1、32 复数的四则运算复数的四则运算 第第 1 课时课时 复数的加法复数的加法、减法减法、乘法运算乘法运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法 运算.3.掌握共轭复数的概念及应用 知识点一 复数的加减运算 思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？ 答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi) (cdi) (a c)(b d)i(a，b，c，dR) 思考 2 复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足 梳理 (1)运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那
2、么(abi)(cdi)(ac)(b d)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (2)加法运算律 对任意 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 知识点二 复数的乘法运算 思考 复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？ 答案 复数的乘法类似于多项式的乘法， 相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式， 运算过程中要把 i2换成1，然后把实部与虚部分别合并 梳理 (1)复数的乘法法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)， z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. (2)乘法运算律 对于任意 z1，z2，z3C，有 交换律 z1
3、z2z2z1 结合律 (z1z2)z3z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 知识点三 共轭复数 思考 复数 34i 与 34i，abi 与 abi(a，bR)有什么特点？ 答案 这两组复数的特点：实部相等，虚部互为相反数 梳理 (1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数 (2)复数 zabi(a，bR)的共轭复数记作 z ，即 z abi. (3)当复数 zabi(a，bR)的虚部 b0 时，z z ，也就是说，实数的共轭复数仍是它本 身 1两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数( ) 2任意有限个复数的含加、减、乘法的混合
4、运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有 括号时先算括号内的( ) 3两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数( ) 类型一 复数的加减运算 例 1 计算： (1)(35i)(34i)； (2)(32i)(45i)； (3)(55i)(22i)(33i) 解 (1)(35i)(34i)(33)(54)i6i. (2)(32i)(45i) (34)2(5)i77i. (3)(55i)(22i)(33i) (523)5(2)3i10i. 反思与感悟 复数加减运算法则的记忆方法 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项 跟踪训练 1 (1
5、)计算：(56i)(2i)(34i)； (2)已知复数 z 满足 z13i52i，求 z. 解 (1)(56i)(2i)(34i) (52)(61)i(34i) (37i)(34i) (33)(74)i11i. (2)由 z13i52i，得 z(52i)(13i)(51)(23)i4i. 类型二 复数的乘法 例 2 计算： (1)(1i)(1i)(1i)； (2)(2i)(15i)(34i)2i. 解 (1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i. (2)(2i)(15i)(34i)2i (210ii5i2)(34i)2i (211i5)(34i)2i (311i)(34i)2i (912i3
6、3i44i2)2i 5321i2i5323i. 反思与感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运 算混合运算的顺序与实数的运算顺序一样 (2)平方差公式、 完全平方公式等在复数范围内仍然成立 一些常见的结论要熟悉： i21， (1 i)2 2i. 跟踪训练 2 若复数(m2i)(1mi)是实数，则实数 m_. 答案 1 解析 (m2i)(1mi)m2m(m31)i 是实数， m310，则 m1. 类型三 共轭复数的概念 例 3 复数 z 满足 zz 2iz42i，求复数 z 的共轭复数 解 设 zxyi(x，yR)，则 z xyi. zz 2iz42i，x2y
7、22i(xyi)42i， 因此(x2y22y)2xi42i. 得 x2y22y4， 2x2， 解得 x1， y3， 或 x1， y1， z13i 或 z1i. 因此 z 的共轭复数 z 13i 或 z 1i. 反思与感悟 (1)有关复数 z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：设 zabi(a， bR)，则 zz a2b2；zRz z . (2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟 练地进行复数运算是解题的基础 跟踪训练 3 已知 zC， z 为 z 的共轭复数，若 zz 3i z 13i，求 z. 解 设 zabi(a，bR)， 则 z abi(a
8、，bR) 由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i， 即 a2b23b3ai13i， 则有 a2b23b1， 3a3， 解得 a1， b0 或 a1， b3， 所以 z1 或 z13i. 1已知复数 z11 2 3 2 i 和复数 z2cos 60 isin 60 ，则 z1z2_. 答案 1 解析 z21 2 3 2 i，z1z21. 2已知 i 是虚数单位，则(1i)(2i)_. 答案 13i 解析 (1i)(2i)23ii213i. 3若复数 z 满足 z(23i)12i，则 z25i_. 答案 1 解析 z12i23i35i， z25i35i25i1. 4设复数 z1x2i，z
9、23yi(x，yR)，若 z1z256i，则 z1z2_. 答案 110i 解析 z1z2x2i(3yi)(x3)(2y)i， (x3)(2y)i56i(x，yR)， 由复数相等的定义，得 x2 且 y8， z1z222i(38i)110i. 5复数 z1a4i，z23bi，若它们的和 z1z2为实数，差 z1z2为纯虚数，则实数 a， b 的值分别为_ 答案 3，4 解析 z1z2a3(4b)i 为实数， 4b0，即 b4. 又 z1z2(a3)(4b)i 为纯虚数， a30 且 4b0，a3. 1复数的加减运算 把复数的代数形式 zabi(a，bR)看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算， 类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则 2两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(32i)2i3. 3复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1，再把 实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数 4理解共轭复数的性质 (1)zRz z . (2)当 a，bR 时，有 a2b2(abi)(abi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据