1、2 单摆单摆 学科素养与目标要求 物理观念：1.知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式. 科学思维：1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件.2.引导学生对摆球进行受力分析，将单 摆纳入简谐运动模型. 科学探究：观察单摆，对影响单摆周期的因素进行猜想，然后通过实验探究认识到影响单摆 周期的因素. 一、单摆的简谐运动 1.单摆：忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装 置叫做单摆.单摆是理想化模型. 2.单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力. (2)回复力的大小：在偏角很小时，Fmg l x. 3.单摆
2、的运动特点 小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆在偏角很 小时的振动是简谐运动. 二、单摆做简谐运动的周期 1.单摆做简谐运动的周期 T 跟摆长 l 的二次方根成正比，跟重力加速度 g 的二次方根成反比， 跟振幅、摆球的质量无关. 2.单摆的周期公式：T2 l g. 1.判断下列说法的正误. (1)单摆振动时的回复力是重力和摆线拉力的合力.( ) (2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.( ) (3)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.( ) (4)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期.( ) 2.一个理想的单摆，已知其周期为
3、 T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的 2 倍，振幅变 为原来的 3 倍，摆长变为原来的 8 倍，摆球质量变为原来的 2 倍，则它的周期变为_. 答案 2T 一、单摆及单摆的回复力 (1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？ (2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ 答案 (1)回复力不是合外力.单摆的运动可看做是变速圆周运动， 其重力可分解为沿悬线方向 的分力和沿圆弧切线方向的分力， 重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力. (2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零. 1.单摆受力：如图 1 所示，受细线拉力和重力作用. 图 1 2.向心力来源：细线
4、拉力和重力沿径向的分力的合力. 3.回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力 Fmgsin 提供了使摆球振动的回复力. 4.回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足 Fkx，此时摆球的振动可看成是简谐 运动. 注意 (1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零. (2)单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力. 例 1 图 2 中 O 点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至 A 点，此时细线处于张紧 状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的 A、C 之间来回摆动，B 点为运动中的最低位置， 则在摆动过程中( ) 图 2 A.摆球在 A 点和 C 点处
5、，速度为零，合力也为零 B.摆球在 A 点和 C 点处，速度为零，回复力也为零 C.摆球在 B 点处，速度最大，回复力也最大 D.摆球在 B 点处，速度最大，细线拉力也最大 答案 D 解析 摆球在摆动过程中，最高点 A、C 处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点 B 处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大.故 D 正确. 二、单摆的周期 单摆的周期公式为 T2 l g. (1)单摆的摆长 l 等于悬线的长度吗？ (2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？ 答案 (1)不等于.单摆的摆长 l 等于悬线的长度与摆球的半径之和. (2)可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度
6、g 有关，不同星球表面的重力加速度可能不同. 1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟. 2.单摆的周期公式：T2 l g. 3.对周期公式的理解 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角小于 5 时，由周期公式算出的周期和准确值 相差不超过万分之五). (2)公式中 l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离 ll线r球. (3)公式中 g 是单摆所在地的重力加速度. (4)周期 T 只与 l 和 g 有关，与摆球质量 m 及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期. 例 2 如图 3 所示，单摆的周期为 T，则下列说法正确的是( ) 图 3 A.把摆球质量增加一倍
7、，其他条件不变，则单摆的周期变短 B.把摆角 变小，其他条件不变，则单摆的周期变短 C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长 D.将单摆摆长增加为原来的 2 倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为 2T 答案 C 解析 根据单摆的周期公式 T2 l g知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来 的 2 倍，周期变为原来的 2倍，故 A、B、D 错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的 重力加速度，由周期公式 T2 l g知，将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆 的周期将变长，C 正确. 例 3 如图 4 所示，三根细线在 O 点处打结，A、B 端固定在同一水平面上
8、相距为 l 的两点 上，使AOB 成直角三角形，BAO30 ，已知 OC 线长也是 l，下端 C 点系着一个小球(球 的大小忽略不计)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为 g)( ) 图 4 A.让小球在纸面内振动，周期 T2 l g B.让小球在垂直纸面内振动，周期 T2 3l 2g C.让小球在纸面内振动，周期 T2 3l 2g D.让小球在垂直纸面内振动，周期 T2 l g 答案 A 解析 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 l，周期 T2 l g； 让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为( 3 4 ll)，周期 T 2 3 4
9、 1l g ，A 正确，B、C、D 错误. 例 4 如图 5 所示，光滑轨道的半径为 2 m，C 点为圆心正下方的点，A、B 两点与 C 点相 距分别为 6 cm 与 2 cm，a、b 两小球分别从 A、B 两点由静止同时放开，则两小球相碰的位 置是( ) 图 5 A.C 点 B.C 点右侧 C.C 点左侧 D.不能确定 答案 A 解析 由于光滑轨道的半径远远大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆.因此周期 只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项 A 正确. 1.(对单摆回复力的理解)振动的单摆小球通过平衡位置时， 关于小球受到的回复力及合力的说 法中正确的是( ) A.回复力为零，合力
10、不为零，方向指向悬点 B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线 C.回复力就是合力 D.回复力为零，合力也为零 答案 A 解析 单摆的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平 衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)， 故 A 正确. 2.(单摆的周期公式)一单摆的摆长为 40 cm，摆球在 t0 时刻正从平衡位置向右运动，若 g 取 10 m/s2， 取 3.14，则在 1 s 时摆球的运动情况是( ) A.正向左做减速运动，加速度正在增大 B.正向左做加速运动，加速度正在减小 C.正向右做减速运动，加速度正在增大 D.正向右做
11、加速运动，加速度正在减小 答案 D 解析 由 T2 l g，代入数据得 T1.256 s，则 1 s 时，正处于第四个 1 4T 内，由左侧最大位 移处向平衡位置运动，即向右做加速运动，加速度正在减小，D 正确. 3.(单摆的周期公式)(2018 新余一中高二下学期段考)如图 6 所示，摆长为 l 的单摆放在倾角为 的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为( ) 图 6 A.T2 l g B.T2 l gcos C.T2 l gsin D.以上答案都不对 答案 C 4.(单摆的周期公式)有一单摆，其摆长 l1.02 m，摆球的质量 m0.10 kg，已知单摆做简谐 运动
12、，单摆 30 次全振动所用的时间 t60.8 s，试求： (1)当地的重力加速度约为多大( 取 3.14，结果保留三位有效数字)； (2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为 2 s)，摆长应怎样改变，改变约为多少.(结果保留两位有 效数字) 答案 (1)9.79 m/s2 (2)缩短 0.027 m 解析 (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T2 l g，由此可得g 42l T2 .因为Tt n 60.8 30 s 2.027 s，所以 g4 2l T2 43.14 21.02 2.0272 m/s29.79 m/s2. (2)秒摆的周期是 2 s，设其摆长为 l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动 规律有 T T0 l l0，故有：l0 T02l T2 2 21.02 2.0272 m0.993 m. 其摆长要缩短 lll01.02 m0.993 m0.027 m.