1、132 极大值与极小值极大值与极小值 第第 1 课时课时 极值的概念及求法极值的概念及求法 学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并 会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件 知识点一 函数的极值点和极值 思考 1 观察 yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值 答案 极大值点为 e，g，i，极大值为 f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为 d，f，h，极小值为 f(d)， f(f)，f(h) 思考 2 导数为 0 的点一定是极值点吗？ 答案 不一定， 如 f(x)x3， 尽管由 f(x)3x20， 得出 x
2、0， 但 f(x)在 R 上是单调递增的， 不满足在 x0 的左、右两侧符号相反，故 x0 不是 f(x)x3的极值点 梳理 (1)极小值点与极小值 若函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0， 而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，就把点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点， f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 (2)极大值点与极大值 若函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0， 而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)1 时，f(x)6xx(a1)， 列表如下.
3、 x (，0) 0 (0，a1) a1 (a1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 f(0) 极小值 f(a1) 从上表可知，函数 f(x)在(，0)上单调递增， 在(0，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增 综上，当 a1 时，f(x)的单调增区间为(，)， 当 a1 时，f(x)的单调增区间为(，0)，(a1，)，单调减区间为(0，a1) (2)由(1)知，当 a1 时，函数 f(x)没有极值 当 a1 时，函数在 x0 处取得极大值 1，在 xa1 处取得极小值 1(a1)3. 反思与感悟 含参数的函数求极值应从 f(x)0 的两根 x1，x2相等与否入手进行 跟踪训练 2 已知
4、函数 f(x)xaln x(aR) (1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值 解 函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1a x. (1)当 a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12 x(x0)， 因而 f(1)1，f(1)1. 所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20. (2)由 f(x)1a x xa x ，x0 知， 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，令 f(x)0，解得 xa. 又当 x(0，a)时，f(x
5、)0， 从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值 类型二 已知函数极值求参数 例 3 已知函数 f(x)x33ax2bxa2在 x1 处有极值 0，求 a，b 的值 解 f(x)3x26axb，且函数 f(x)在 x1 处有极值 0. f10， f10， 即 36ab0， 13aba20， 解得 a1， b3 或 a2， b9. 当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20， 此时函数 f(x)在 R 上为增函数，无极值，
6、故舍去 当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3) 当 x(，3)时，f(x)0，此时 f(x)为增函数； 当 x(3，1)时，f(x)0，此时 f(x)为增函数 故 f(x)在 x1 时取得极小值，a2，b9. 反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用，确定函数的解析式时，应注意两点 (1)根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验 证根的合理性 跟踪训练 3 设 x1 与 x2 是函数 f(x)aln xbx2x 的两个极值点 (1)试确定常数 a 和 b 的值；
7、(2)判断 x1，x2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 解 (1)f(x)aln xbx2x， f(x)a x2bx1， f(1)f(2)0，a2b10 且a 24b10， 解得 a2 3，b 1 6. (2)由(1)可知 f(x)2 3ln x 1 6x 2x， 且定义域是(0，)， f(x)2 3x 11 3x1 x1x2 3x . 当 x(0,1)时，f(x)0； 当 x(2，)时，f(x)0，f(x)a1 x ax1 x ， 所以当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立， 所以函数 f(x)在(0，)上单调递
8、减， 所以 f(x)在(0，)上没有极值点 5已知曲线 f(x)x3ax2bx1 在点(1，f(1)处的切线斜率为 3，且 x2 3是 yf(x)的极值 点，则 ab_. 答案 2 解析 f(x)3x22axb， 由题意，知 f13， f 2 3 0， 即 32ab3， 4 3 4 3ab0， 解得 a2， b4， 则 ab2. 1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函 数值 2 极值是一个局部概念， 它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大值或最小值， 并不意味着它在整个定义域内是最大值或最小值可导函数 f(x)在点 xx0处取得极值的充 要条件是 f(x0)0 且在 xx0两侧 f(x)符号相反 3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题