1、第四单元 三角形第 19 课时 相似三角形基础达标训练1. (2017 重庆 B 卷) 已知 ABCDEF，且相似比为 12，则ABC 与DEF 的面积为( )A. 14 B. 41 C. 12 D. 212. (2017 河北)若ABC 的每条边长增加各自的 10%创 新 题 推 荐得A BC，则B的度数与其对应角B 的度数相比( )A. 增加了 10% B. 减少了 10%C. 增加了 (110%) D. 没有改变3. (2017 杭州)如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，DE BC .若 BD 2AD，则( )A. B. ADAB 12 AEEC 12C. D. AD
2、EC 12 DEBC 12第 3 题图4. (2017 永州) 如图， 在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若ACDB，AD 1 ，AC2，ADC 的面积为 1，则BCD 的面积为( )第 4 题图A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. (2017 绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端 E，标记好脚掌中心位置为 B.测得脚掌中心位置 B 到镜面中心 C 的距离是 50 cm，镜面中心 C 距旗杆底部 D 的距离为 4 m，如图所示，已知小丽同学的
3、身高是 1.54 m，眼睛位置 A 距离小丽头顶的距离是 4 cm，则旗杆 DE 的高度等于 ( )A. 10 m B. 12 m C. 12.4 m D. 12.32 m第 5 题图6. (2017 临沂 )已知 ABCD，AD 与 BC 相交于点 O.若 ，AD10，则 AO_BOOC 23第 6 题图7. (2017 甘肃省卷)如图，一张三角形纸片 ABC，C 90，AC8 cm，BC6 cm.现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于_cm.第 7 题图8. (2017 潍坊)如图，在ABC 中，ABAC，D、E注 重 开 放 探 究分别为 AB、 AC 上的点AC3AD，
4、AB 3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：_，可以使得 FDB 与ADE 相似( 只需写出一个)第 8 题图9. (8 分)(2017 江西) 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在 AB，BC ，CD 上，且EFG90.求证：EBFFCG .第 9 题图10. (10 分 )如图，在ABC 中，AC4，D 为 BC 边上的一点，CD 2，且 ADC 与 ABD 的面积比为 13.(1)求证： ADCBAC；(2)当 AB8 时，求 AD 的长度第 10 题图11. (10 分)(2017 株州)如图，正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 E
5、F 上，EF 与 BC 交于点 G，连接 CF.(1)求证： DAE DCF；(2)求证： ABG CFG.第 11 题图12. (10 分)如图，已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，过点 A 作 AGBD 分别交 BD、BC 于点 G、E . (1)求证： BE2EG EA; (2)连接 CG，若 BECE，求证：ECGEAC .第 12 题图能力提升拓展1. (2017 合肥瑶海区三模 )如图，将一张直角三角形纸片 BEC 的斜边放在矩形 ABCD 的 BC 边上，恰好完全重合 ，BE、CE 分别交AD 于点 F、 G，BC 6，AF FGGD3 21，则 AB 的长为( )A.
6、 1 B. C. D. 22 3第 1 题图2. (2017 合肥长丰县三模)如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 的外侧作等边 ADE，连接 BE 交 AC 于点 F， 连接 DF 并延长交 AB 于点 G，则 AG 的长为( )第 2 题图A. B. 2 3C. 6 6 D. 1262 33. (10 分)(2017 合肥肥城模拟)ABC 中，AB AC，点 D、E 、F分别在 BC、AB、AC 上，EDFB.(1)如图 ，求证：DE CDDF BE ；(2)D 为 BC 中点，如图，连接 EF.求证： ED 平分BEF；若四边形 AEDF 为菱形 ，求BAC 的度数及 的值AEAB第
7、3 题图教材改编题1. (北师九上 P121 第 13 题改编)如图，在ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点 O，在 BA 的延长线上取一点 E，连接 OE 交 AD于点 F，若 CD5，BC8，AE2，则 AF_第 1 题图2. (10 分)(沪科九上 P83 例 4 改编) 如图，Rt BCD 中，BD 1，CD2，BDC90，过 B 点作 BABC，过点 C 作CABD .(1)求证： ABCCDB ；(2)求 AC 的长第 2 题图3. (沪科九上 P106 A 组复习题第 5 题)已知：如图，在教 材 母 题ABC 中，D 为 AB 的中点 ，第 3 题图E 为 AC 上的一点，
8、DE 延长线交 BC 延长线于点 F.求证： BFCF.AEEC变式 1：(8 分) 已知，如图，D 是 BC 边延长线上的一点，BC3CD ， DF 交 AC 边于 E 点，且 AE2 EC.求 的值AFFB变式 1 题图变式 2：(8 分) 已知，如图，ABC 中，AEEB1 3，BDDC2 1，AD 与 CE 相交于 F，求 的值EFFC变式 2 题图变式 3：(10 分) 已知，如图，AD 是 ABC 的中线 ，E 是 AC 上任一点，BE 交 AD 于点 O，数学兴趣小组的同学在研究这一图形时，得到如下结论：当 AOAD1 2 时，AE AC13；当 AOAD1 3 时，AE AC1
