1、1.4 计数应用题计数应用题 学习目标 1.了解计数应用题中的常见问题类型.2.理解排列、组合的概念及公式应用.3.掌握 解决排列组合综合应用题的方法 1两个基本计数原理 (1)分类计数原理 (2)分步计数原理 2排列、组合综合题的一般解法 一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过 程分类 3运用排列组合的知识，结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题 16 本不同的书分成 3 组，一组 4 本，其余组各 1 本，共有 30 种不同的分法( ) 27 名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他 6 名同学身高不等，甲的左，右两边以 身高为准，由高到低排
2、列，则不同的排法共有 20 种( ) 类型一 两个计数原理的应用 命题角度 1 “类中有步”的计数问题 例 1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信， 甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之 星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 28 800 解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计 算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有 30292017 40
3、0(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有 20193011 400(种)结 果因此共有 17 40011 40028 800(种)不同结果 反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示： 具体意义如下： 从 A 到 B 算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第 1 类办法中有 3 步，在第 2 类办 法中有 2 步，每步的方法数如图所示 所以，完成这件事的方法数为 m1m2m3m4m5， “类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一 件事的完成，“步”缺一不可 跟踪训练 1 一个同心圆形花坛，分为两部分，中
4、间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的 圆环分为 n(n3，nN)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜 色的花 (1)如图 1，圆环分成的 3 等份为 a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？ (2)如图 2，圆环分成的 4 等份为 a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？ 解 (1)如题图 1，先对 a1部分种植，有 3 种不同的种植方法，再对 a2，a3种植 因为 a2，a3与 a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步计数原理得 3216(种) (2)如题图2， 当a1， a3不同色时， 有32116(种)种植方法， 当a1， a3同色时， 有3221 12
5、(种)种植方法，由分类计数原理，共有 61218(种)种植方法 命题角度 2 “步中有类”的计数问题 例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、 “握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上 午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安 排方式共有_种(用数字作答) 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 264 解析 上午总测试方法有 432124(种)我们以 A，B，C，D，E 依次代表五个测试 项目若上午测试 E 的同学下午测试 D，则上午测试 A
6、 的同学下午只能测试 B，C，确定上 午测试 A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种；若上午测试 E 的同学下午测 试 A，B，C 之一，则上午测试 A，B，C 中任何一个的同学下午都可以测试 D，安排完这位 同学后其余两位同学的测试方式就确定了， 故共有 339(种)测试方法， 即下午的测试方法 共有 11 种，根据分步计数原理，总的测试方法共有 2411264(种) 反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示： 从计数的角度看，由 A 到 D 算作完成一件事，可简单地记为 AD. 完成 AD 这件事，需要经历三步，即 AB，BC，CD.其中 BC 这步又分为三
7、类，这 就是步中有类 其中 mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数 完成 AD 这件事的方法数为 m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法 跟踪训练 2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有_种 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 21 解析 根据题意，若电路接通，则开关 1,2 与 3,4,5 中至少有 1 个接通， 对于开关 1,2，共有 224(种)情况，其中全部断开的有 1(种)情况，则其至少有 1 个接通的 有 413(种)情况， 对于开关 3,4,5，共有 2228(种)情况，其中全部断开的有 1(种)情况，则
8、其至少有 1 个 接通的有 817(种)情况，则电路接通的情况有 3721(种) 类型二 有限制条件的排列问题 例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ (5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？ 考点 题点 解 (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同 5 个男 生合在一起共有 6 个元素，排成一排有 A66种不同排法对于其中的每一种
9、排法，3 个女生之 间又有 A33种不同的排法，因此共有 A66 A334 320(种)不同的排法 (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空， 这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有 6 个位置，再把 3 个女生插入这 6 个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于 5 个男生排成一排有 A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述 6 个位置中选出 3 个来 让 3 个女生插入有 A36种方法，因此共有 A55 A3614 400(种)不同的排法 (3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不
10、能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个， 有 A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 A66种排法，所以共有 A25 A6614 400(种)不同的排法 方法二 (间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A88种不同的排法，从中扣除女生排在首 位的 A13 A77种排法和女生排在末位的 A13 A77种排法， 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排 在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都 是女生有 A23 A66种不同的排法，所以共有 A882A13 A77A23 A6614 400(种)不同的排法 方法三 (特殊元素优
