1、2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差离散型随机变量的方差与标准差 学习目标 1.了解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的 方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法， 会利用公式求它们的方差 知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X 和 Y， X 和 Y 的概率分布如下： X 0 1 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 0 1 2 P 5 10 3 10 2 10 思考 1 试求 E(X)，E(Y) 答案 E(X)0 6 101 1 10
2、2 3 10 7 10， E(Y)0 5 101 3 102 2 10 7 10. 思考 2 能否由 E(X)与 E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ 答案 不能，因为 E(X)E(Y) 思考 3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 答案 方差 梳理 (1)离散型随机变量的方差和标准差 设离散型随机变量 X 的均值为 ，其概率分布表如下： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 方差：V(X)2(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn，其中，pi0，i1,2，n，p1 p2pn1. 变形公式：V(X) i1 n x2ipi2. 标准差： VX. 意义：方差刻画
3、了随机变量 X 与其均值 的平均偏离程度 (2)方差的性质：V(aXb)a2V(X) 知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差 1两点分布：若 X01 分布，则 V(X)p(1p) 2超几何分布：若 XH(n，M，N)，则 V(X)nMNMNn N2N1 . 3二项分布：若 XB(n，p)，则 V(X)np(1p) 1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定( ) 2若 a 是常数，则 V(a)0.( ) 3离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度( ) 类型一 求随机变量的方差 例 1 在一个不透明的纸袋里装有 5 个大小相同的小球，其中有 1 个红球和 4 个黄球，规定
4、 每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数 X 的均值和方差 考点 题点 解 X 的可能取值为 1,2,3,4,5. P(X1)1 5， P(X2)4 5 1 4 1 5， P(X3)4 5 3 4 1 3 1 5， P(X4)4 5 3 4 2 3 1 2 1 5， P(X5)4 5 3 4 2 3 1 21 1 5. X 的概率分布为 X 1 2 3 4 5 P 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 由定义知，E(X)1 5(12345)3， V(X)1 5(2 212021222)2. 反思与感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的基本步骤 (1
5、)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值 (2)求 X 取每个值的概率 (3)写出 X 的概率分布 (4)由均值的定义求 E(X) (5)由方差的定义求 V(X) 跟踪训练 1 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或 乙解出的概率为 0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率； (2)求解出该题的人数 X 的均值和方差 考点 题点 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A，B. 设甲独立解出此题的概率为 P1，乙为 P2， 则 P(A)P10.6，P(B)P2， P(AB)1P( A B )1(1P1) (1P2) P1P2P1P20.92， 0.6
6、P20.6P20.92， 则 0.4P20.32，即 P20.8. (2)P(X0)P( A ) P( B )0.40.20.08， P(X1)P(A)P( B )P( A )P(B) 0.60.20.40.80.44. X 的概率分布为 X 0 1 2 P 0.08 0.44 0.48 E(X)00.0810.4420.48 0.440.961.4， V(X)(01.4)20.08(11.4)20.44(21.4)20.48 0.156 80.070 40.172 80.4. 类型二 两点分布与二项分布的方差 例 2 某厂一批产品的合格率是 98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的
7、方差； (2)从中有放回地随机抽取 10 件产品，计算抽出的 10 件产品中正品数的方差及标准差 考点 三种常用分布的方差 题点 两点分布与二项分布的方差 解 (1)用 表示抽得的正品数，则 0,1. 服从两点分布，且 P(0)0.02，P(1)0.98， 所以 V()p(1p)0.98(10.98)0.019 6. (2)用 X 表示抽得的正品数，则 XB(10,0.98)， 所以 V(X)100.980.020.196， 标准差为 VX0.44. 反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分 布，若它服从两点分布，则其方差为 p(1p)；若其服从二项分布
8、，则其方差为 np(1p)(其 中 p 为成功概率) 跟踪训练 2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物，某人一 次种植了 n 株沙柳， 各株沙柳的成活与否是相互独立的， 成活率为 p.设 为成活沙柳的株数， 均值 E()为 3，标准差 V为 6 2 . (1)求 n 和 p 的值，并写出 的概率分布； (2)若有 3 株或 3 株以下的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 解 由题意知， 服从二项分布 B(n，p)， P(k)Cknpk(1p)n k，k0,1，n. (1)由 E()np3，V()np(1p)3 2， 得 1p1 2，从而 n6，p 1 2.
9、所以 P(k)Ck6 1 2 k 1 2 6k，k0,1，6. 故 的概率分布为 0 1 2 3 4 5 6 P 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 (2)记“需要补种沙柳”为事件 A，则 P(A)P(3)， 得 P(A)161520 64 21 32，或 P(A)1P(3)1 1561 64 21 32. 所以需要补种沙柳的概率为21 32. 1已知随机变量 X 的概率分布为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 则下列式子：E(X)1 3；V(X) 23 27；P(X0) 1 3.其中正确式子的序号为_ 考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机
10、变量的均值与方差 答案 解析 由概率分布可知， E(X)(1)1 20 1 31 1 6 1 3， 故正确； V(X) 11 3 21 2 01 3 21 3 11 3 21 6 5 9，故不正确，显然正确 2同时抛掷两枚质地均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为 ，则 V() _. 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 15 8 解析 由题意知，B 10，1 4 ，V()101 4 11 4 15 8 . 3已知离散型随机变量 X 的概率分布如下表所示，若 E(X)0，V(X)1，则 a_， b_. X 1 0 1 2 P a b c 1 12 考点 均值、方差
11、的综合应用 题点 均值与方差在实际中的应用 答案 5 12 1 4 解析 由题意知， abc11 12， ac1 60， ac1 31， 解得 a 5 12， b1 4， c1 4. 4已知随机变量 XB(100,0.2)，那么 V(4X3)的值为_ 考点 题点 答案 256 解析 由 XB(100,0.2)知，n100，p0.2， 由公式得 V(X)np(1p)1000.20.816， 因此 V(4X3)42V(X)1616256. 5编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座 位编号相同的学生的人数是 ，求 E()和 V() 考点 均值
12、、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 解 的所有可能取值为 0,1,3，0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，即编号为 1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生， 则 P(0) 2 A33 1 3； 1 表示三位同学只有 1 位同学坐对了， 则 P(1)C 1 3 A33 1 2； 3 表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则 P(3) 1 A33 1 6. 所以 的概率分布为 0 1 3 P 1 3 1 2 1 6 E()01 31 1 23 1 61. V()1 3(01) 21 2(11) 21 6(31) 21. 1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及 随机变量取值偏离于均值的平均程度方差 V(X)或标准差 VX越小，则随机变量 X 偏离均 值的平均程度越小；方差 V(X)或标准差 VX越大，表明偏离的平均程度越大，说明 X 的取 值越分散 2求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 的所有可能的取值； (2)求 X 取每一个值的概率； (3)写出随机变量 X 的概率分布； (4)由均值、方差的定义求 E(X)，V(X) 特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算 E(X)和 V(X).