9、5；当 AOAD1 4 时，AE AC17.请根据以上结论，猜想：当 AOAD1(n1)时( n 是正整数)，AEAC 的一般性结论 ， 并说明理由变式 3 题图答案基础达标训练1. A 【解析】ABCDEF，且相似比为 12, ABC 与DEF 的面积比为 14.2. D 【解析】 ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC ， ABC 与 ABC的三边对应成比例，ABCABC ， BB.3. B 【解析】DE BC，ADE ABC，BD2AD， ， ，故选 B.ADAB AEAC 13 AEEC 124. C 【解析】在ACD 和ABC 中，DACCAB，ACDABC，ACD ABC，
10、( )SABCSADC ACAD24， SADC1，S ABC4，S BCDS ABCS ACD3.5. B 【解析】由平面镜成像原理得 ACBECD，又ABC EDC90 ，ABCEDC， ，即 ABED BCDC 1.54 0.04DE，解得 DE12.0.546. 4 【解析】由 ABCD 可得 ， AO AD，又由OAOD OBOC 23 25AD 10，可得 AO 104.257. 【解析】如解图，折痕为 MN，在 RtABC 中，AB 15410，由折叠性质得62 82AMBM5，AA，AMNC 90，AMN ACB， ， MN .AMAC MNCB AMBCAC 568 154第
11、 7 题解图 第 7 题解图【一题多解】在 RtABC 中，AB 10，如解图，62 82折痕为 MN，连接 BN，由折叠性质得，BMN AMN90，ANBN，AM BM 5 cm.设 AN BNx ，则 CN8x ，在 RtBMN 和 RtBCN 中，由 勾股定理得 52MN 2x 2，6 2(8 x) 2x 2，解得 x ，MN .254 25x（254）2 52 1548. DFAC 【解析】 AC3AD ，AB3AE， ，AADAC AEAB为公共角，ADE 与ACB 相似，AED DBF，要使 FDB 相似ACB，可添加 DFB C 或 DFAC.9. 证明：四边形 ABCD 为正方
12、形， B C90，BEFBFE90， EFG 90，BFECFG90， BEFCFG，EBFFCG.10. (1)证明： CD2，且ADC 与 ABD 的面积比为 13. BD3DC6, BCBD CD8，在ABC 与ACD 中，BCACAC CD2，BCAACD. ADC BAC. (2)解： ADC BAC, ，ADBA DCAC又AB 8，AC4，CD2.AD 4.28411. 证明：(1) EDFADC90，即EDFADFADCADF，EDAFDC，三角形 DEF 为等腰直角三角形，ED FD，在正方形 ABCD 中，AD CD，DAE DCF(SAS)(2)DAEDCF，DEADFC
13、，DEFDFE 90 ，DFC DFG90，CFGABG 90，AGBCGF，ABGCFG.12. 证明：(1)四边形 ABCD 是矩形，ABC90， AEBD，ABC BGE90， BEGAEB，ABEBGE, AEBEBE GE, BE2 EGEA；(2)由(1)证得 BE2EGEA ，BECE, CE2EG EA，CEEGAE CE，CEG AEC, CEGAEC, ECG EAC.能力提升拓展1. C 【解析】四边形 ABCD 是 矩形， AB CD， AD BC6，A D 90， E90， EFGEGF 90 ， AFBDGC90，AFBABF90， ABFDGC , AFBDCG,
14、 AFDCABDG, AFFGGD321, AF3，DG 1, AB2 AFDG 3, AB . 故选 C.32. D 【解析】如解图，连接 BD，交 AC 于点 O，四边形ABCD 是正方形， BC6， BD6 ， OB3 ， ADE 是等边2 2三角形，AE AD， DAE60，ABAE，BAE150，AEBABE15，FBO 30 ，OF OB ，AF3 33 6 2，CF 3 ， ABCD， AFGCFD， ，即6 2 6AFCF AGCD ，解得 AG126 .32 632 6 AG6 3第 2 题解图3. (1)证明 ： ABC 中， ABAC，B C.BBDE DEB180， B
15、DE EDFFDC180，EDFB，FDCDEB ，BDECFD， ，即 DECD DFBE；DEFD BECD(2)由(1)证得BDE CFD， ，BECD DEFDD 为 BC 中点，BDCD ， ，BEBD DEDFBEDF，BDEDFE，BEDDEF ，ED 平分BEF；四边形 AEDF 为菱形，AEF DEF，BED DEF，AEF60，AE AF，BAC60，ABC 是等边三角形，B60，BED 是等边三角形，BE DE，AE DE，AE AB，12 .AEAB 12教材改编题1. 【解析 】延长 FO 交 BC 于点 G， 四边形 ABCD 是平行169四边形，AB CD 5，且
16、易证AFO CGO， AFCG，BG 8AF，又AF BC，AEF BEG， 即 ，解之得：AF .AEBE AFBG 22 5 AF8 AF 169第 1 题解图2. (1)证明：ABBC，ABC90 BDC，ACBD ，ACB CBD，ABCCDB；(2)解： 在 RtBCD 中，BD1，CD2，BDC90，由勾股定理可得 BC ，BD2 CD2 5ABCCDB， ，ACCB BCDBAC 5.BC2BD3. 变式 1：解：如解图，过 C 作 CGBA，交 ED 于点 G.变式 1 题解图BC3CD，CD BD，14 ，CG AB，CDBD 14CDGBDF， .CGBF CDDB 14A
17、E 2EC， 2，AEECCGAB，ECG EAF， 2.AFCG AECE 2，CGBFAFCG 14 .AFBF 12变式 2：解：如解图，过 E 作 EGBC，交 AD 于 G.AEEB13，EB 3AE， ，AEAB 14EGBC，AEGABD， .AEAB EGBD 14BDDC21， 2，BDCD 2，EGBDBDCD 14 .EGCD 12EGBC，易证 FEG FCD， .EFCF EGCD 12变式 2 题解图变式 3：解：如解图，过 D 作 DFBE，交 AC 于 F.DFBE，AEOAFD， .AEAF AOAD 1n 1 .AEEF AEAF AE 1nDFBE，AD 是ABC 的中线，CDBD ，CFEF. .AEAC FC12n变式 3 题解图