1、第第 2 课时课时 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变 量的方差，并能解决一些实际问题 知识点 离散型随机变量的方差 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X 和 Y， X 和 Y 的分布列为 X 0 1 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 0 1 2 P 5 10 3 10 2 10 思考 1 试求 EX，EY. 答案 EX0 6 101 1 102 3 10 7 10， EY0 5 101 3 102 2 10 7 10. 思考 2 能否由 EX 与 EY
2、的值比较两名工人技术水平的高低？ 答案 不能，因为 EXEY. 思考 3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 答案 方差 梳理 (1)离散型随机变量的方差的含义 设 X 是一个离散型随机变量，用 E(XEX)2来衡量 X 与 EX 的平均偏离程度，E(XEX)2是 (XEX)2的期望，称 E(XEX)2为随机变量 X 的方差，记为 DX. (2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系 方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值就越集中在其均值周围 (3)参数为 n，p 的二项分布的方差 当随机变量服从参数为 n，p 的二项分布时，其方差 DXnp(1p)
3、1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定( ) 2若 a 是常数，则 Da0.( ) 3离散型随机变量 X 的方差与样本数据的方差概念相同( ) 4DX 的单位是随机变量 X 单位的平方( ) 类型一 求离散型随机变量的方差 命题角度1 已知分布列求方差 例 1 已知 X 的分布列如下： X 1 0 1 P 1 2 1 4 a (1)求 X2的分布列； (2)计算 X 的方差； (3)若 Y4X3，求 Y 的均值和方差 考点 离散型随变量方差、标准方案的概念与计算 题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算 解 (1)由分布列的性质，知1 2 1 4a1，故 a 1 4，从而 X 2的分布列为
4、 X2 0 1 P 1 4 3 4 (2)方法一 由(1)知 a1 4，所以 X 的均值 EX(1) 1 20 1 41 1 4 1 4. 故 X 的方差 DX 11 4 21 2 01 4 21 4 11 4 21 4 11 16. 方法二 由(1)知 a1 4，所以 X 的均值 EX(1) 1 20 1 41 1 4 1 4， X2的均值 EX201 41 3 4 3 4， 所以 X 的方差 DXEX2(EX)211 16. (3)因为 Y4X3， 所以 EY4EX32，DY42DX11. 反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量 X2的均 值比较好计算的情
5、况下，运用关系式 DXEX2(EX)2不失为一种比较实用的方法另外注 意方差性质的应用，如 D(aXb)a2DX. 跟踪训练 1 已知 的分布列为 0 10 20 50 60 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差； (2)设 Y2E，求 DY. 考点 离散型随变量方差、标准方案的概念与计算 题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算 解 (1)E01 310 2 520 1 1550 2 1560 1 1516， D(016)21 3(1016) 22 5(2016) 21 15(5016) 22 15(6016) 21 15384， (2)Y2E， DYD(2E)22
6、D43841 536. 命题角度2 未知分布列求方差 例 2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙) 进行田间试验选取两大块地，每大块地分为 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小 块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙假设 n4，在第一大块地中，种植品种甲的 小块地的数目记为 X，求 X 的分布列、均值及方差 考点 三种常见分布的方差 题点 超几何分布的方差 解 X 可能的取值为 0,1,2,3,4， 且 P(X0) 1 C48 1 70，P(X1) C14C34 C48 8 35， P(X2)C 2 4C 2 4 C48 18 35，P
7、(X3) C34C14 C48 8 35， P(X4) 1 C48 1 70. 即 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 EX0 1 701 8 352 18 353 8 354 1 702， DX(02)2 1 70(12) 28 35(22) 218 35(32) 28 35(42) 21 70 4 7. 反思与感悟 (1)求离散型随机变量 X 的均值和方差的基本步骤 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值 求 X 取每个值的概率 写 X 的分布列 求 EX，DX. (2)若随机变量 X 服从二项分布，即 XB(n，p)，则 E
8、Xnp，DXnp(1p) 跟踪训练2 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球， 其中有1个红球和4个黄球， 规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次 数 X 的均值和方差 考点 均值与方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 解 X 的可能取值为 1,2,3,4,5. P(X1)1 5， P(X2)4 5 1 4 1 5， P(X3)4 5 3 4 1 3 1 5， P(X4)4 5 3 4 2 3 1 2 1 5， P(X5)4 5 3 4 2 3 1 21 1 5. X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2
9、0.2 由定义知，EX0.2(12345)3. DX0.2(41014)2. 类型二 方差的实际应用 例 3 某投资公司经过考察准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上， 现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率为7 9和 2 9. 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能亏损 30%， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 5， 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 考点 均值与方差的综合应用 题点 求
10、随机变量的均值与方差 解 若按项目一投资，设获利 X1万元， 则 X1的分布列为 X1 300 150 P 7 9 2 9 EX13007 9(150) 2 9200(万元) DX1(300200)27 9(150200) 22 9 35 000， 若按项目二投资，设获利 X2万元， 则 X2的分布列为 X2 500 300 0 P 3 5 1 3 1 15 EX25003 5(300) 1 30 1 15200(万元) DX2(500200)23 5(300200) 21 3(0200) 21 15140 000， EX1EX2，DX1DX2， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳
11、妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 反思与感悟 均值体现了随机变量取值的平均大小， 在两种产品相比较时， 只比较均值往往 是不恰当的， 还需比较它们的取值的离散型程度， 即通过比较方差， 才能做出更准确的判断 跟踪训练 3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大 致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定两个保护区的管理水平 考点 均值、方差的综合应用 题点 均值与方差在实际中的应用 解 甲保护区的违规次数 的均值和方差分别为 E00.310.320.230.21.3； D(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21. 乙保护区的违规次数 的均值和方差分别为 E00.110.520.41.3； D(01.3)20.1(11.3)20.5(21.3)20.40.41. 因为 EE，DD，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲 保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定