1、12.2.3 分层抽样和系统抽样分层抽样和系统抽样 学习目标 1.了解系统抽样、分层抽样的方法.2.记住系统抽样和分层抽样的适用范围.3.掌握 系统抽样、分层抽样的步骤及三种抽样之间的关系 知识链接 1某数学老师为了了解学生对授课快慢的意见，决定选择 6 名同学进行调查，你认为是随机 选取好，还是通过学号选择第 1,11,21,31,41,51 号好？ 2 同学们经常玩“剪子、 包袱、 锤”的游戏， 若从 3 位同学中选出 1 位同学去参加某项活动， 先通过“剪子、包袱、锤”筛掉 1 位同学，这样对筛掉的同学公平吗？ 预习导引 1分层抽样的概念 (1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不相交
2、的子总体(层)，然后按照一定比例，从各 层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层 抽样 (2)层权：用 N 表示总体 A 的个体总数，用 Ni表示第 i 层的个体总数时，有 NN1N2 NL，则 WiNi N，(i1，2，L)称为第 i 层的层权 (3)简单估计：X W1x 1W2x 2WLx L称为总体 的简单估计(其中 表示总体 A 的总体 均值，x i (i1，2，L)表示从第 i 层抽出样本的样本均值) 2系统抽样 (1)如果总体中的个体按一定的方式排列，在规定的范围内随机抽取一个个体，然后按照制定 好的规则确定其他个体的抽样方法称为系统抽样方法
3、 (2)最简单的系统抽样：取得一个个体后，按相同的间隔抽取其他个体. 题型一 分层抽样概念的理解 例 1 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( ) A从 10 名同学中抽取 3 人参加座谈会 B某社区有 500 户家庭，其中高收入的家庭 125 户，中等收入的家庭 280 户，低收入的家 庭 95 户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 的样本 C从 1000 名工人中，抽取 100 人调查上班途中所用时间 D从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 答案 B 解析 A 中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 和 D 中总体所含个体 无差异且个数较多，
4、适合用系统抽样；B 中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样 规律方法 判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点： (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况 (2)能更充分地反映总体的情况 (3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等 跟踪演练 1 某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面 是否存在显著差异， 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查， 则宜采用的抽样方法是( ) A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 答案 D 解析 由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方 法 题型二 分层抽样的应用
5、 例 2 一个单位有职工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，35 岁至 49 岁的有 280 人，50 岁 及 50 岁以上的有 95 人， 为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标， 要从中抽取 100 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解 用分层抽样来抽取样本，步骤是： (1)分层按年龄将职工分成三层：不到 35 岁的职工；35 岁至 49 岁的职工；50 岁及 50 岁以 上的职工 (2)确定每层抽取个体的个数 抽样比为100 500 1 5， 则在不到 35 岁的职工中抽 125 1 525(人)； 在 35 岁至 49 岁的职工中抽 2801
6、556(人)； 在 50 岁及 50 岁以上的职工中抽 951 519(人) (3)在各层分别用抽签法或随机数表法抽取样本 (4)综合每层抽样，组成样本 规律方法 利用分层抽样抽取样本的操作步骤为： (1)将总体按一定标准进行分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比(或计算抽样比样本容量 总体容量)； (3)按各层的个体数占总体的比(或按抽样比)确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本 跟踪演练 2 某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表，现用分层抽样的方法在全 校抽取 64 名学生，则应
7、在三年级抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 380 y 男生 377 370 z A.24B18C16D12 答案 C 解析 一、二年级的人数为 7507501500，所以三年级人数为 20001500500.又 6420004125，因此三年级应抽取人数为 500 4 12516. 题型三 系统抽样概念的理解 例 3 下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是( ) A从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取 5 个入样 B一个城市有 210 家超市，其中大型超市 20 家，中型超市 40 家，小型超市 150 家为了 掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为 21
8、的样本 C从参加竞赛的 1500 名初中生中随机抽取 100 人分析试题作答情况 D从参加期末考试的 2400 名高中生中随机抽取 10 人了解某些情况 答案 C 解析 A 总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B 总体中的个体有明显的层次， 不适宜用系统抽样法；C 总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D 总体容量较 大，样本容量较小，可用随机数表法故选 C. 规律方法 系统抽样适用于个体数较多的总体.判断一种抽样是否为系统抽样， 首先看在抽样 前是否知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证 每个个体被抽到的可能性相等 跟踪演练 3 下列抽样方
9、法不是系统抽样的是( ) A 从标有 115 号的 15 个球中， 任选三个作样本， 按从小号到大号的顺序， 随机选起点 i0， 以后选 i05，i010(超过 15 则从 1 再数起)号入选 B工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每 隔五分钟抽一件产品进行检验 C做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调 查人数为止 D电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 答案 C 解析 A 编号间隔相同，B 时间间隔相同，D 相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样 的特征只有 C 项无明
10、显的系统抽样的特征 题型四 系统抽样的应用 例 4 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的 15000 名学 生的数学成绩中抽取容量为 150 的样本请用系统抽样写出抽取过程 解 (1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，15000. (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是 1100，所以我们将总体平均分为 150 个部分，其 中每一部分包含 100 个个体 (3)在第一部分即 1 号到 100 号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是 56. (4)以 56 作为起始数，然后顺次抽取 156,256,356，14956，这样就得到一个容量为 150 的样本 规
11、律方法 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔 kN n；当用系统抽样抽取样本时，通 常是将起始数 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(lk)，再加 k 得到第 3 个个体编号(l2k)， 依次进行下去，直到获取整个样本 跟踪演练 4 从编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射 试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是 ( ) A5,10,15,20,25B3,13,23,33,43 C1,2,3,4,5D2,4,8,16,32 答案 B 解析 据题意从 50 枚中抽取 5 枚，故分段间隔 k50 5 1
12、0，故只有 B 符合条件 课堂达标 1为了解 1200 名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为 40 的样本，考 虑采用系统抽样，则分段间隔 k 为( ) A10B20C30D40 答案 C 解析 分段间隔 k1200 40 30. 2某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件、80 件、60 件为了 解它们的产品质量是否存在显著差异， 用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查， 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n 等于( ) A9B10C12D13 答案 D 解析 依题意得 3 60 n 1208060，故 n13. 3要从 160 名
13、学生中抽取容量为 20 的样本，用系统抽样法将 160 名学生从 1160 编号，按 编号顺序平均分成 20 组(18 号， 916 号， ， 153160 号)， 若第 16 组抽出的号码为 125， 则第一组中抽出的号码是( ) A7B5C4D3 答案 B 解析 由系统抽样知第一组确定的号码是 1251585. 4从高一八班 42 名学生中，抽取 7 名学生了解本次考试数学成绩状况，已知本班学生学号 是 142 号，现在该班数 学老师已经确定抽取 6 号，那么，用系统抽样法确定其余学生号码为_ 答案 12,18,24,30,36,42 5某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较
14、大差异为了解客户的评价， 该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则 最合适的抽样方法是_ 答案 分层抽样 解析 因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样， 才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价 课堂小结 1对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解： (1) 样本容量n 总体的个数N 各层抽取的个体数 该层的个体数 ； (2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比 2体会系统抽样的概念，其中关键因素是“分组”，否则不是系统抽样系统抽样适用于总 体中的个体较多的情况，因为这时采用简单随机抽样显得不方便 3解决系统抽样问题的两个关键步骤为 (1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本 (2)用系统抽样法抽取样本，当N n不为整数时，先从总体中用简单随机抽样的方法剔除若干多 余的个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性