1、15 二项式定理二项式定理 15.1 二项式定理二项式定理 学习目标 1.理解二项式定理的相关概念.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 知识点 二项式定理 思考 1 我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的 展开式 答案 (ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4. 思考 2 上述两个等式的右侧有何特点？ 答案 (ab)3的展开式有 4 项，每项的次数是 3；(ab)4的展开式有 5 项，每一项的次数为 4. 思考 3 能用类比方法写出(ab)n(n
2、N*)的展开式吗？ 答案 能，(ab)nC0nanC1nan 1bCk na nkbkCn nb n (nN*) 梳理 二项式定理及其概念 (1)二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1bCr na nrbrCn nb n(nN*)叫做二项式定理， 右边的多项式叫做 (ab)n的二项展开式，它一共有 n1 项 (2)二项展开式的通项 Crnan rbr 叫做二项展开式的第 r1 项(也称通项)，用 Tr1表示，即 Tr1Crnan rbr. (3)二项式系数 Crn(r0,1,2，n)叫做第 r1 项的二项式系数 1(ab)n展开式中共有 n 项( ) 2在公式中，交换 a，b 的顺序对
3、各项没有影响( ) 3Crnan rbr 是(ab)n展开式中的第 r 项( ) 4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同( ) 类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求 3 x 1 x 4的展开式 考点 二项式定理 题点 运用二项式定理求展开式 解 方法一 3 x 1 x 4(3 x)4C1 4(3 x) 3 1 x C24(3 x)2 1 x 2C3 4(3 x) 1 x 3C4 4 1 x 4 81x2108x5412 x 1 x2. 方法二 3 x 1 x 4 3x1 x 41 x2 (13x) 41 x21C 1 4 3xC 2 4(3x) 2C3 4(3x)
4、3C4 4(3x) 41 x2(1 12x54x2108x381x4) 1 x2 12 x 54108x81x2. (2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n 1C2 n(x1) n2(1)rCr n(x1) nr(1)nCn n. 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式C0n(x1)nC1n(x1)n 1(1)C2 n(x1) n2(1)2Cr n(x1) nr(1)rCn n (1)n(x1)(1)nxn. 引申探究 将本例(1)改为求 2x 1 x2 5的展开式 解 方法一 2x 1 x2 5C0 5(2x) 5C1 5(2x) 41 x2C 2 5(2x) 3 1
5、 x2 2C3 5(2x) 2 1 x2 3C4 5(2x) 1 x2 4 C55 1 x2 532x580 x280 x 40 x4 10 x7 1 x10. 方法二 2x 1 x2 5 1 x22x 3151 x10(12x 3)51 x101C 1 5(2x 3)C2 5(2x 3)2C3 5(2x 3)3C4 5 (2x3)4C55(2x3)5 1 x10 10 x7 40 x4 80 x 80 x232x5. 反思与感悟 (1)(ab)n的二项展开式有 n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各 项的次数和等于 n.字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0
6、；字母 b 按 升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二 项展开式的形式靠拢 跟踪训练 1 化简(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1. 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式C05(2x1)5C15(2x1)4C25(2x1)3C35(2x1)2C45(2x1)C55(2x1)0(2x 1)15(2x)532x5. 类型二 二项展开式的通项 命题角度 1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式 3 x 2 3x 10. (1)求展开式第
7、4 项的二项式系数； (2)求展开式第 4 项的系数； (3)求第 4 项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 解 3 x 2 3x 10的展开式的通项是 Tr1Cr10(3 x)10 r 2 3x rCr 103 10r 2 3 r 10 3 2 r x (r0,1,2，10) (1)展开式的第 4 项(r3)的二项式系数为 C310120. (2)展开式的第 4 项的系数为 C31037 2 3 377 760. (3)展开式的第 4 项为 T4T3177 760 x. 反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Crn(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的
