1、21 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 学习目标 1.了解随机变量的含义.2.理解随机变量 X 的概率分布， 掌握两点分布.3.会求简单 的分布 知识点一 随机变量 思考 1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果 能用数字表示吗？ 答案 可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上 思考 2 在一块地里种 10 棵树苗，成活的树苗棵数为 X，则 X 可取哪些数字？ 答案 X0,1,2,3，10. 梳理 (1)随机变量的定义 一般地，如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 (2)随机变量的表示方法 随机变量通常用大
2、写拉丁字母 X，Y，Z(或小写希腊字母 ，)等表示 随机变量取的可能值常用小写拉丁字母 x，y，z(加上适当下标)等表示 知识点二 随机变量的概率分布 思考 掷一枚骰子，所得点数为 X，则 X 可取哪些数字？当 X 取不同的值时，其概率分别是 多少？你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗？ 答案 (1)X1,2,3,4,5,6，概率均为1 6. (2)X 与 P 的对应关系如下. X 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 梳理 (1)随机变量 X 的概率分布列 一般地，假定随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1，x2，xn，且 P(Xxi)
3、pi， i1,2,3，n， 则称为随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，也可以用下表表示. X x1 x2 xn P p1 p2 pn 通常将上表称为随机变量 X 的概率分布表，它和都叫做随机变量 X 的概率分布显然，这 里的 pi(i1,2，n)满足条件 pi0，p1p2pn1. (2)01 分布(或两点分布) 随机变量 X 只取两个可能值 0 和 1，这一类概率分布称为 01 分布或两点分布，并记为 X 01 分布或 X两点分布，此处“”表示“服从” 1离散型随机变量的取值是任意的实数( ) 2随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个( ) 3离散型随机变量是指某一区间内的任
4、意值( ) 类型一 随机变量的概念 例 1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数； (4)明年某天济南青岛的某次列车到达青岛站的时间 考点 随机变量的概念 题点 随机变量的概念 解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变 量 (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为 0,1,2,3， ， 是随机变化的， 因此是随机变量 (3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间，所查酒
5、驾的人数可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因 此是随机变量 (4)济南青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能 晚点，因此是随机变量 反思与感悟 随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果的可变性，即每次试验对应的结果不尽相同 (2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验 之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量 跟踪训练 1 判断下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由 (1)某天广电局信息台接到咨询电话的个数； (2)某运动员在某场比赛
6、中(48 分钟)，上场比赛的时间； (3)在一次绘画作品评比中设有一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为 64 cm3的正方体的棱长 考点 随机变量的概念 题点 随机变量的概念 解 (1)接到咨询电话的个数可能是 0,1,2， ， 出现哪一个结果都是随机的， 因此是随机变量 (2)该运动员在某场比赛的上场时间在0,48内，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变 量 (3)获得的奖次可能是 1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量 (4)体积为 64 cm3的正方体的棱长为 4 cm，为定值，因此不是随机变量 类型二 随机变量的可能取值 例 2 写出下列随机变量可能的
7、取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一个袋中装有 8 个红球，3 个白球，从中任取 5 个球，其中所含白球的个数为 X； (2)一个袋中有 5 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5，从中任取 3 个球，取出的球的最大号 码记为 X. 考点 随机变量的可能取值 题点 随机变量的取值 解 (1)X0 表示取 5 个球全是红球； X1 表示取 1 个白球，4 个红球； X2 表示取 2 个白球，3 个红球； X3 表示取 3 个白球，2 个红球 (2)X3 表示取出的球编号为 1,2,3； X4 表示取出的球编号为 1,2,4；1,3,4 或 2,3,4； X5 表示取出
8、的球编号为 1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5 或 3,4,5. 引申探究 在本例(1)的条件下，若规定取出一个红球赢 2 元，而取出一个白球输 1 元，以 表示赢得的 钱数，结果如何？ 解 10 表示取 5 个球全是红球； 7 表示取 1 个白球，4 个红球； 4 表示取 2 个白球，3 个红球； 1 表示取 3 个白球，2 个红球 反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值 时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不 要漏掉某些试验结果 跟踪训练 2 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值
9、所表示的随机试验的结果 (1)袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，取后不放回，直到取 出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为 0.5 分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等 待的时间为 分钟 考点 随机变量的可能取值 题点 随机变量的结果 解 (1)设所需的取球次数为 X，则 X1,2,3,4，10,11，Xi 表示前(i1)次取到的均是红 球，第 i 次取到白球，这里 i1,2,3,4，11. (2) 的可能取值为区间0,59.5内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间 类型三 随机变量的概率分布 命题角度
