1、第四单元 三角形第 17 课时 特殊三角形基础达标训练1. (2017 长沙)一个三角形三个内角的度数之比为 123，则这个三角形一定是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2. (2017 大连 )如图，在ABC 中，ACB90，CD AB ，垂足为 D，点 E 是 AB 的中点 ，CDDEa，则 AB 的长为( )A. 2a B. 2 a C. 3a D. a2433第 2 题图3. 在直角三角形中，如果有一个角是 30，那么下列各比值中，最有可能是这个直角三角形的三边之比的是( )A. 345 B. 11 2C. 5 1213 D. 1 234.
2、 (2017 大庆)如图，ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，BCD 中，DBC90，BCD60，DC 中点为 E，AD 与 BE的延长线交于点 F，则AFB 的度数为( )第 4 题图A. 30 B. 15 C. 45 D. 255. (2017 海南)已知ABC 的三边长分别为 4、4、6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC 分割成两个三角形 ，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( ) 条A. 3 B. 4 C. 5 D. 66. (2017 聊城)如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA
3、，PB.那么使ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是( )A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个第 6 题图7. (2017 黄石)如图， ABC 中，E 为 BC 边的中点，CD AB， AB2，AC 1，DE ，则CDEACD( )32第 7 题图A. 60 B. 75 C. 90 D. 1058. (2017 河池) 已知等边ABC 的边长为 12，D 是 AB 上的动点，过 D 作 DEAC 于点 E，过 E 作 EFBC 于点 F，过 F 作 FGAB于点 G.当 G 与 D 重合时，AD 的长是( )A. 3 B. 4 C. 8 D. 99. (2017 蚌埠固
4、镇县模拟) 如图，在 ABC 中， ACB90，CD为高，AC4，则下列计算结果错误的是( )A. 若 BC3，则 CD2.4B. 若 A 30，则 BD33C. 若 A 45，则 AD2 2D. 若 BC2，则 SADC165第 9 题图10. (2017 江淮名校联考)如图，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且 PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有( )第 10 题图A. 2 个 B. 3 个C. 4 个 D. 无数个11. (2017 黔西南州)已知一个等腰三角形的两边长分别为 3 和6，则该等腰三角形的周长是_12. (201
5、6 哈尔滨)在等腰直角三角形 ABC 中，ACB 90，AC3，点 P 为边 BC 的三等分点，连接 AP，则 AP 的长为_第 13 题图13. (2017 攀枝花 )如图，D 是等边ABC 边 AB 上的点，AD 2，DB4.现将 ABC 折叠，使得点 C 与点 D 重合，折痕为EF，且点 E、F 分别在边 AC 和 BC 上，则 _CFCE14. (2017 绥化) 在等腰ABC 中，ADBC 交直线 BC 于点 D，若 AD BC，则ABC 的顶角的度数为_1215. (8 分)(2017 北京)如图，在ABC 中，ABAC ，A36，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D.求证：AD
6、BC.第 15 题图16. (8 分) 如图， ABC 是等边三角形，BDAC，AEBC，垂足分别为 D、E，AE 、BD 相交于点 O，连接 DE.(1)判断 CDE 的形状，并说明理由；(2)若 AO12，求 OE 的长第 16 题图能力提升拓展1. (2017 武汉)如图，在 RtABC 中，C90，以ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在 ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7第 1 题图2. (2017 武汉) 如图，在ABC 中，ABAC2 ，BAC120，3点 D，E 都在边 BC 上，DAE60，若
