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1.4 计数应用题 学案(苏教版高中数学选修2-3)

1、1.4 计数应用题计数应用题 学习目标 1.了解计数应用题中的常见问题类型.2.理解排列、组合的概念及公式应用.3.掌握 解决排列组合综合应用题的方法 1两个基本计数原理 (1)分类计数原理 (2)分步计数原理 2排列、组合综合题的一般解法 一般坚持先组后排的原则,即先选元素后排列,同时注意按元素性质分类或按事件的发生过 程分类 3运用排列组合的知识,结合两个基本计数原理,能够解决很多计数问题 16 本不同的书分成 3 组,一组 4 本,其余组各 1 本,共有 30 种不同的分法( ) 27 名同学站一排,甲身高最高,排在正中间,其他 6 名同学身高不等,甲的左,右两边以 身高为准,由高到低排

2、列,则不同的排法共有 20 种( ) 类型一 两个计数原理的应用 命题角度 1 “类中有步”的计数问题 例 1 电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信, 甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之 星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有_种不同的结果 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 28 800 解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不同的,故要分两类分别计 算:(1)幸运之星在甲箱中抽,先确定幸运之星,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有 30292017 40

3、0(种)结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有 20193011 400(种)结 果因此共有 17 40011 40028 800(种)不同结果 反思与感悟 用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示: 具体意义如下: 从 A 到 B 算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第 1 类办法中有 3 步,在第 2 类办 法中有 2 步,每步的方法数如图所示 所以,完成这件事的方法数为 m1m2m3m4m5, “类”与“步”可进一步地理解为: “类”用“”号连接,“步”用“”号连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一 件事的完成,“步”缺一不可 跟踪训练 1 一个同心圆形花坛,分为两部分,中

4、间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的 圆环分为 n(n3,nN)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜 色的花 (1)如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1,a2,a3,有多少种不同的种植方法? (2)如图 2,圆环分成的 4 等份为 a1,a2,a3,a4,有多少种不同的种植方法? 解 (1)如题图 1,先对 a1部分种植,有 3 种不同的种植方法,再对 a2,a3种植 因为 a2,a3与 a1不同颜色,a2,a3也不同,所以由分步计数原理得 3216(种) (2)如题图2, 当a1, a3不同色时, 有32116(种)种植方法, 当a1, a3同色时, 有3221 12

5、(种)种植方法,由分类计数原理,共有 61218(种)种植方法 命题角度 2 “步中有类”的计数问题 例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、 “握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复若上 午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测一人,则不同的安 排方式共有_种(用数字作答) 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 264 解析 上午总测试方法有 432124(种)我们以 A,B,C,D,E 依次代表五个测试 项目若上午测试 E 的同学下午测试 D,则上午测试 A

6、 的同学下午只能测试 B,C,确定上 午测试 A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种;若上午测试 E 的同学下午测 试 A,B,C 之一,则上午测试 A,B,C 中任何一个的同学下午都可以测试 D,安排完这位 同学后其余两位同学的测试方式就确定了, 故共有 339(种)测试方法, 即下午的测试方法 共有 11 种,根据分步计数原理,总的测试方法共有 2411264(种) 反思与感悟 用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示: 从计数的角度看,由 A 到 D 算作完成一件事,可简单地记为 AD. 完成 AD 这件事,需要经历三步,即 AB,BC,CD.其中 BC 这步又分为三

7、类,这 就是步中有类 其中 mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数 完成 AD 这件事的方法数为 m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法 跟踪训练 2 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有_种 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 21 解析 根据题意,若电路接通,则开关 1,2 与 3,4,5 中至少有 1 个接通, 对于开关 1,2,共有 224(种)情况,其中全部断开的有 1(种)情况,则其至少有 1 个接通的 有 413(种)情况, 对于开关 3,4,5,共有 2228(种)情况,其中全部断开的有 1(种)情况,则

8、其至少有 1 个 接通的有 817(种)情况,则电路接通的情况有 3721(种) 类型二 有限制条件的排列问题 例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法? 考点 题点 解 (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体,这样同 5 个男 生合在一起共有 6 个元素,排成一排有 A66种不同排法对于其中的每一种

9、排法,3 个女生之 间又有 A33种不同的排法,因此共有 A66 A334 320(种)不同的排法 (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把 5 个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空, 这样共有 4 个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有 6 个位置,再把 3 个女生插入这 6 个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻由于 5 个男生排成一排有 A55种不同的排法,对于其中任意一种排法,从上述 6 个位置中选出 3 个来 让 3 个女生插入有 A36种方法,因此共有 A55 A3614 400(种)不同的排法 (3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不

10、能排女生,所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个, 有 A25种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有 A66种排法,所以共有 A25 A6614 400(种)不同的排法 方法二 (间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A88种不同的排法,从中扣除女生排在首 位的 A13 A77种排法和女生排在末位的 A13 A77种排法, 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排 在首位时被扣去一次,在扣除女生排在末位时又被扣去一次,所以还需加一次,由于两端都 是女生有 A23 A66种不同的排法,所以共有 A882A13 A77A23 A6614 400(种)不同的排法 方法三 (特殊元素优

11、先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入,有 A36种不同的排 法,对于其中的任意一种排法,其余 5 个位置又都有 A55种不同的排法,所以共有 A36 A5514 400(种)不同的排法 (4)方法一 因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条件限 制了,这样可有 A15 A77种不同的排法;如果首位排女生,有 A13种排法,这时末位就只能排男 生,这样可有 A13 A15 A66种不同的排法 因此共有 A15 A77A13 A15 A6636 000(种)不同的排法 方法二 3 个女生和5 个男生排成一排有A88种排法, 从中扣去两端都是女生的排法

