1、2.3 独立性独立性 23.1 条件概率条件概率 学习目标 1.了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.能利用条件概率公式解决 一些简单的实际问题 知识点一 条件概率 100 件产品中有 93 件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85 件产品的长度、质量都合 格 令 A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格 思考 1 试求 P(A)，P(B)，P(AB) 答案 P(A) 93 100，P(B) 90 100，P(AB) 85 100. 思考 2 任取一件产品， 已知其质量合格(即 B 发生)， 求它的长度(即 A 发生)也合格(记为 A|B) 的概率 答
2、案 事件 A|B 发生，相当于从 90 件质量合格的产品中任取 1 件长度合格，其概率为 P(A|B) 85 90. 思考 3 P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系 答案 P(A|B)PAB PB . 梳理 (1)条件概率的概念 一般地，对于两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，称为事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率，记为 P(A|B) (2)条件概率的计算公式 一般地，若 P(B)0，则事件 B 发生的条件下 A 发生的条件概率是 P(A|B)PAB PB . 利用条件概率，有 P(AB)P(A|B)P(B) 知识点二 条件概率的性质 1
3、任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0P(B|A)1. 2如果 B 和 C 是两个互斥的事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 1若事件 A，B 互斥，则 P(B|A)1.( ) 2P(B|A)与 P(A|B)不同( ) 3事件 A 发生的条件下，事件 B 发生，相当于 A，B 同时发生( ) 类型一 求条件概率 命题角度 1 利用定义求条件概率 例 1 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 4 15，刮三级以上风的概率为 2 15，既刮三级以 上的风又下雨的概率是 1 10，设 A 为下雨，B 为刮三级以上的风 求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A) 解 由题意知 P
4、(A) 4 15，P(B) 2 15，P(AB) 1 10，则有 (1)P(A|B)PAB PB 1 10 2 15 3 4. (2)P(B|A)PAB PA 1 10 4 15 3 8. 反思与感悟 用定义法求条件概率 P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型 (2)计算 P(A)，P(AB) (3)代入公式求 P(B|A)PAB PA . 跟踪训练 1 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，记事件 A“取到的 2 个数之和为偶数”， 事件 B“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)_. 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 1 4 解析
5、 P(A)C 2 3C 2 2 C25 2 5，P(AB) C22 C25 1 10， P(B|A)PAB PA 1 10 2 5 1 4. 命题角度 2 缩小基本事件范围求条件概率 例 2 集合 A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取， 在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 缩小基本事件范围求条件概率 解 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6
6、)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个在 这 15 个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P 9 15 3 5. 引申探究 1在本例条件下，求乙抽到偶数的概率 解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)， (5,4)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P 9 15 3 5. 2若甲先取(放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数大于 4”；事件
7、B：“甲、乙抽到的 两数之和等于 7”，求 P(B|A) 解 甲抽到的数大于 4 的情形有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， (6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形有(5,2)，(6,1)，共 2 个所以 P(B|A) 2 12 1 6. 反思与感悟 将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件 A，原来的事件 B 缩小为 AB. 而 A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间 上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(B|A)nAB
8、nA ，这里 n(A)和 n(AB)的计数是基于缩小 的基本事件范围的 跟踪训练 2 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回 地依次抽取 2 个节目，求：在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 缩小基本事件范围求条件概率 解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则第 1 次和第 2 次都 抽到舞蹈节目为事件 AB.根据分步计数原理得 n(A)A14A1520， n(AB)A2412. 所以 P(B|A)nAB nA 12 20 3 5. 类型二 条件概率的性
9、质及应用 例 3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个其中，第一个盒子中有 7 个球标有字 母 A,3 个球标有字母 B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个盒子中有红球 8 个，白 球 2 个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 A 的球，则 在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母 B 的球，则在第三个盒子中任取一个 球如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率性质的简单应用 解 设 A从第一个盒子中取得标有字母 A 的球， B从第一个盒子中取得标有字母 B 的球， R第二次取出的球是
10、红球， W第二次取出的球是白球， 则容易求得 P(A) 7 10，P(B) 3 10，P(R|A) 1 2， P(W|A)1 2，P(R|B) 4 5，P(W|B) 1 5. 事件“试验成功”表示为 ARBR， 又事件 AR 与事件 BR 互斥，故由概率的加法公式， 得 P(ARBR)P(AR)P(BR) P(R|A)P(A)P(R|B)P(B) 1 2 7 10 4 5 3 100.59. 反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的 较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)便可求得 较复杂事件的概率 跟踪
11、训练 3 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱中随机取出一球，则从 2 号箱中取出红球的概 率是多少？ 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率性质的简单应用 解 记事件 A“最后从 2 号箱中取出的球是红球”， 事件 B“从 1 号箱中取出的球是红球”， 则 P(B) 4 24 2 3，P( B )1P(B) 1 3， P(A|B)31 81 4 9，P(A| B ) 3 81 1 3， 从而 P(A)P(AB)P(A B ) P(A|B)P(B)P(A| B )P( B ) 4 9
12、2 3 1 3 1 3 11 27. 1已知 P(AB) 3 10，P(A) 3 5，则 P(B|A)_. 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 1 2 解析 P(B|A)PAB PA 3 10 3 5 1 2. 2市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂产品占 30%，甲厂产品的合格率是 95%， 乙厂产品的合格率是 80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是_ 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 条件概率变形公式的应用 答案 0.665 解析 记事件 A 为“甲厂产品”，事件 B 为“合格产品”， 则 P(A)0.7，P(B|A)0.95， P(
13、AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665. 3盒中装有 6 件产品，其中 4 件一等品，2 件二等品，从中不放回地取两次，每次取 1 件， 已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率为_ 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 2 5 解析 设“第二次取得一等品”为事件 A，“第一次取得二等品”为事件 B，则 P(AB) C12C14 C16C15 4 15，P(A) C14C13C12C14 C16C15 2 3，所以 P(B|A) PAB PA 4 15 3 2 2 5. 4有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，从这批种子
14、中随机抽取一粒，则 这粒种子能成长为幼苗的概率为_ 答案 0.72 解析 设“种子发芽”为事件 A，“种子成长为幼苗”为事件 AB(发芽，又成活为幼苗)，出 芽后的幼苗成活率为 P(B|A)0.8， 又 P(A)0.9，P(B|A)PAB PA ， 得 P(AB)P(B|A) P(A)0.80.90.72. 5假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩 是男孩的概率是_ 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 缩小基本事件范围求条件概率 答案 2 3 解析 一个家庭的两个小孩只有 4 种可能：男，男，男，女，女，男，女，女，由 题意可知这 4 个基本事件的发生是等可能的，所求概率 P2 3. 1 P(A|B)表示事件 A 在“事件 B 已发生”这个附加条件下的概率， 与没有这个附加条件的概 率是不同的也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件 在此“新条件”下发生的概率 2若事件 A，C 互斥，则 P(AC|B)P(A|B)P(C|B).