1、第第 2 课时课时 类比推理类比推理 学习目标 1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳 推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性 知识点一 类比推理 思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公 转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度 适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使 用了什么样的推理？ 答案 类比推理 梳理 (1)类比推理的定义 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同， 像这样的推
2、理通常称为类比推理，简称类比法 (2)类比推理的思维过程大致如图 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 (3)特征：由特殊到特殊的推理 知识点二 合情推理 思考 1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别： 归纳推理是由特殊到一般的推理； 而类比推理是由个别到个别的推理或是由特 殊到特殊的推理 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假 思考 2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 答案 不一定正确 梳理 (1)合情推理的含义 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推 测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推
3、理 (2)合情推理的过程 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 1由合情推理得出的结论一定是正确的( ) 2合情推理必须有前提有结论( ) 3类比推理不能猜想( ) 类型一 数列中的类比推理 例 1 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比 以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，T16 T12成等比数 列 答案 T8 T4 T12 T8 解析 由于等差数列与等比数列具有类比性， 且等差数列与和差有关， 等比数列与积商有关， 因此当等差数列依次每 4 项的和仍成等差数列时， 类比等比数
4、列为依次每 4 项的积成等比数 列下面证明该结论的正确性： 设等比数列bn的公比为 q，首项为 b1， 则 T4b41q6，T8b81q1 27b8 1q 28， T12b12 1q 1211b12 1q 66， T16b16 1q 1215b16 1q 120， T8 T4b 4 1q 22，T12 T8 b41q38， T16 T12b 4 1q 54， 即 T8 T4 2T12 T8 T4， T12 T8 2T8 T4 T16 T12， 故 T4，T8 T4， T12 T8 ，T16 T12成等比数列 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质， 在类比过程中也有一些规律， 如下表
5、所示的部分结论(其中 d，q 分别是公差和公比，m，n，p，rN*)： 等差数列 等比数列 定义 anan1d(n2) an an1q(n2) 通项公式 ana1(n1)d ana1qn 1 性质 若 mnpr，则 amanapar 若 mnpr，则 am anap ar 跟踪训练 1 若数列an(nN*)是等差数列，则有数列 bna1a2an n (nN*)也是等差 数列；类比上述性质，相应地：若数列cn(nN*)是等比数列，且 cn0，则有数列 dn _(nN*)也是等比数列 答案 n c1c2c3cn 解析 数列an(nN*)是等差数列，则有数列 bna1a2an n (nN*)也是等差
6、数列类 比猜想：若数列cn(nN*)是各项均为正数的等比数列，则当 dn n c1c2c3cn(nN*)时， 数列dn也是等比数列 类型二 几何中的类比推理 例 2 如图，在 RtABC 中，C90 .设 a，b，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理， 得 c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想 解 如题图，在 RtABC 中，C90 .设 a，b，c 分别表示 3 条边的长度，由勾股定理， 得 c2a2b2. 类似地，如图所示，在四面体 PDEF 中，PDFPDEEDF90 .设 S1，S2，S3和 S 分别表示PDF，PDE，EDF 和PEF 的面积，相
7、对于直角三角形的两条直角边 a， b 和 1 条斜边 c，图中的四面体有 3 个“直角面”S1，S2，S3和 1 个“斜面”S.于是类比勾股 定理的结构，我们猜想 S2S21S22S23成立 反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以 从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的 相关结论 (2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平 面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下： 平面图形 空间图形 点 直线 直线 平面 边长 面积 面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 跟
8、踪训练 2 在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 ，cos2cos2 1，则在立体几何中，给出类比猜想 解 在长方形 ABCD 中， cos2cos2 a c 2 b c 2a 2b2 c2 c 2 c21. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 ， 则 cos2cos2cos21. 类型三 合情推理的应用 例 3 我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义； (2)探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列an中，如果 a1a，a2b，求它的前 n 项和
9、 Sn. 解 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等和数列 (2)由(1)知 anan1an1an2， 所以 an2an. 所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等 (3)当 n 为奇数时，令 n2k1，kN*，则 SnS2k1S2k2a2k12k2 2 (ab)a n1 2 (ab)an1 2 an1 2 b； 当 n 为偶数时，令 n2k，kN*，则 SnS2kk(ab)n 2(ab) 所以它的前 n 项和 Sn n1 2 an1 2 b，n为奇数， n 2ab，n为偶数. 反思与感悟 定义类比应用问题是常考查的题型， 通过对某种概念的
10、定义及性质的理解， 类 比出其他相似概念的定义和性质， 很好地考查学生类比应用的能力， 本类题型解决的关键在 于弄清两个概念的相似性和相异性 跟踪训练 3 定义“等积数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同 一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积 数列，且 a12，公积为 6，求这个数列的前 n 项和 Sn. 解 由定义，得 an 2，n为奇数， 3，n为偶数. 前 n 项和 Sn 5n 2 1 2，n为奇数， 5n 2 ，n为偶数. 1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “mnnm”类比得到“a bb a”； “(mn
11、)tmtnt”类比得到“(ab) ca cb c”； “t0，mtntmn”类比得到“c0，a cb cab”； “|m n|m| |n|”类比得到“|a b|a| |b|”以上类比得到的正确结论的序号是 _(写出所有正确结论的序号) 答案 2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是_(填序号) 三角形；梯形；平行四边形；矩形 答案 解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行 3在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空 间上，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_ 答案 18 解析 设两个
12、正四面体的体积分别为 V1，V2， 则 V1V21 3S1h1 1 3S2h2S1h1S2h218. 4已知bn为等比数列，b52，则 b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类 似结论为_ 答案 a1a2a929 解析 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有 a1a2a929. 5三角形的面积为 S1 2(abc)r，a，b，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径， 利用类比推理可以得到四面体的体积为_ 答案 1 3(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r 为内切球的半径) 解析 ABC 的内心为 O，连结 OA，OB，OC，将ABC
13、分割为三个小三角形，这三个小 三角形的高都是 r，底边长分别为 a，b，c.类比：设四面体 ABCD 的内切球球心为 O，连 结 OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以 O 为顶点，以原来侧面为底面的四面体，高 都为 r，所以 V1 3(S1S2S3S4)r. 1在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点 表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误 2提高所得结论的准确性的常用技巧 (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些 (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性 (3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.