12、有A23 A66种, 就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A88A23 A6636 000(种)不同的排法 (5)(顺序固定问题)因为 8 人排队,其中两人顺序固定,共有A 8 8 A2220 160(种)不同的排法 反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能 放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素当用直接法比较麻 烦时,可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条 件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽) (2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻

13、问题,可用“捆绑法”,即将相 邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法”,即 先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中 跟踪训练 3 为迎接中共十九大,某校举办了“祖国,你好”诗歌朗诵比赛该校高三年级 准备从包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加,要求甲、乙、丙这 3 名学生中 至少有 1 人参加,且当这 3 名学生都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的 4 名 学生不同的朗诵顺序的种数为_ 考点 排列的应用 题点 有限制条件的排列问题 答案 768 解析 根据题意,在 7 名学生中选派 4 名学生参加诗歌朗诵比赛,有 A47840

14、(种)情况, 其中甲、乙、丙都没有参加,即选派其他四人参加的情况有 A4424(种), 则甲、乙、丙这 3 名学生中至少有 1 人参加的情况有 84024816(种); 其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有 C14A22A3348(种), 则满足题意的朗诵顺序有 81648768(种) 类型三 排列与组合的综合应用 例 4 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片, 从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的 排法共有多少种? 考点 排列组合的综合应用 题点 排列与组合的综合应

15、用 解 分三类: 第一类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时,不同的排法有 C12 C12 C12 C12 A44种 第二类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时,不同的排法有 C22 C22 A44种 第三类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时,不同的排法有 C22 C22 A44种 故满足题意的所有不同的排法种数为 C12 C12 C12 C12 A442C22 C22 A44432. 反思与感悟 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的 元素都选出来,再对元素或位置进行排列 (2)解排列、组合综合问题时要

16、注意以下几点: 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列 问题 对于有多个限制条件的复杂问题, 应认真分析每个限制条件, 然后再考虑是分类还是分步, 这是处理排列、组合综合问题的一般方法 跟踪训练 4 有 5 个男生和 3 个女生,从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表,求分别符 合下列条件的选法数 (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文科代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任语文科代表; (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表 解 (1)先选后排,先选可以是 2 女 3 男,也可以是 1

17、女 4 男, 先选有()C35C23C45C13种,后排有 A55种, 所以共有不同选法()C35C23C45C13 A555 400(种) (2)除去一定担任语文科代表的女生后,先选后排,共有不同选法 C47 A44840(种) (3)先选后排, 但先安排不担任语文科代表的该男生, 所以共有不同选法C47 C14 A443 360(种) (4)先从除去必须担任科代表,但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女 生的 6 人中选 3 人有 C36种, 再安排必须担任科代表,但不担任数学科代表的该男生有 C13种,其余 3 人全排列有 A33种, 所以共有不同选法 C36 C13 A

18、33360(种). 1 李芳有 4 件不同颜色的衬衣, 3 件不同花样的裙子, 另有两套不同样式的连衣裙 “五一” 节需选择一套服装参加歌舞演出,则李芳有_种不同的选择方式 考点 排列组合的综合应用 题点 分组、分配问题 答案 14 解析 由题意可得,李芳不同的选择方式为 43214. 2 包括甲、 乙在内的 7 个人站成一排, 其中甲在乙的左侧(可以不相邻), 有_种站法 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 2 520 解析 因为甲、乙定序了,所以有A 7 7 2 2 520(种) 3从 0,2,4 中取一个数字,从 1,3,5 中取两个数字,组成无重复数字的三位数,

19、则所有不同的 三位数的个数是_ 考点 排列组合的综合应用 题点 排列与组合的综合应用 答案 48 解析 第一类:从 2,4 中任取一个数,有 C12种取法,同时从 1,3,5 中取两个数字,有 C23种取 法,再把三个数全排列,有 A33种排法故有 C12C23A3336(种)取法 第二类:从 0,2,4 中取出 0,有 C11种取法,从 1,3,5 三个数字中取出两个数字,有 C23种取法, 然后把两个非 0 的数字中的一个先安排在首位,有 A12种排法,剩下的两个数字全排列,有 A22种排法,共有 C11C23A12A2212(种)方法 共有 361248(种)排法 4某电视台连续播放 5

20、 个广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告,要 求最后播放的必须是公益宣传广告,且 2 个公益宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式 有_种 考点 排列组合的综合应用 题点 排列与组合的综合应用 答案 36 解析 先安排后 2 个,再安排前 3 个,由分步计数原理知,共有 C12C13A3336(种)不同的播放 方式 5已知 xi1,0,1,i1,2,3,4,5,6,则满足 x1x2x3x4x5x62 的数组(x1,x2,x3, x4,x5,x6)的个数为_ 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 90 解析 根据题意,x1x2x3x4x5x62,xi1,0,1,i1,2,3,4,5,6, xi中有 2 个 1 和 4 个 0,或 3 个 1、1 个1 和 2 个 0,或 4 个 1 和 2 个1,共有 C26C36C23 C4690(个),满足 x1x2x3x4x5x62 的数组(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的个数为 90. 1 解排列、 组合综合题一般是先选元素、 后排元素, 或充分利用元素的性质进行分类、 分步, 再利用两个基本计数原理作最后处理 2对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重不漏 3对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意 顺序,避免计数的重复或遗漏.