1、1.3 探究摆钟的物理原理探究摆钟的物理原理 1.4 探究单摆振动的周期探究单摆振动的周期 学习目标 1.理解单摆模型及其振动特点.2.理解单摆做简谐运动的条件， 知道单摆振动时回 复力的来源.3.知道相位的概念，知道同相振动与反相振动的步调特点.4.会用控制变量法探 究单摆的周期与哪些因素有关.5.掌握单摆的周期公式，掌握用单摆测定重力加速度的原理 和方法 1如图 1 所示，细线上端固定，下端系一小球，如果细线的伸缩可以忽略，细线的质量与 小球相比可以忽略， 小球的直径与细线的长度相比也可以忽略， 这样的装置就可看成单摆 单 摆在摆角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律 图 1 2相
2、是描述振动步调的物理量两个单摆振动步调一致，我们称为同相；两个单摆振动步 调正好相反，叫做反相 3单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，周期公式 T2 l g. 一、探究摆钟的物理原理 导学探究 一阵风吹过，大厅里的吊灯微微摆动起来，久久不停，伽利略就是通过观 察教堂吊灯摆动发现了吊灯摆动的等时性，惠更斯按照伽利略的构想，发明制作了一个摆 钟摆钟的往复运动是简谐运动吗？你能用所学的知识证明吗？ 答案 是简谐运动 证明：把摆钟等效成一个小球，当小球运动到图中的任意位置 P 时，小球受到的回复力是 小球所受重力 G 沿着圆弧切线方向的分力 G1， FG1mgsin .若摆角 很小，
3、 则有 sin OP l =，并且位移 xOP，考虑了位移和回复力的方向后，有 Fmgx l(“”表示回 复力 F 与位移 x 的方向相反)，m 是小球的质量，l 是摆长，g 是重力加速度，它们都有确定 的数值，mg l 可以用一个常数 k 来表示，则上式又可以写成 Fkx，也就是说，在摆角很小 时，小球所受到的回复力跟位移大小成正比而方向相反，所以小球做简谐运动 知识深化 1单摆 (1)模型：摆线是不可伸长，且没有质量的细线，摆球是没有大小只有质量的质点，这样的 装置叫单摆，它是实际摆的理想化模型 (2)实际摆看作单摆的条件：摆线的形变量与摆线的长度相比小得多，摆线的质量与摆球 的质量相比小
4、得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线 摆球直径的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点 2单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力 (2)回复力的特点：在摆角很小时，Fmg l x. (3)运动规律：在摆角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦(或余弦)函数规律 延伸思考 单摆经过平衡位置时，合外力为零吗？ 答案 不为零 单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力， 或者说是摆球所受合外力在切 线方向的分力摆球所受的合外力在法线方向(摆线方向)的分力提供摆球做圆周运动的向心 力， 所以并不是合外力完全用来提供回复力的 因此摆球经过平衡
5、位置时， 只是回复力为零， 而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力) 例 1 (多选)图 2 中 O 点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至 A 点，此时细线处 于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的 A、C 之间来回摆动，B 点为运动中的最低 位置，则在摆动过程中( ) 图 2 A摆球在 A 点和 C 点处，速度为零，合力也为零 B摆球在 A 点和 C 点处，速度为零，回复力最大 C摆球在 B 点处，速度最大，回复力也最大 D摆球在 B 点处，速度最大，细线拉力也最大 答案 BD 解析 摆球在摆动过程中，在最高点 A、C 处速度为零，回复力最大，合力不为零，故 A
6、 错 误，B 正确；在最低点 B 处，速度最大，回复力为零，摆球做圆周运动，细线的拉力最大， 故 C 错误，D 正确 二、研究振动的步调问题 导学探究 1如图 3 所示，在铁架台上悬挂两个相同的单摆，将两个摆球拉离平衡位置且保证摆角相 同，然后同时放开，可观察到什么现象？ 图 3 答案 它们的运动总是一致的，也可以说是步调一致，即同时沿相同方向经过平衡位置，并 同时达到同一侧最大位移处 2如图 4 所示，再将两个摆球拉开相同的摆角，先放开一个，等它摆到另一边最大位移处 时，再放开第二个，又可观察到什么现象？ 图 4 答案 它们的运动总是相反的，也可以说是步调相反，即同时沿相反方向经过平衡位置，