7、 BD2CE ，则 DE 的长为_第 2 题图3. (2017 威海)如图 ， ABC 为等边三角形，AB2，若 P 为ABC 内一动点，且满足 PABACP.则线段 PB 长度的最小值为_第 3 题图4. (2017 河南)如图，在 RtABC 中，A 90，ABAC ，BC1 ，点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点 ，沿 MN 所在的直线折2叠B， 使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上，若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为_ 第 4 题图5. (10 分)(2017 徐州)如图，已知 ACBC，垂足为C， AC4， BC3 ，将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，
8、3得到线段 AD，连接 DC、DB.(1)线段 DC_；(2)求线段 DB 的长度第 5 题图教材改编题1. (沪科八上 P138 练习第 3 题改编)如图，在 RtABC 中，A30， ACB90，BC2，CDAB 于 D，则 AD 的长为( )第 1 题图A. 2 B. 3 3C. 3 D. 33答案基础达标训练1. B 【解析】一个三角形的三个内角度数之比为 123，设这三个内角分别为 x，2 x，3x，根据三角形内角和为 180可得x2x 3x 180，解得 x30，3x90，则这个三角形一定是直角三角形，但不是等腰直角三角形2. B 【解析 】在 RtCDE 中，CD DE a，CE
9、 a.点 E 为 RtABC 斜边 AB 的中点，2DEC2a2CEAE BE AB， AB2CE2 a.12 23. D 【解析】如解图，设 30角所对的直角边 BCa，则AB2BC 2a， AC a， 三边之比为 a a2a12-BCA3 32.3第 3 题解图4. B 【解析】 DBC90，E 为 DC 中点，BE CE CD， BCD60，CBE 60，DBF30，12ABD 是等腰直角三角形， ABD 45 ，ABF 75，AFB18090 7515.第 4 题解图5. B 【解析】如解图所示，第 5 题解图当 AC CD，AB BG，AF CF， AE BE 时，都能得到符合题意的
10、等腰三角形6. B 【解析 】如解图所示，使ABP 为等腰直角三角形的点 P的个数是 3，故选 B.第 6 题解图7. C 【解析】CDAB，E 为 BC 边的中点，BC2DE ，AB2，AC1，AC 2BC 21 2( )3 3242 2AB 2，ACB 90，tanA ，A60，BCAC 3ACD B30， DCE60，DECE，CDE60，CDE ACD90.8. C 【 解析】如解图，设 BD x，ABC 是等边三角形，A B C60， DEAC 于点 E，EF BC 于点 F，FGAB于点 G, BDF DEAEFC90， BF2x, CF122x, CE2CF244x， AE12C
11、E4x 12，AD2AE8x24，ADBDAB， 8x24x12，x 4, AD8x2432248.第 8 题解图9. B 【解析】A.若 BC3，则 CD 2.4，故正确；B.ACBCAB若A 30，则 BD BC AC ，故错误；C.若A45，则12 36 233AD BD AC2 ，故正确；D.若 BC2，则 AB2 ，AD 22 2 5 ， CD ， SADC ADCD ，故正确ACAB 855 455 12 16510. D 【解析 】如解图，在 OA、 OB 上截取 OE OF OP，作MPN60. OP 平分AOB, EOP POF60， OPOE OF, OPE，OPF 是等边
12、三角形，EP OP， EPO OEPPONMPN 60， EPM OPN, 在PEM 和PON 中， ， OPNEMPEMPON(ASA). PMPN, MPN60， PNM 是等边三角形， 只要MPN60，PMN 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个第 10 题解图11. 15 【解析】当腰为 3 时，336，3、3、6 不能组成三角形；当腰为 6 时，3696, 3、6、6 能组成三角形， 该三角形的周长为36615.12. 或 【解析】如解图， ACB 90，13 10AC BC 3，PB BC1， CP2，AP ，13 AC2 PC2 13如解图，ACB90，AC BC3，PC B
