1、5 二项式定理二项式定理 51 二项式定理二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 知识点 二项式定理及其相关概念 思考 1 我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4 的展开式 答案 (ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4. 思考 2 能用类比方法写出(ab)n(nN)的展开式吗？ 答案 能，(ab)nC0nanC1nan 1bCr na nrbrCn nb n (nN ) 梳理 二项式定理 公式(ab)n
2、C0nanC1nan 1bCr na nrbrCn nb n，称为二项式 定理 二项展开式 等号右边的式子叫作(ab)n的二项展开式 二项式系数 各项的系数 Crn(r0,1,2，n)叫作二项式系数 二项式通项 式中 Crnan rbr 叫作二项展开式的第 r1 项，又叫作二项式通项 在二项式定理中，若 a1，bx，则(1x)n1C1nxC2nx2Crnxrxn. 1(ab)n展开式中共有 n 项( ) 2在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响( ) 3Crnan rbr 是(ab)n展开式中的第 r 项( ) 4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同( ) 类型一 二项式
3、定理的正用、逆用 例 1 (1) 3 x 1 x 4的二项展开式为_ 考点 二项式定理 题点 运用二项式定理求展开式 答案 81x2108x5412 x 1 x2 解析 方法一 3 x 1 x 4(3 x)4C1 4(3 x) 3 1 x C24(3 x)2 1 x 2C3 4(3 x) 1 x 3C4 4 1 x 481x2108x5412 x 1 x2. 方法二 3 x 1 x 4 3x1 x 41 x2(13x) 41 x2 1C 1 4 3xC 2 4(3x) 2C3 4(3x) 3C4 4(3x) 41 x2 (112x54x2108x381x4) 1 x2 12 x 54108x8
4、1x2. (2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n 1C2 n(x1) n2(1)kCk n(x1) nk(1)nCn n. 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式C0n(x1)nC1n(x1)n 1(1)C2 n(x1) n2(1)2Cr n(x1) nr(1)rCn n (1)n(x1)(1)nxn. 引申探究 若(1 3)4ab 3(a，b 为有理数)，则 ab_. 答案 44 解析 (1 3)41C14( 3)1C24( 3)2C34( 3)3C44( 3)414 318 12 392816 3，a28，b16，ab281644. 反思与感悟 (1)(ab)n的
5、二项展开式有 n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各 项的次数和等于 n；字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向 二项展开式的形式靠拢 跟踪训练 1 化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1. 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式C05(2x1)5C15(2x1)4C25(2x1)3C35(2x1)2C45(2x1)C55(2x1)0(2x 1)15(
6、2x)532x5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式 3 x 2 3x 10. (1)求展开式第 4 项的二项式系数； (2)求展开式第 4 项的系数； (3)求第 4 项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 3 x 2 3x 10的展开式的通项是 Tr1Cr10(3 x)10 r 2 3x rCr 103 10r 2 3 r 10 3 2 r x (r0,1,2，10) (1)展开式的第 4 项(r3)的二项式系数为 C310120. (2)展开式的第 4 项的系数为 C31037 2 3 377 760. (
7、3)展开式的第 4 项为 T4T3177 760 x. 反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Crn(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的 系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念 (2)第 r1 项的系数是此项字母前的数连同符号， 而此项的二项式系数为 Crn.例如， 在(12x)7 的展开式中，第四项是 T4C3717 3(2x)3，其二项式系数是 C3 735，而第四项的系数是 C 3 72 3 280. 跟踪训练 2 已知 x2 x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162. (1)求 n 的值； (2)求展开式中含 x3的项，并指出
8、该项的二项式系数 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 (1)因为 T3C2n( x)n 2 2 x 24C2 n 6 2 n x ， T2C1n( x)n 1 2 x 2C1n 3 2 n x ， 依题意得 4C2n2C1n162，所以 2C2nC1n81， 所以 n281，nN，故 n9. (2)设第 r1 项含 x3项，则 Tr1Cr9( x)9 r 2 x r(2)rCr 9 9 3 2 r x ，所以93r 2 3，r1， 所以第二项为含 x3的项为 T22C19x318x3. 二项式系数为 C199. 命题角度2 展开式中的特定项 例 3 已知在 3
9、x 3 3 x n的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 解 通项公式为 Tr1Crn 3 n r x (3)r 3 r x Crn(3)r 2 3 nr x . (1)第 6 项为常数项，当 r5 时，有n2r 3 0，即 n10. (2)令102r 3 2，得 r1 2(106)2， 所求的系数为 C210(3)2405. (3)由题意得， 102r 3 Z， 0r10， rN. 令102r 3 t(tZ)， 则 102r3t，即 r53 2t.rN，t 应为偶数
10、 令 t2,0，2，即 r2,5,8. 第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，61 236,295 245x 2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 求第 r 项，TrCr 1 n an r1br1；求含 xk 的项(或 xpyq的项)；求常数项；求有理项 (2)求二项展开式的特定项的常用方法 对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)； 对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问 题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性 来求解； 对于二项展开式中的整式项， 其
11、通项公式中同一字母的指数应是非负整数， 求解方式与求 有理项一致 跟踪训练 3 (1)若 xa x 9的展开式中 x3的系数是84，则 a_. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1 解析 展开式的通项为 Tr1Cr9x9 r(a)r 1 x rCr 9 (a) rx92r(0r9，rN)当 92r3 时，解得 r3，代入得 x3的系数，根据题意得 C39(a)384，解得 a1. (2)已知n为等差数列4， 2,0， 的第六项， 则 x2 x n的二项展开式的常数项是_ 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160 解析 由题
12、意得 n6，Tr12rCr6x6 2r，令 62r0 得 r3，常数项为 C3 62 3160. 1(x2)n的展开式共有 11 项，则 n 等于( ) A9 B10 C11 D8 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B 解析 因为(ab)n的展开式共有 n1 项，而(x2)n的展开式共有 11 项，所以 n10，故选 B. 212C1n4C2n8C3n(2)nCnn等于( ) A1 B1 C(1)n D3n 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C 解析 逆用二项式定理， 将 1 看成公式中的 a， 2 看成公式中的 b， 可得原式(1
13、2)n( 1)n. 3已知 x21 x n的展开式中，常数项为 15，则 n 的值为( ) A3 B4 C5 D6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D 解析 展开式的通项为 Tr1Crn(x2)n r (1)r 1 x r(1)rCr nx 2n3r. 令 2n3r0，得 n3 2r(n，rN)， 若 r2，则 n3 不符合题意，若 r4，则 n6， 此时(1)4 C4615，所以 n6. 4在 x 1 3 x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中
14、的特定项 答案 C 解析 x 1 3 x 24 的展开式的通项为 Tr1Cr24 ( x)24 r 1 3 x rCr 24 5 12 6r x ，故当 r 0,6,12,18,24 时，幂指数为整数，共 5 项 5求二项式( x3x)9展开式中的有理项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 解 Tr1Cr9 9 1 2 r x 1 3 r x (1)rCr9 27 6 r x ，令27r 6 Z(0r9)，得 r3 或 r9， 所以当 r3 时，27r 6 4， T4(1)3C39x484x4， 当 r9 时，27r 6 3， T10(1)9C99x3x3. 综上，展开式中的有理项为84x4与x3. 求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 r，再求所需的某项；有时需先求 n， 计算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系.