7、并 同时达到两侧最大位移处 知识深化 1相(或相位、位相、周相)：描述振动步调的物理量 (1)两个单摆振动步调一致，称为同相； (2)两个单摆振动步调不一致，就说它们存在着相差； (3)两个单摆振动步调正好相反，叫做反相 2相差：指两个相位之差 在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差， 反映出两简谐运动的步调差 异 例 2 (多选)如图 5 所示是在同一个坐标系里画出的三个振动系统的振动图像， 下列说法正 确的是( ) 图 5 Aa、b、c 三个振动系统的频率相同 Ba、b 两个系统振动时存在着相差 Ca、b 两个系统振动同相 Da、c 两个系统振动反相 答案 ACD 解析 由
8、题图可知，三个振动系统的周期相同，故频率相同，A 正确；a、b 两个系统振动 的振幅不同，但总是同时来到正向(或负向)的最大位移处，同时同方向经过平衡位置，故 a、 b 同相，B 错误，C 正确；a、c 两个系统总是同时来到反向的最大位移处，同时以相反方向 经过平衡位置，故 a、c 反相，D 正确 三、探究单摆振动的周期 导学探究 1如图 6 所示，两个单摆同时释放，我们可以观察到振动的周期不同影响周期的因素可 能有单摆的质量、振幅、摆长，这么多因素我们应采用什么方法研究？ 图 6 答案 控制变量法具体做法为： (1)只让两摆的质量不同(2)只让两摆的振幅不同(都在小摆角下)(3)只让两摆的摆
9、长不同 比较以上三种情况下两摆的周期，可以得到周期与质量、振幅、摆长之间的定性关系 2具体做法是什么？得出影响周期的因素是什么？ 答案 首先，研究周期和质量有没有关系，就应控制其他条件不变 做法： 用两个摆长相同， 摆球质量不同的单摆 将它们拉到同一个高度(注意摆角要小)释放， 观察两摆的运动 现象：两摆球摆动总是同步的，说明两摆球周期相同，即周期与摆球质量无关 其次，研究单摆的周期和振幅的关系 做法：用一个单摆，分两次从不同高度释放(振幅不同)，用秒表测量单摆振动 30 次所用时 间并比较两次所用时间 结论：两次所用时间近似相等，故周期与振幅无关 再次，研究单摆的周期和摆长的关系 做法：取两
10、个摆长不同，质量相同的两个摆球从同一高度同时释放，观察两摆的运动 现象：两摆振动不同步，摆长大的振动慢，说明单摆的周期与摆长有关 由此可知单摆的周期与摆球质量、振幅无关，与摆长有关 知识深化 1单摆的周期公式 T2 l g. 2摆长 l (1)实际的单摆的摆球不可能是质点， 所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度： 即 lld 2， l为摆线长，d 为摆球直径 (2)等效摆长：如图 7 所示，甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆 长为 lsin ，这就是等效摆长，所以其周期为 T2 lsin g . 图 7 3重力加速度 g 若系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的地
11、理位置决定，即 gGM R2 ，式中 R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所处地表的位置和高度的变化而变化另外， 在不同星球上，M 和 R 一般不同，g 也不同，g 取 9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值 例 3 如图 8 所示，单摆的周期为 T，则下列说法正确的是( ) 图 8 A把摆球质量增加一倍，其它条件不变，则单摆的周期变小 B把摆角 变小，其它条件不变，则单摆的周期变小 C将此摆从地球移到月球上，其它条件不变，则单摆的周期将变长 D将单摆摆长增加为原来的 2 倍，其它条件不变，则单摆的周期将变为 2T 答案 C 解析 根据单摆的周期公式 T2 l g知，周期与摆球
12、的质量和摆角无关，摆长增加为原来 的 2 倍，周期变为原来的 2倍，故 A、B、D 错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的 重力加速度，由周期公式 T2 l g知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C 正确 四、测定当地的重力加速度 导学探究 在地球表面，不同纬度重力加速度不同，不同高度重力加速度不同，利用本学 案的知识怎样测出当地的重力加速度？ 答案 由单摆周期公式得 g4 2l T2 ，如果测出单摆的摆长 l、周期 T，就可以求出当地的重力 加速度 g. 知识深化 1原理：测出摆长 l、周期 T，代入公式 g4 2l T2 ，求出重力加速度 g. 2器材：铁架台及铁夹，金属小球(有