10、1 分布列性质的应用 例 3 设随机变量 X 的分布列为 P Xk 5 ak(k1,2,3,4,5) (1)求常数 a 的值； (2)求 P X3 5 ； (3)求 P 1 10X 7 10 . 考点 随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 解 (1)由 a2a3a4a5a1，得 a 1 15. (2)P Xk 5 1 15k(k1,2,3,4,5)， P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1) 3 15 4 15 5 15 4 5. (3)当 1 10X 7 10，只有 X 1 5， 2 5， 3 5时满足， 故 P 1 10X 7 10 P X1 5 P X2 5
11、 P X3 5 1 15 2 15 3 15 2 5. 反思与感悟 利用概率分布及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的 (2)不仅要注意 i1 n pi1，而且要注意 pi0，i1,2，n. 跟踪训练 3 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量 X 的概率分布表. X 1 0 1 P 1 2 1 4 1 6 试说明该同学的计算结果是否正确 (2)设 是一个离散型随机变量，其概率分布如下表： 1 0 1 P 1 2 12q q2 求 q 的值； 求 P(0)，P(0) 考点 随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 解 (1)因为 P(X1)P(X
12、0)P(X1)1 2 1 4 1 6 11 12，不满足概率之和为 1 的性质，因 而该同学的计算结果不正确 (2)由概率分布的性质，得 12q0，q20， 1 2(12q)q 21， 所以 q1 2 2 . P(0)P(1)1 2， P(0)P(1)P(0) 1 212 1 2 2 21 2. 命题角度 2 求概率分布 例 4 一袋中装有 5 个球，编号分别为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 个球，以 X 表示取出的 3 个 球中的最小号码，写出随机变量 X 的概率分布 考点 随机变量的概率分布 题点 求随机变量的概率分布 解 随机变量 X 的可能取值为 1,2,3. 当 X1 时，即
13、取出的 3 个球中最小号码为 1，则其他 2 个球只能在编号为 2,3,4,5 的 4 个球 中取，故有 P(X1)C 2 4 C35 6 10 3 5； 当 X2 时，即取出的 3 个球中最小号码为 2，则其他 2 个球只能在编号为 3,4,5 的 3 个球中 取，故有 P(X2)C 2 3 C35 3 10； 当 X3 时，即取出的 3 个球中最小号码为 3，则其他 2 个球只能是编号为 4,5 的 2 个球，故 有 P(X3)C 2 2 C35 1 10. 因此，X 的概率分布如下表： X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 引申探究引申探究 若将本例条件中 5 个球改为 6 个
14、球，最小号码改为最大号码，其他条件不变，试写出随机变 量 X 的概率分布 解 随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6.从袋中随机地取出 3 个球， 包含的基本事件总数为 C36： 事件“X3”包含的基本事件总数为 C11C22，事件“X4”包含的基本事件总数为 C11C23，事 件“X5”包含的基本事件总数为 C11C24，事件“X6”包含的基本事件总数为 C11C25， 从而有 P(X3)C 1 1C 2 2 C36 1 20，P(X4) C11C23 C36 3 20， P(X5)C 1 1C 2 4 C36 3 10，P(X6) C11C25 C36 1 2. 所以随机变量 X 的概
15、率分布如下表： X 3 4 5 6 P 1 20 3 20 3 10 1 2 反思与感悟 求随机变量的概率分布的步骤 (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义 (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率 (3)按规范形式写出概率分布，并用概率分布的性质验证 跟踪训练 4 袋中有 1 个白球和 4 个黑球， 每次从中任取一个球， 每次取出的黑球不再放回， 直到取出白球为止，求取球次数 X 的概率分布 考点 随机变量的概率分布 题点 求随机变量的概率分布 解 X 的可能取值为 1,2,3,4,5， 则第 1 次取到白球的概率为 P(X1)1 5， 第 2 次取到白球的概率
16、为 P(X2)41 54 1 5， 第 3 次取到白球的概率为 P(X3)431 543 1 5， 第 4 次取到白球的概率为 P(X4)4321 5432 1 5， 第 5 次取到白球的概率为 P(X5)43211 54321 1 5， 所以 X 的概率分布如下表： X 1 2 3 4 5 P 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1给出下列四个命题： 15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； 在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； 一条河流每年的最大流量是随机变量； 一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量 其中是真命题的有_(填序号) 考点 随机变量
17、的概念 题点 随机变量的概念 答案 解析 根据随机变量的概念可知，都正确 2设离散型随机变量 X 的概率分布如下： X 1 2 3 4 P 1 2p 1 3 1 6 p 则 p 的值为_ 考点 随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 1 3 解析 1 2p 1 3 1 6p1， p1 3. 3抛掷两枚骰子，所得点数之和记为 X，那么 X5 表示的随机试验的结果是_ 考点 随机变量的可能取值 题点 随机变量的结果 答案 一枚 3 点，一枚 2 点或一枚 1 点，一枚 4 点 解析 点数之和为 5，一枚 3 点，一枚 2 点或一枚 1 点，一枚 4 点 4从标有 110 的
18、10 支竹签中任取 2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为 X，那么随机变 量 X 的可能取值有_个 考点 随机变量的可能取值 题点 随机变量的取值 答案 17 解析 X 的可能取值为 3,4,5，19，共 17 个 5 甲、 乙两队员进行乒乓球单打比赛， 规定采用“七局四胜制” 用 表示需要比赛的局数， 写出“6”时表示的试验结果 考点 随机变量的可能取值 题点 随机变量的结果 解 根据题意可知，6 表示甲在前 5 局中胜 3 局且在第 6 局中胜出或乙在前 5 局中胜 3 局 且在第 6 局中胜出 1随机变量的三个特征 (1)可用数来表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值 2求随机变量的分布列应注意的几个问题 (1)随机变量 X 的分布列实质上就是随机变量 X 与这一变量所对应的概率 P 的分布表， 它从整 体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律 (2)在处理随机变量的概率分布时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量 的取值，再求相应的概率是常用的方法 (3)求出概率分布后注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确.