1、第一章 计数原理 章末复习学习目标1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会利用两种原理解决一些实际问题.2.理解排列数和组合数公式的推导过程，掌握排列组合在实际问题中的应用.3.掌握二项式定理和二项展开式的性质一、计数原理1分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法2分步乘法计数原理完成一件事需要n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法二、排列、组合排列数与组合数公式及性质排列与
2、排列数组合与组合数公式排列数公式An(n1)(n2)(nm1)组合数公式C性质当mn时，A为全排列；An！；0！1CC1；CC；CCC备注n，mN，且mn三、二项式定理1二项式定理的内容：(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn (nN)2通项公式：Tr1Canrbr，r0,1,2，n3二项式系数的性质：(1)与首末两端等距离的两个二项式系数相等(2)若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数相等且最大(3)CCCC2n；CCCC2n1.类型一数学思想方法在求解计数问题中的应用例1车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又
3、能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解方法一设A，B代表2位老师傅A，B都不在内的选派方法有CC5(种)，A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC10(种)，A，B都在内且当车工的选派方法有CCC30(种)，A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC80(种)，A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC20(种)，A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC40(种)，所以共有CCCCCCCCACCCCCCCC185(种)方法二5名男钳工有4名被选上的方法有CCCCCCCC75(种)，5名男钳工有
4、3名被选上的方法有CCCCCA100(种)，5名男钳工有2名被选上的方法有CCC10(种)，所以共有7510010185(种)方法三4名女车工都被选上的方法有CCCCCCCC35(种)，4名女车工有3名被选上的方法有CCCCCA120(种)，4名女车工有2名被选上的方法有CCC30(种)，所以共有3512030185(种)反思与感悟解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)跟踪训练1从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1
5、和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，那么这样不同的三位数共有_个(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类分三类：没有数字1和3时，有A个；只有1和3中的一个时，有2A个；同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有CC个所以满足条件的三位数共有A2ACC60(个)例2设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3满足a1a26包含的情况较少，当a39时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决集合S的含有三个元
6、素的子集的个数为C84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1a26的集合只有1,2,9，故满足题意的集合A的个数为84183.反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考跟踪训练2由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有_种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案30解析从4人中选出两个人作为一个元素有C种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有CA36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A种方法，不同的参赛方案共有36630(种)类型二
7、排列与组合的综合应用例3在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A24(种)方法根据分步乘法计数原理，一共有5 04024120 960(种)安排顺序(2
8、)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“”)，一共有A720(种)方法第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置)这样相当于7个“”选4个来排，一共有A840(种)方法根据分步乘法计数原理，一共有720840 604 800(种)安排顺序(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A132(种)排列反思与感悟排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏在用间接
9、法计数时，要注意考虑全面，排除干净跟踪训练3在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”，比如：“102”“546”为驼峰数，由数字1,2,3,4,5这5个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为_考点排列的应用题点数字的排列问题答案30解析三位“驼峰数”中1在十位的有A个，2在十位上的有A个，3在十位上的有A个，所以所有的三位“驼峰数”的十位上的数字之和为121622330.类型三二项式定理及其应用例4已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是563.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求展开式中系数绝对值最大的项；(3)求n9C81C9n1C的值考
10、点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用解(1)由C(2)4C(2)2563，解得n10(负值舍去)，通项为Tr1C()10rr(2)rC，当5为整数时，r可取0,6，于是有理项为T1x5和T713 440.(2)设第r1项系数的绝对值最大，则解得又因为r1,2,3，9，所以r7，当r7时，T815 360，又因为当r0时，T1x5，当r10时，T11(2)101 024，所以系数的绝对值最大的项为T815 360.(3)原式109C81C9101C.反思与感悟(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素(2)确定二项展开式中的常数项：先写
11、出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质跟踪训练4已知二项式n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍(1)求n；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中所有有理项考点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用解(1)令x1得二项式n展开式中各项系数之和为(51)n4n，各项二项式系数之和为2n，由题意得，4n162n，所以2n16，
12、n4.(2)通项Tr1C(5x)4rr(1)rC54r，展开式中二项式系数最大的项是第3项：T3(1)2C52x150x.(3)由(2)得4rZ(r0,1,2,3,4)，即r0,2,4，所以展开式中所有有理项为T1(1)0C54x4625x4，T3(1)2C52x150x，T5(1)4C50x2x2.例5若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10.(1)求a2；(2)求a1a2a10；(3)求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)2.考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题解(1)(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展开式中x2的系数，a2C(1)5C(2)3C
13、(1)4C(2)4C(1)3C(2)5800.(2)令x1，代入已知式可得，a0a1a2a100，而令x0，得a032，a1a2a1032.(3)令x1可得，(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65，再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0，把这两个等式相乘可得，(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.反思与感悟与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式
14、子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果跟踪训练5若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，则a1a2a3a11的值为_考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题答案5解析令x2，得a0(221)(23)95，令x3，则a0a1a2a3a11(321)(33)90，所以a1a2a3a11a05.1设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为()A(34，3
15、4) B(43，34)C(34，43) D(A，A)考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案C解析由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，根据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果故选C.25名大人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有()AAA种 BAA种CAA种 DA4A种考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案A解析先排大人，有A种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A种排法，由分步乘法计数原理可知，有AA
16、种不同的排法，故选A.3我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()A72 B108 C180 D216考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案C解析根据题意，分析可得，必有2人参加同一社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A24(种)情况，若甲是1个人参加一个社团，则有CA36(种)情况
17、，则除甲外的4人有243660(种)情况，故不同的参加方法的种数为360180，故选C.4(x2y)6的展开式中，x4y2的系数为()A15 B15 C60 D60考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案C解析(x2y)6展开式的通项为Tr1Cx6r(2y)r，令r2，得T3Cx4(2y)260x4y2，所以x4y2的系数为60，故选C.5若n的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为_考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案448解析由题意得所以n7，a1，所以7展开式的通项为Tr1C(2)7rrC27r(1)r，令2，得r1.所以
18、x2的系数为C26(1)1448.1排列与组合(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配2二项式定理(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r1项的通项公式是Tr1Canrbr(r0,1，n)，其中二项式系数是C，而不是C，这是一个极易错点(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法