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2.1.1 合情推理(第3课时)用数学归纳法证明整除问题、几何问题 学案(苏教版高中数学选修2-2)

1、第第 3 课时课时 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题、几何问题几何问题 学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明整除问题、几 何问题等数学命题的方法.2.掌握证明 nk1 成立的常见变形技巧: 提公因式、 添项、 拆项、 合并项、配方等 知识点一 归纳法 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法, 分完全归纳法和不完全归纳法两种, 而不完全归纳 法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明 知识点二 数学归纳法 1应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与正整数 n 有关的数学命题 2基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可 3注

2、意点:在第二步归纳递推时,从 nk 到 nk1 必须用上归纳假设. 类型一 整除问题 例 1 用数学归纳法证明 f(n)352n 123n1对任意正整数 n,都能被 17 整除 证明 (1)当 n1 时, f(1)353241723,能被 17 整除,命题成立 (2)假设当 nk(k1,kN*)时, f(k)352k 123k1能被 17 整除 则当 nk1 时, f(k1)352k 323k4 52352k 12323k1 25352k 1823k1 17352k 18(352k123k1) 17352k 18f(k) 由归纳假设,f(k)能被 17 整除,17352k 1 也能被 17 整

3、除, 所以 f(k1)能被 17 整除 由(1)和(2)可知,对任意 nN*,f(n)都能被 17 整除 反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”,常采用拆项、增项、减项和因式分解等手 段,凑完项后式子总会含有两部分,一部分是归纳假设,另一部分是一定能被题中的数(或 式)整除的量 跟踪训练 1 用数学归纳法证明(3n1) 7n1(nN*)能被 9 整除 证明 当 n1 时,47127,能被 9 整除 假设当 nk(kN*)时,命题成立, 即(3k1) 7k1 能被 9 整除, 则当 nk1 时, (3k4) 7k 117 (3k1) 7k21 7k1 (3k1) 7k118k 7k6 7k2

4、1 7k (3k1) 7k118k 7k27 7k, 由假设知,(3k1) 7k1 能被 9 整除,又因为 18k 7k27 7k能被 9 整除,所以当 nk1 时,命题成立 由知,对一切 nN*,(3n1) 7n1 都能被 9 整除 类型二 几何问题 例 2 平面内有 n(nN*, n2)条直线, 其中任何两条不平行, 任何三条不过同一点, 证明: 交点的个数为 f(n)nn1 2 . 证明 当 n2 时,两条直线的交点只有一个, 又 f(2)1 22(21)1, 当 n2 时,命题成立 假设 nk(k2,kN*)时,命题成立, 即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数为 f(k)1 2k

5、(k1), 那么当 nk1 时,任取一条直线 l,除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 f(k)1 2k(k1), l 与其他 k 条直线交点个数为 k, 从而 k1 条直线共有 f(k)k 个交点, 即 f(k1)f(k)k1 2k(k1)k 1 2k(k12) 1 2k(k1) 1 2(k1)(k1)1, 当 nk1 时,命题成立 由可知,对任意 nN*,n2,命题都成立 反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时, 一要注意数形结合, 二要注意有必要的文字说 明 跟踪训练 2 平面内有 n(nN*)个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于 同一点,求证:这 n 个圆把平面分成

6、f(n)n2n2 部分 证明 当 n1 时,分为 2 块,f(1)2,命题成立; 假设当 nk(kN*)时, 被分成 f(k)k2k2 部分, 那么当 nk1 时,依题意知, 第 k1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个交点,第 k1 个圆被截为 2k 段弧,每段弧把所经过的区 域分为两部分, 所以平面上净增加了 2k 个区域 所以 f(k1)f(k)2kk2k22k (k1)2(k1)2, 即当 nk1 时,命题成立 由知命题成立 类型三 归纳猜想证明 例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn,其中 an Sn n2n1,且 a1 1 3. (1)求 a2,a3; (2)猜想数列an的通项公

