AB 的垂直平分线上时， 如乙图所示： DE 是线段 AB 的垂直平分线，
46、 ADBD，AEBE， 当点 P 运动到点 D 时， AB5cm，点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度运动， t1秒， 当点 P 运动到点 E 时，设 BEx，则 EC4x， AEBE， AEx， 在 RtAEC 中，由勾股定理得， AE2AC2+EC2 第 24 页（共 25 页） AC3，AEx，EC4x， 32+（4x）2x2， 解得：x， AB+BE， 秒， 即点 P 在
47、 AB 的垂直平分线上时，运动时间 t 为秒或秒； （3）运动过程中，ACP 是等腰三角形， 当 APAC 时，如丙图（1）所示： AC3，AP3， t13 秒， 当 CACP 时，如丙图（2）所示： 若点 P 运动到 P1时，ACP1C，过点 C 作 CHAB 交 AB 于点 H， ， AB5cm，BC4cm，AC3cm， CHcm， 在 RtAHC 中，由勾股定理得， AHcm， 又AP12AHcm， 第
48、25 页（共 25 页） 秒， 若点 P 运动到 P2时，ACP2C， AC3cm， P2C3cm， 又BP2BCP2C， BP21cm， AP+BP25+16cm， t46 秒， 综合所述，ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形时，t 为 3 秒或秒或 6 秒 【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线性质定理，等腰三角形的判 定和等积变换等相关知识点，重点掌握勾股定理的应用，难点是分类思想计论等腰三角 形两腰情况，易错点第二种情况 ACAP 时，点 P 可以在 AB 或 BC 易漏掉