1、第第 3 课时课时 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题、几何问题几何问题 学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明整除问题、几 何问题等数学命题的方法.2.掌握证明 nk1 成立的常见变形技巧： 提公因式、 添项、 拆项、 合并项、配方等 知识点一 归纳法 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法， 分完全归纳法和不完全归纳法两种， 而不完全归纳 法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明 知识点二 数学归纳法 1应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数 n 有关的数学命题 2基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可 3注
2、意点：在第二步归纳递推时，从 nk 到 nk1 必须用上归纳假设. 类型一 整除问题 例 1 用数学归纳法证明 f(n)352n 123n1对任意正整数 n，都能被 17 整除 证明 (1)当 n1 时， f(1)353241723，能被 17 整除，命题成立 (2)假设当 nk(k1，kN*)时， f(k)352k 123k1能被 17 整除 则当 nk1 时， f(k1)352k 323k4 52352k 12323k1 25352k 1823k1 17352k 18(352k123k1) 17352k 18f(k) 由归纳假设，f(k)能被 17 整除，17352k 1 也能被 17 整
3、除， 所以 f(k1)能被 17 整除 由(1)和(2)可知，对任意 nN*，f(n)都能被 17 整除 反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，常采用拆项、增项、减项和因式分解等手 段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，另一部分是一定能被题中的数(或 式)整除的量 跟踪训练 1 用数学归纳法证明(3n1) 7n1(nN*)能被 9 整除 证明 当 n1 时，47127，能被 9 整除 假设当 nk(kN*)时，命题成立， 即(3k1) 7k1 能被 9 整除， 则当 nk1 时， (3k4) 7k 117 (3k1) 7k21 7k1 (3k1) 7k118k 7k6 7k2
4、1 7k (3k1) 7k118k 7k27 7k， 由假设知，(3k1) 7k1 能被 9 整除，又因为 18k 7k27 7k能被 9 整除，所以当 nk1 时，命题成立 由知，对一切 nN*，(3n1) 7n1 都能被 9 整除 类型二 几何问题 例 2 平面内有 n(nN*， n2)条直线， 其中任何两条不平行， 任何三条不过同一点， 证明： 交点的个数为 f(n)nn1 2 . 证明 当 n2 时，两条直线的交点只有一个， 又 f(2)1 22(21)1， 当 n2 时，命题成立 假设 nk(k2，kN*)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数为 f(k)1 2k
5、(k1)， 那么当 nk1 时，任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 f(k)1 2k(k1)， l 与其他 k 条直线交点个数为 k， 从而 k1 条直线共有 f(k)k 个交点， 即 f(k1)f(k)k1 2k(k1)k 1 2k(k12) 1 2k(k1) 1 2(k1)(k1)1， 当 nk1 时，命题成立 由可知，对任意 nN*，n2，命题都成立 反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时， 一要注意数形结合， 二要注意有必要的文字说 明 跟踪训练 2 平面内有 n(nN*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于 同一点，求证：这 n 个圆把平面分成
6、f(n)n2n2 部分 证明 当 n1 时，分为 2 块，f(1)2，命题成立； 假设当 nk(kN*)时， 被分成 f(k)k2k2 部分， 那么当 nk1 时，依题意知， 第 k1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个交点，第 k1 个圆被截为 2k 段弧，每段弧把所经过的区 域分为两部分， 所以平面上净增加了 2k 个区域 所以 f(k1)f(k)2kk2k22k (k1)2(k1)2， 即当 nk1 时，命题成立 由知命题成立 类型三 归纳猜想证明 例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，其中 an Sn n2n1，且 a1 1 3. (1)求 a2，a3； (2)猜想数列an的通项公
7、式，并证明 解 (1)a2 S2 2221 a1a2 6 ，a11 3， 则 a2 1 15，同理求得 a3 1 35. (2)由 a1 1 13，a2 1 35，a3 1 57， 猜想 an 1 2n12n1(nN *) 证明：当 n1 时，a11 3，等式成立； 假设当 nk(k1，kN*)时，猜想成立， 即 ak 1 2k12k1， 那么当 nk1 时，由题设 an Sn n2n1， 得 ak Sk k2k1，ak 1 Sk1 k12k1， 所以 Skk(2k1)ak k(2k1) 1 2k12k1 k 2k1. Sk1(k1)(2k1)ak1， ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1
8、 k 2k1， 因此，k(2k3)ak1 k 2k1， 所以 ak1 1 2k12k3 1 2k112k11. 所以当 nk1 时，命题成立 由可知，命题对任意 nN*都成立 反思与感悟 (1)“归纳猜想证明”的解题步骤 (2)归纳法的作用 归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想，而数学归 纳法的作用是证明猜想“观察猜想证明”是解答与自然数有关命题的有效途径 跟踪训练 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN*) (1)试求出 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式； (2)证明你的猜想，并求出 an的表达式 解 (1)anSn
9、Sn1(n2)， Snn2(SnSn1) Sn n2 n21Sn 1(n2)， a11，S1a11， S24 3，S3 3 2 6 4，S4 8 5， 猜想 Sn 2n n1(nN *) (2)当 n1 时，S11 成立 假设 nk(k1，kN*)时，等式成立， 即 Sk 2k k1， 当 nk1 时， Sk1(k1)2 ak1ak1Skak1 2k k1， ak1 2 k2k1， Sk1(k1)2 ak12k1 k2 2k1 k11， 当 nk1 时等式也成立 根据可知，对于任意 nN*，等式均成立 又ak1 2 k2k1，an 2 nn1(nN *). 1用数学归纳法证明 n 边形的内角和
10、为(n2) 180 时，其初始值 n0为_ 答案 3 2 已知 123332433n3n 13n(nab)c 对一切 nN*都成立， 那么 a， b，c 的值为_ 答案 1 2， 1 4， 1 4 解析 令 n 等于 1,2,3，得 13abc， 12392abc， 123332273abc， 解得 a1 2，bc 1 4. 3用数学归纳法证明“凸 n(n3，nN*)边形的内角和公式”时，由 nk 到 nk1 时增 加了_ 答案 180 解析 凸 n 边形内角和为 180 (n2)， 则 180 (k12)180 (k2)180 . 4用数学归纳法证明“n35n 能被 6 整除”的过程中，当
11、nk1 时，对式子(k1)35(k 1)应变形为_ 答案 (k35k)3k(k1)6 解析 采取配凑法， 凑出归纳假设 k35k 来， (k1)35(k1)k33k23k15k5(k3 5k)3k(k1)6. 5用数学归纳法证明：当 n 是非负整数时，34n 252n1 能被 14 整除 证明 当 n0 时，34n 252n114，能被 14 整除 假设当 nk(k0，kN)时，34k 252k1能被 14 整除， 则当 nk1 时，34(k 1)252(k1)134k652k3 8134k 22552k1 25(34k 252k1)5634k2. 显然 25(34k 252k1)是14 的倍
12、数， 5634k2也是14 的倍数， 故 34k652k3是 14的倍数， 即当 nk1 时，34(k 1)252(k1)1 能被 14 整除 综合知，当 n 是非负整数时，34n 252n1 能被 14 整除 1 在证明整除问题时， 有些命题可能仅当 n 是偶数(或奇数)时成立， 证明时可适当地转化 k， 使 k 成为全体自然数的形式如：证明 xnyn能被 xy 整除，n 为正奇数，证明时需将问 题转化为证明 x2k 1y2k1能被 xy 整除，kN*. 2几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜想出 一般结论 3利用“归纳猜想证明”来研究探究性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分 析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的