11、先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入，有 A36种不同的排 法，对于其中的任意一种排法，其余 5 个位置又都有 A55种不同的排法，所以共有 A36 A5514 400(种)不同的排法 (4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限 制了，这样可有 A15 A77种不同的排法；如果首位排女生，有 A13种排法，这时末位就只能排男 生，这样可有 A13 A15 A66种不同的排法 因此共有 A15 A77A13 A15 A6636 000(种)不同的排法 方法二 3 个女生和5 个男生排成一排有A88种排法， 从中扣去两端都是女生的排法
12、有A23 A66种， 就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A88A23 A6636 000(种)不同的排法 (5)(顺序固定问题)因为 8 人排队，其中两人顺序固定，共有A 8 8 A2220 160(种)不同的排法 反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能 放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻 烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条 件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽) (2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻
13、问题，可用“捆绑法”，即将相 邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即 先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中 跟踪训练 3 为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛该校高三年级 准备从包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3 名学生中 至少有 1 人参加，且当这 3 名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 4 名 学生不同的朗诵顺序的种数为_ 考点 排列的应用 题点 有限制条件的排列问题 答案 768 解析 根据题意，在 7 名学生中选派 4 名学生参加诗歌朗诵比赛，有 A47840
14、(种)情况， 其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有 A4424(种)， 则甲、乙、丙这 3 名学生中至少有 1 人参加的情况有 84024816(种)； 其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有 C14A22A3348(种)， 则满足题意的朗诵顺序有 81648768(种) 类型三 排列与组合的综合应用 例 4 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片， 从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的 排法共有多少种？ 考点 排列组合的综合应用 题点 排列与组合的综合应
15、用 解 分三类： 第一类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时，不同的排法有 C12 C12 C12 C12 A44种 第二类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时，不同的排法有 C22 C22 A44种 第三类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时，不同的排法有 C22 C22 A44种 故满足题意的所有不同的排法种数为 C12 C12 C12 C12 A442C22 C22 A44432. 反思与感悟 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的 元素都选出来，再对元素或位置进行排列 (2)解排列、组合综合问题时要
16、注意以下几点： 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列 问题 对于有多个限制条件的复杂问题， 应认真分析每个限制条件， 然后再考虑是分类还是分步， 这是处理排列、组合综合问题的一般方法 跟踪训练 4 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符 合下列条件的选法数 (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 解 (1)先选后排，先选可以是 2 女 3 男，也可以是 1
17、女 4 男， 先选有()C35C23C45C13种，后排有 A55种， 所以共有不同选法()C35C23C45C13 A555 400(种) (2)除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法 C47 A44840(种) (3)先选后排， 但先安排不担任语文科代表的该男生， 所以共有不同选法C47 C14 A443 360(种) (4)先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女 生的 6 人中选 3 人有 C36种， 再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有 C13种，其余 3 人全排列有 A33种， 所以共有不同选法 C36 C13 A
18、33360(种). 1 李芳有 4 件不同颜色的衬衣， 3 件不同花样的裙子， 另有两套不同样式的连衣裙 “五一” 节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有_种不同的选择方式 考点 排列组合的综合应用 题点 分组、分配问题 答案 14 解析 由题意可得，李芳不同的选择方式为 43214. 2 包括甲、 乙在内的 7 个人站成一排， 其中甲在乙的左侧(可以不相邻)， 有_种站法 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 2 520 解析 因为甲、乙定序了，所以有A 7 7 2 2 520(种) 3从 0,2,4 中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，
19、则所有不同的 三位数的个数是_ 考点 排列组合的综合应用 题点 排列与组合的综合应用 答案 48 解析 第一类：从 2,4 中任取一个数，有 C12种取法，同时从 1,3,5 中取两个数字，有 C23种取 法，再把三个数全排列，有 A33种排法故有 C12C23A3336(种)取法 第二类：从 0,2,4 中取出 0，有 C11种取法，从 1,3,5 三个数字中取出两个数字，有 C23种取法， 然后把两个非 0 的数字中的一个先安排在首位，有 A12种排法，剩下的两个数字全排列，有 A22种排法，共有 C11C23A12A2212(种)方法 共有 361248(种)排法 4某电视台连续播放 5
20、 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要 求最后播放的必须是公益宣传广告，且 2 个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式 有_种 考点 排列组合的综合应用 题点 排列与组合的综合应用 答案 36 解析 先安排后 2 个，再安排前 3 个，由分步计数原理知，共有 C12C13A3336(种)不同的播放 方式 5已知 xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足 x1x2x3x4x5x62 的数组(x1，x2，x3， x4，x5，x6)的个数为_ 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 90 解析 根据题意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6， xi中有 2 个 1 和 4 个 0，或 3 个 1、1 个1 和 2 个 0，或 4 个 1 和 2 个1，共有 C26C36C23 C4690(个)，满足 x1x2x3x4x5x62 的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为 90. 1 解排列、 组合综合题一般是先选元素、 后排元素， 或充分利用元素的性质进行分类、 分步， 再利用两个基本计数原理作最后处理 2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏 3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意 顺序，避免计数的重复或遗漏.