13、C 1，AP13 ，综上所述，AP 的长为 或 .AC2 PC2 10 13 10第 12 题解图13. 【解析】由题易知A B EDF60，54A AED EDBEDFFDBAED FDB，AEDBDF， ， ，由翻折易知EDDF AEBD ADBF EDDF BAEC ED，FC FD， ，即CECF ，AD2，BD4. AB BC AC6，CECF BDA ，即 . CECF 6 26 4 45 CFCE 5414. 30或 150或 90 【解析】BC 为腰，AD BC 于点D，AD BC，ACD 30 ，如解图，AD 在ABC 内部时，顶12角C 30，如解图 ，AD 在 ABC 外
14、部时，顶角 ACB 18030 150， BC 为底，如解图 ， ADBC 于点D，AD BC， ADBD CD，BBAD ， C CAD，BA12DCAD 18090，顶角 BAC90，综上所述，等腰三角12形 ABC 的顶角度数为 30或 150或 90.图 图图第 14 题解图15. 证明：AB AC，A36，ABC C (180 A)72，12又BD 为ABC 的平分线，ABDCBD ABC36 A，12AD BD. CBD 36，C72，BDC 180CBDC72 C，BC BD，AD BC.16. 解：(1) ABC 是等边三角形，且 BDAC，AE BC，C60 ，CE BC，C
15、D AC；而 BCAC, 12 12CDCE，CDE 是等边三角形. (2)由(1)知： AE、BD 分别是ABC 的中线，AO2OE，而 AO12，OE6.能力提升拓展1. D 【解析】设等腰三角形的第三个顶点为 D，则当ACAD 时，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 D， 故此时存在一个等腰三角形；若 AC CD 时，以点 C 为圆心，AC长为半径，与线段 AB 和 BC 不会有新的交点，故此时不存在等腰三角形； 当 AD CD 时，作 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，故此时存在一个等腰三角形；当 CD BC 时，以点 C 为圆心，BC长为半径画弧，分别交 AC
16、 和 AB 于两点，故此时存在两个等腰三角形； 当 BCBD 时，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB边于一点，故此时存在一个等腰三角形；当 CD BD 时，作 BC的垂直平分线交 AB 于一点，故此时存在一个等腰三角形；当AB AD 或 AB BD 时，分别以点 A 和点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，与 AC 和 BC 均无交点，故此情况不存在等腰三角形；当AD BD 时，作 AB 的垂直平分线交 AC 于一点，故此时存在一个等腰三角形综上所述，等腰三角形共有 7 个2. 3 3 【解析】如解图，过点 A 作 AFBC 于点3F，ABAC2 ， BAC120， BC6，B BC
17、A30，3将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 120得到ACD，DCA DBA30，AD AD，DCE 60，DAE60，DACDAB，EADEAD60，EADEAD， ED ED，EDBDEC 6， EC ， C6 DE3D BD 2CE，DCE60，DEC90 ，DE 2EC 2DC 2，即 DE2( )2( 2)2，解得 DE 3 3.6 DE3 6 DE3 3第 2 题解图3. 【 解析】 如解图，将APB 绕点 B 顺时针旋转 60，则233PBD 是等边三角形，PBPD .PAB ACP， PCD60.在PCD 中，当 PCD60时，PD 最小， 当 PCD 是等边三角形时，PD P
18、B 最小，此时四边形 PCDB 是菱形在 RtPOB 中，OB 1，PBO 30， PB .233第 3 题解图4. 或 1 【解析 】(1) 当 BMC 为直角时，此时点 M 在 BC2 12的中点位置，点 B与点 A 重合，如解图 ，则 BM 的长度为 BC12；(2) 当 MBC 为直角时，如解图，根据折叠性质得，2 12BMBM ， BN BN，BM BA， ， 即 ，MCBC BMAB MCBM BCAB 2 ，即 ，即MCBM 2 B2 11 ， BC 1， BM1，故 BM 的长为 或 1.BCBM 2 11 2 2 12第 4 题解图5. 解：(1)4；【解法提示】在ACD 中，A60，ACAD，ACD 是等边三角形，DCAC4.(2)如解图，过点 D 作 DEBC 于点 E.在CDE 中， DCE ACBACD90 6030，CD 4，DE2，CE 4cos304 2 ，32 3BE BCCE3 2 ，3 3 3DB .2DEB（3）2 22 7第 5 题解图教材改编题1. D 【解析】在 RtABC 中，A 30，BCA 90，B60 ，CD AB 于 D，BCD30，BC2，BD 1，CD ，在 RtACD 中， A30，3AD CD3.3