1、第第 2 课时课时 复数的乘方与除法运算复数的乘方与除法运算 学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内 仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解 i 的幂的周期性 知识点一 复数的乘方与 in(nN*)的周期性 思考 计算 i5，i6，i7，i8的值，你能推测 in(nN*)的值有什么规律吗？ 答案 i5i，i61，i7i，i81，推测 i4n 1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN*) 梳理 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任意复数 z，z1，z2和 m，nN*，有 zm znzm n. (zm)nzmn. (z1
2、z2)nzn1 zn2. (2)虚数单位 i 的乘方：in(nN*)的周期性 i4n_1_，i4n 1_i_，i4n21，i4n3i. 知识点二 复数的除法 思考 如何规定两复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？ 答案 通常先把(abi) (cdi)写成abi cdi的形式，再把分子与分母都乘以 cdi，化简后可 得结果 梳理 把满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数 xyi(x， yR)叫做复数 abi 除以复数 cdi 的商，且 xyiabi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i. 1两个复数的积与商一定是虚数( ) 2两个共轭复数的和与积
3、是实数( ) 3复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减( ) 类型一 i 的运算特征 例 1 计算下列各式的值 (1)1ii2i2 015i2 016； (2) 11 i 2 014(1i)2 014. 解 (1)1ii2i2 015i2 0161i 2 017 1i 1i 1i1. (2)11 i1 i2 i 1i，且(1 i)2 2i. 11 i 2 014(1i)2 014 (1i)2 014(1i)21 007 (2i)1 007(2i)1 00721 007i321 007i30. 反思与感悟 (1)虚数单位 i 的性质 i4n1，i4n 1i，i4n21，i4n3i(nN*)
4、i4ni4n 1i4n2i4n30(nN*) (2)复数的乘方运算， 要充分使用(1i)22i， (1i)22i， 1 ii 及乘方运算律简化运算 跟踪训练 1 计算：i2 006( 2 2i)8 2 1i 50. 解 i2 006( 2 2i)8 2 1i 50 i4 50122(1i)24 2 1i2 25 i2(4i)4i251256i255i. 类型二 复数的除法运算 例 2 (1)已知 i 是虚数单位，则复数3i 2i的共轭复数是_ 答案 1i 解析 3i 2i 3i2i 2i2i 55i 4i21i， 复数3i 2i的共轭复数为 1i. (2)计算：14i1i24i 34i . 解
5、 原式53i24i 34i 7i 34i 7i34i 34i34i 2525i 25 1i. 反思与感悟 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的 共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以 i. 跟踪训练 2 已知 i 是虚数单位，则i 3i1 i1 _. 答案 1 解析 i1 i1 1i2 1i1i 2i 2i， i 3i1 i1 i3 (i)i41. 类型三 复数四则运算的综合应用 例 3 计算： (1) i2 3 12 3i(5i 2) 1i 2 2； (2) 2 2i 345i 54i1i . 解 (1) i2 3 12 3i(5i 2) 1i 2 2 12
6、3ii 12 3i (51)2i 2i4i4. (2)原式2 21i 354ii 54i1i 2 21i 4i 1i1i 2 21i 22 i 2 2 (2i)2 i 4 2i. 反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减 (2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用 abi bai abii biai2 abii abi i(a，bR，bai0)利用此法可将一些特殊类型的计算过 程简化 记忆一些简单结论如1 ii， 1i 1ii， 1i 1ii，(1 i) 2 2i 等 设 1 2 3 2 i，则 210，31. 跟踪训练 3 计算：32i 23i 3 2
7、i 2 6. 解 原式i23i 23i i6 1 2 3 2 i 6 ii2i1. 1已知 i 是虚数单位，则 2 1i2_. 答案 i 解析 2 1i2 2 2ii. 2若复数2bi 12i的实部与虚部互为相反数，则 b_. 答案 2 3 解析 2bi 12i 2bi12i 12i12i 22bb4i 5 ， 由题意知 22b(b4)0， 得 b2 3. 3如果 z 2 1i，那么 z 100z501_. 答案 i 解析 z2 2 1i 2i， 则 z100z501(z2)50(z2)251 i50i2511i1i. 4已知复数 z1ai(aR，i 是虚数单位)， z z 3 5 4 5i，
8、则 a_. 答案 2 解析 由题意可知1ai 1ai 1ai2 1ai1ai 1a 2 1a2 2a 1a2i 3 5 4 5i， 因此1a 2 1a2 3 5. 化简得 5a253a23， 所以 a24，则 a 2. 由 2a 1a2 4 5可知 a0，所以 a2. 5化简：1 3i 3 1i6 2i 12i _. 答案 2i 解析 原式 1 3i 2i 32i12i 5 ii2i. 1熟练掌握乘除法运算法则求解运算时要灵活运用 in的周期性此外，实数运算中的平 方差公式、两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立 2在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答在这里需要掌 握一些常用的结论， 如(1i)22i，(1i)22i， 1i 1ii， 1i 1ii，baii(abi)利 用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错 3在进行复数运算时，要理解好 i 的性质，切记不要出现“i21”，“i41”等错误.