13、孔)、停表、细线(1 m 左右)、米尺、游标卡尺 3实验步骤 (1)让细线穿过金属小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆 (2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上 端固定在铁夹上，使摆球自由下垂在单摆平衡位置处做上标记 (3)用米尺量出悬线长 l(准确到 mm)，用米尺和三角板(或游标卡尺)测出摆球的直径 d，然 后计算出悬点到球心的距离 lld 2即为摆长 (4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于 5 ，再释放小球当小球摆动 稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动 30 次(或 50 次)的时间
14、，求 出一次全振动的时间，即单摆的振动周期 (5)改变摆长，反复测量三次，算出周期 T 及测得的摆长 l 代入公式 g4 2l T2 ，求出重力加速 度 g 的值，然后求 g 的平均值，即为当地的重力加速度的值 4五点注意 (1)选择材料时应选择细而不易伸长的线， 比如用单根尼龙丝、 丝线等， 长度一般不应短于 1 m， 小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过 2 cm. (2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、 摆长改变的现象 (3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小 (4)小球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆
15、方法是将小球拉到一定 位置后由静止释放 (5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通 过最低点时计数，要多测几次(如 30 次或 50 次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期 例 4 下表是“用单摆测定重力加速度”实验中获得的有关数据： 摆长 l/m 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 周期平方 T2/s2 1.6 2.2 2.4 3.2 4.0 4.8 (1)利用上述数据，在图 9 中描出 lT2的图像 图 9 (2)利用图像，取 T25.2 s2时，l_ m，重力加速度 g_ m/s2. 答案 (1)见解析图 (2)1.3 9.86 解析
16、 (1)描点作图如图所示 (2)由图可知，当 T25.2 s2时，l1.3 m，将它代入 g4 2l T2 得：g4 2l T2 43.14 21.3 5.2 m/s2 9.86 m/s2. 单摆 单摆模型 与摆线质量相比摆球质量很小可忽略 与摆球直径相比摆线的长度很小可忽略 摆线形变可忽略 单摆的运动特点 简谐运动摆角很小时 回复力：由重力沿切线方向的分力提供 相 同相 反相 单摆的周期公式：T2 l g 用单摆测定重力加速度 1(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A摆线质量不计 B摆线长度不伸缩 C摆球的直径比摆线长度短得多 D只要是单摆的运动就是一种简谐运
17、动 答案 ABC 解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不 伸缩但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(5 )的情况下才能视 单摆运动为简谐运动，故正确答案为 A、B、C. 2单摆振动的回复力是( ) A摆球所受的重力 B摆球重力在垂直悬线方向上的分力 C悬线对摆球的拉力 D摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力 答案 B 解析 摆球振动的回复力是其重力沿圆弧切线方向的分力， 即摆球重力在垂直悬线方向上的 分力，B 正确 3已知单摆 a 完成 10 次全振动的时间内，单摆 b 完成 6 次全振动，两摆长之差为 1.6 m， 则两单摆摆长 la与
18、 lb分别为( ) Ala2.5 m，lb0.9 m Bla0.9 m，lb2.5 m Cla2.4 m，lb4.0 m Dla4.0 m，lb2.4 m 答案 B 解析 设两个单摆的周期分别为 Ta和 Tb，由题意 10Ta6Tb，得 TaTb35. 根据单摆周期公式 T2 l g，可知 l g 42T 2， 由此得 lalbT 2 aT 2 b925.则 la 9 2591.6 m0.9 m，lb 25 2591.6 m2.5 m. 4用单摆测定重力加速度，根据的原理是( ) A由 g4 2l T2 看出，T 一定时，g 与 l 成正比 B由 g4 2l T2 看出，l 一定时，g 与 T2成反比 C由于单摆的振动周期 T 和摆长 l 可用实验测定，利用 g4 2l T2 可算出当地的重力加速度 D同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比 答案 C 解析 g 是由所处的地理位置的情况来决定的，与 l 及 T 无关，故只有 C 正确