7、式,并证明 解 (1)a2 S2 2221 a1a2 6 ,a11 3, 则 a2 1 15,同理求得 a3 1 35. (2)由 a1 1 13,a2 1 35,a3 1 57, 猜想 an 1 2n12n1(nN *) 证明:当 n1 时,a11 3,等式成立; 假设当 nk(k1,kN*)时,猜想成立, 即 ak 1 2k12k1, 那么当 nk1 时,由题设 an Sn n2n1, 得 ak Sk k2k1,ak 1 Sk1 k12k1, 所以 Skk(2k1)ak k(2k1) 1 2k12k1 k 2k1. Sk1(k1)(2k1)ak1, ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1

8、 k 2k1, 因此,k(2k3)ak1 k 2k1, 所以 ak1 1 2k12k3 1 2k112k11. 所以当 nk1 时,命题成立 由可知,命题对任意 nN*都成立 反思与感悟 (1)“归纳猜想证明”的解题步骤 (2)归纳法的作用 归纳法是一种推理方法,数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想,而数学归 纳法的作用是证明猜想“观察猜想证明”是解答与自然数有关命题的有效途径 跟踪训练 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a11,Snn2an(nN*) (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an的表达式 解 (1)anSn

9、Sn1(n2), Snn2(SnSn1) Sn n2 n21Sn 1(n2), a11,S1a11, S24 3,S3 3 2 6 4,S4 8 5, 猜想 Sn 2n n1(nN *) (2)当 n1 时,S11 成立 假设 nk(k1,kN*)时,等式成立, 即 Sk 2k k1, 当 nk1 时, Sk1(k1)2 ak1ak1Skak1 2k k1, ak1 2 k2k1, Sk1(k1)2 ak12k1 k2 2k1 k11, 当 nk1 时等式也成立 根据可知,对于任意 nN*,等式均成立 又ak1 2 k2k1,an 2 nn1(nN *). 1用数学归纳法证明 n 边形的内角和

10、为(n2) 180 时,其初始值 n0为_ 答案 3 2 已知 123332433n3n 13n(nab)c 对一切 nN*都成立, 那么 a, b,c 的值为_ 答案 1 2, 1 4, 1 4 解析 令 n 等于 1,2,3,得 13abc, 12392abc, 123332273abc, 解得 a1 2,bc 1 4. 3用数学归纳法证明“凸 n(n3,nN*)边形的内角和公式”时,由 nk 到 nk1 时增 加了_ 答案 180 解析 凸 n 边形内角和为 180 (n2), 则 180 (k12)180 (k2)180 . 4用数学归纳法证明“n35n 能被 6 整除”的过程中,当

11、nk1 时,对式子(k1)35(k 1)应变形为_ 答案 (k35k)3k(k1)6 解析 采取配凑法, 凑出归纳假设 k35k 来, (k1)35(k1)k33k23k15k5(k3 5k)3k(k1)6. 5用数学归纳法证明:当 n 是非负整数时,34n 252n1 能被 14 整除 证明 当 n0 时,34n 252n114,能被 14 整除 假设当 nk(k0,kN)时,34k 252k1能被 14 整除, 则当 nk1 时,34(k 1)252(k1)134k652k3 8134k 22552k1 25(34k 252k1)5634k2. 显然 25(34k 252k1)是14 的倍

12、数, 5634k2也是14 的倍数, 故 34k652k3是 14的倍数, 即当 nk1 时,34(k 1)252(k1)1 能被 14 整除 综合知,当 n 是非负整数时,34n 252n1 能被 14 整除 1 在证明整除问题时, 有些命题可能仅当 n 是偶数(或奇数)时成立, 证明时可适当地转化 k, 使 k 成为全体自然数的形式如:证明 xnyn能被 xy 整除,n 为正奇数,证明时需将问 题转化为证明 x2k 1y2k1能被 xy 整除,kN*. 2几何问题常常是先探索出满足条件的公式,然后加以证明,探索的方法是由特殊猜想出 一般结论 3利用“归纳猜想证明”来研究探究性问题,一般从最特殊的情况入手,通过分 析、归纳、猜想,从而达到探索一般规律的目的