8、系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念 (2)第 r1 项的系数是此项字母前的数连同符号， 而此项的二项式系数为 Crn.例如， 在(12x)7 的展开式中，第四项是 T4C3717 3(2x)3，其二项式系数是 C3 735，而第四项的系数是 C 3 72 3 280. 跟踪训练 2 已知 x2 x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162. (1)求 n 的值； (2)求展开式中含 x3的项，并指出该项的二项式系数 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 解 (1)因为 T3C2n( x)n 2 2 x 24C2 n 6
9、2 n x ， T2C1n( x)n 1 2 x 2C1n 3 2 n x ， 依题意，得 4C2n2C1n162，所以 2C2nC1n81， 所以 n281，n9. (2)设第 r1 项含 x3项，则 Tr1Cr9( x)9 r 2 x r(2)rCr 9 9 3 2 r x ，所以93r 2 3，r1， 所以第二项为含 x3的项，T22C19x318x3. 二项式系数为 C199. 命题角度 2 展开式中的特定项 例 3 已知在 3 x 3 3 x n的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 考点 二项展开式中的特定项问题
10、题点 求二项展开式中的特定项 解 通项公式为 Tr1Crn 3 n r x (3)r 3 r x Crn(3)r 2 3 nr x . (1)第 6 项为常数项，当 r5 时，有n2r 3 0，即 n10. (2)令n2r 3 2，得 r1 2(n6)2， 所求的系数为 C210(3)2405. (3)由题意，得 102r 3 Z， 0r10， rZ. 令102r 3 t(tZ)， 则 102r3t，即 r53 2t.rZ，t 应为偶数 令 t2,0，2，即 r2,5,8. 第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，61 236,295 245x 2. 反思与感悟 (
11、1)求二项展开式的特定项的常见题型 求第 r 项，TrCr 1 n an r1br1；求含 xr 的项(或 xpyq的项)；求常数项；求有理项 (2)求二项展开式的特定项的常用方法 对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项) 对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问 题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性 来求解 对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求 有理项一致 跟踪训练 3 (1)若 xa x 9的展开式中 x3的系数是84，则 a_. 考点 二项展开式中的特定
12、项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1 解析 展开式的通项为 Tr1Cr9x9 r (a)r 1 x rCr 9 (a) rx92r(0r9，rN)当 92r3 时，解得 r3，代入得 x3的系数，根据题意得 C39(a)384，解得 a1. (2)已知 n 为等差数列4， 2,0， 的第六项， 则 x2 x n的二项展开式的常数项是_ 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 160 解析 由题意得 n6，Tr12rCr6x6 2r，令 62r0 得 r3，常数项为 C3 62 3160. 1(x2)8的展开式中 x6的系数是_ 考点 二项展开式中的特
13、定项问题 题点 求二项展开式中特定项的系数 答案 112 解析 由 T21C28x8 2 22112x6，(x2)8 的展开式中 x6的系数是 112. 2二项式 x 2 x 12的展开式中的常数项是第_项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 9 解析 二项展开式中的通项公式为 Tr1Cr12 x12 r 2 x rCr 12 2 r 3 12 2r x ，令 123 2r0，得 r 8. 常数项为第 9 项 3已知 x a x 5的展开式中含 3 2 x的项的系数为 30，则 a_. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 6
14、 解析 x a x 5的展开式通项 T r1C r 5 5 2 r x (1)rar 2 r x (1)rarCr5 5 2 r x ， 令5 2r 3 2，则 r1， T2aC15 3 2 x，aC1530，a6. 4(1x)2 (1x)5的展开式中含 x3的项是_ 答案 5x3 解析 (1x)2 (1x)5(1x2)2(1x)3(12x2x4) (13x3x2x3)，所以 x3的系数为 1(1)(2)(3)5.故含 x3的项为 5x3. 5化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_. 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 x5 解析 原式(x1)15x5. 1求二项展开式的特定项应注意的问题 通项公式的主要作用是求展开式中的特殊项，常见的题型有：求第 r 项；求含 xr(或 xpyq) 的项；求常数项；求有理项其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的 未知数的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具 体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解另外，若通项中含有根式，一般把根 式化为分数指数幂，以减少计算中的错误 2二项式系数与项的系数的区别 二项式系数 Crn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时 可以为负