1、132 概率及其计算概率及其计算 13.2.1 古典概率模型古典概率模型 学习目标 1.理解古典概型的定义，会判断某事件是否为古典概型.2.掌握古典概型的概率公 式、概率的加法公式、对立事件的概率公式，并会应用它们解决有关的实际问题 知识链接 1在区间0,10上任取一个实数，有无数种取法；若任取一个正整数，有 10 种不同的取法 2已知圆的方程为 x2y21，点 P(x0，y0)，当 x20y201 时，点在圆外；当 x20y201 时， 点在圆上；当 x20y201 时，点在圆内 3集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 AB AB 若全集为 U，则集合 A 的补集为
2、UA 图形 表示 意义 x|xA，或 xB x|xA，且 xB x|xU，且 xA 预习导引 1古典概型 设试验的全集 有 n 个元素，且每个元素发生的可能性相同当 的事件 A 包含了 m 个元 素时，称 P(A)m n为事件 A 发生的概率，简称为 A 的概率，称这个模型是古典概型 2概率的性质 概率有如下的简单性质： (1)0P(A)1(概率总是0，1中的数)； (2)P()1(必然事件的概率是 1)； (3)P()0(不可能事件的概率是零) 3概率的加法公式：如果 的事件 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) 4对立事件的概率公式：如果 A 是全集 的事件，则 P(A)1P(A)
3、 题型一 基本事件的计数问题 例 1 列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数 (1)从字母 a，b，c 中任意取出两个字母的试验； (2)从装有形状、 大小完全一样且分别标有 1,2,3,4,5号的 5 个球的袋中任意取出两个球的试验 解 (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件， 分别是(a， b)， (a， c)， (b， c)，共 3 个 (2)从袋中取两个球的等可能结果为： 球 1 和球 2，球 1 和球 3，球 1 和球 4，球 1 和球 5， 球 2 和球 3，球 2 和球 4，球 2 和球 5，球 3 和球 4， 球 3 和球 5，球 4 和球 5.故共
4、有 10 个基本事件 规律方法 1.求基本事件的基本方法是列举法 基本事件具有以下特点： 不可能再分为更小的随机事件； 两个基本事件不可能同时发生 2当基本事件个数较多时还可应用列表或树形图求解 跟踪演练 1 做投掷 2 颗骰子的试验， 用(x， y)表示结果， 其中 x 表示第一颗骰子出现的点数， y 表示第 2 颗骰子出现的点数写出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于 8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和等于 7” 解 (1)这个试验的基本事件共有 36 个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1
5、)， (2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， (4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)， (6,6) (2)“出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6) (3)“出现点数相等”包含以下 6 个基本事件：(1,1)，(
6、2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6) (4)“出现点数之和等于 7”包含以下 6 个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1) 题型二 利用古典概型公式求概率 例 2 甲、 乙两人参加法律知识竞答， 共有 10 道不同的题目， 其中选择题 6 道， 判断题 4 道， 甲、乙两人依次不放回地各抽一道题 (1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有 1 人抽到选择题的概率是多少？ 解 甲、 乙两人从 10 道题中不放回地各抽一道题， 先抽的有 10 种抽法， 后抽的有 9 种抽法， 故所有可能的抽法是 10990
7、(种)，即基本事件总数是 90. (1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件 A，下面求事件 A 包含的基本事件数： 甲抽到选择题有 6 种抽法， 乙抽到判断题有 4 种抽法， 所以事件 A 的基本事件数为 6424. P(A)24 90 4 15. (2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两 人都未抽到选择题”，即都抽到判断题 记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B，“至少一个人抽到选择题”为事件 C，则 B 包含 的基本事件数为 4312. 由古典概型概率公式得 P(B)12 90 2 15， P(C)1P(B)1 2 15 13 15. 规律方
8、法 1.古典概型求法步骤： (1)确定等可能基本事件总数 n； (2)确定所求事件包含基本事件数 m； (3)P(A)m n. 2使用古典概型概率公式应注意： (1)首先确定是否为古典概型； (2)A 事件是什么，包含的基本事件有哪些 跟踪演练 2 一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球， 从中摸出 2 个球求： (1)基本事件总数； (2)事件“摸出 2 个黑球”包含多少个基本事件？ (3)摸出 2 个黑球的概率是多少？ 解 由于 4 个球的大小相等，摸出每个球的可能性是相等的，所以是古典概型 (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有 4 个球的口袋内摸出 2
9、个球，所有基本事件构成集 合 (黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，其中共 有 6 个基本事件 (2)事件“摸出 2 个黑球”(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)，共 3 个基本事件 (3)基本事件总数 n6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数 m3，故 P1 2. 题型三 互斥、对立事件的概率求法 例 3 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他乘某种交通工具的概率为 0.5，请问他有可能乘哪种交通工
10、具？ 解 记“他乘火车”为事件 A，“他乘轮船”为事件 B，“他乘汽车”为事件 C，“他乘飞 机”为事件 D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥， （1）P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7， 即他乘火车或乘飞机去的概率为 0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为 P，则 P1P(B)10.20.8， 所以他不乘轮船去的概率为 0.8. (3)由于 P(A)P(B)0.30.20.5， P(C)P(D)0.10.40.5， 故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去 规律方法 1.互斥事件的概率的加法公式 P(AB)P(A)P(B) 2对于一个较复杂的事件，一般将其分解
11、成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事 件的概率就是这些简单事件的概率的和 3当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过 求其反面，然后转化为所求问题 跟踪演练 3 甲、乙两人下棋，和棋的概率为1 2，乙获胜的概率为 1 3，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率 解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件， 所以“甲获胜”的概率 P11 2 1 3 1 6， 即甲获胜的概率是1 6. (2)法一 设事件 A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并集， 所以 P(A)1 6 1 2 2 3. 法二 设事件 A 为“甲不输
12、”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以 P(A)11 3 2 3，即 甲不输的概率是2 3. 课堂达标 1下列试验中，是古典概型的有( ) A种下一粒种子观察它是否发芽 B从直径为 250mm 0.6mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径 d C抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D某人射击中靶或不中靶 答案 C 解析 古典概型有两大特征，即(1)有限性，试验中所有可能出现的基本事件有有限个；(2) 等可能性，每个基本事件出现的可能性相等上述选项中，只有 C 具有上述特征 2P(A)0.1，P(B)0.2，则 P(AB)等于( ) A0.3B0.2C0.1D不确定 答案 D 解析 由于不能
13、确定 A 与 B 互斥，则 P(AB)的值不能确定 3若 A，B 是互斥事件，则( ) AP(AB)1DP(AB)1 答案 D 解析 A，B 互斥，P(AB)P(A)P(B)1 (当 A，B 对立时，P(AB)1) 4甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.1 6B. 1 2C. 1 3D. 2 3 答案 C 解析 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中 间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共 2 个，所以甲站在中间的概率：P2 6 1 3. 5从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是_ 答案 0.2 解析 两数之和等于
14、5 有两种情况(1,4)和(2,3)， 总的基本事件有(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共 10 种，所以 P 2 100.2. 课堂小结 1古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经 常遇到的题型解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用 公式 P(A)m n时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，从而求出 m，n. 2求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法 (画树状图和列表)，注意做到不重不漏 3对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难 度