1、13.2.2 几何概率几何概率 学习目标 1.了解几何概率与古典概型的区别.2.理解几何概率的定义及其特点.3.会用几何概 率的计算公式求几何概率 知识链接 1三角形的面积 S1 2ah(其中底为 a，高为 h)；圆的面积 Sr 2. 2棱锥的体积 V1 3Sh；棱柱的体积 VSh；球的体积 V 4 3r 3. 预习导引 1几何概率定义 1 设试验的全集 是长度为正数的区间， A 是 的子区间 如果试验的结果随机地落在 中， 则称 P(A)A的长度 的长度为事件 A 的概率 2几何概率定义 2 设试验的全集 是面积为正数的区域， A 是 的子区域 如果试验的结果随机地落在 中， 则称 P(A)
2、A的面积 的面积为事件 A 的概率 3.几何概率定义 3 设试验的全集是体积为正数的区域，A 是的子区域.如果试验的结果随机地落在中，则 称 P(A)A的体积 的体积为事件 A 的概率. 4几何概率的基本性质 (1)0P(A)1； (2)P()1；P()0； (3)如果 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)； (4)P(A)P(A)1. 题型一 与长度有关的几何概率 例 1 取一根长为 5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 2m 的概 率有多大？ 解 如图所示记“剪得两段绳长都不小于 2m”为事件 A.把绳子五等分，于是当剪断位置 处在中间一段上时，事件 A 发
3、生由于中间一段的长度等于绳长的1 5，所以事件 A 发生的概 率 P(A)1 5. 规律方法 1.解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件 A 包含的基本事件转化为相应的 长度，进而求解 2在求解与长度有关的几何概率时，首先找到试验的全部结果构成的区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段， 然后找到事件 A 发生对应的区域 d， 在找 d 的过程中， 确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率 跟踪演练 1 两根相距 6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都 大于 2m 的概率 解 记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A，则 P(A
4、)2 6 1 3. 题型二 与面积有关的几何概率 例 2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长 30m，宽 20m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不 超过 2m 的概率 解 如图所示，区域 是长 30m、宽 20m 的长方形图中阴影部分表示事件 A：“海豚嘴尖离岸 边不超过 2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率 由于区域 的面积为 3020600(m2)，阴影部分的面积为 30202616184(m2) 所以 P(A)184 600 23 75， 即海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率为23 75. 规律方法 解此类几何概率问题的关键是： (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概
5、率问题 (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从 而求得随机事件的概率 跟踪演练 2 如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖 范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常) 若 在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) A1 4 B. 21 C2 2 D. 4 答案 A 解析 由几何概率知所求的概率 PS 图形DEBF S矩形ABCD 21121 42 21 1 4. 题型三 与体积有关的几何概率 例 3 一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，
6、若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正 方体 6 个面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率 解 依题意，在棱长为 3 的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于 1，则满足题 意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为 1 的小正方体由几何概率的计算公式，可 得满足题意的概率为 P1 3 33 1 27. 规律方法 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选 择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件 A 所占的区域体积其概率的计算 公式为 P(A) 构成事件A的区域体积 试验的全部结果构成的区域体积. 跟踪演练 3 本例条件不变，求这
7、个蜜蜂到正方体某一顶点 A 的距离小于1 3的概率 解 到 A 点的距离小于1 3的点，在以 A 为球心，半径为 1 3的球内部，而点又必须在已知正方体 内，则满足题意的 A 点的区域体积为4 3 1 3 31 8. P 4 3 1 3 31 8 33 237. 课堂达标 1下列关于几何概率的说法错误的是( ) A几何概率也是古典概型中的一种 B几何概率中事件发生的概率与位置、形状无关 C几何概率中每一个结果的发生具有等可能性 D几何概率在一次试验中能出现的结果有无限个 答案 A 解析 几何概率与古典概型是两种不同的概型 2面积为 S 的ABC，D 是 BC 的中点，向ABC 内部投一点，那么
8、点落在ABD 内的概率 为( ) A.1 3B. 1 2C. 1 4D. 1 6 答案 B 解析 向ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概率设点落在ABD 内为事件 M， 则 P(M)ABD的面积 ABC的面积 1 2. 3如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一 粒豆子，它落在阴影区域内的概率为2 3，则阴影区域的面积为( ) A.4 3 B. 8 3 C.2 3 D无法计算 答案 B 解析 由几何概率的计算公式知S 阴 S正 2 3，所以 S 阴2 3 S 正8 3. 4当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间
9、为 45 秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A. 1 12 B. 3 8 C. 1 16 D. 5 6 答案 C 解析 由题意可知在 80 秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出 现的，符合几何概率的条件事件“看到黄灯”的时间长度为 5 秒，而整个灯的变换时间长 度为 80 秒，据几何概率计算公式，得看到黄灯的概率为 P 5 80 1 16. 5在 1000mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出 3mL 水样放到显微镜下观察，则发现草 履虫的概率是_ 答案 3 1000 解析 由几何概率知，P 3 1000. 课堂小结 1几何概率适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型 2几何概率主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目 3注意理解几何概率与古典概型的区别 4理解如何将实际问题转化为几何概率的问题，利用几何概率公式求解，概率公式为 P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.