1、152 定积分定积分 学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义 知识点一 定积分的概念 思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点 答案 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定 形式和的逼近 梳理 一般地，设函数 f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成 n 个小区间，每个小 区间长度为 x xba n ，在每个小区间上取一点，依次为 x1，x2，xi，xn.作和 Sn f(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x， 如果当 x0(亦即 n)时， SnS(常数)， 那么称常数 S 为函数
2、f(x)在区间a，b上的定积分，记为 Sbaf(x)dx，其中，f(x)称为被积函 数，a，b称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限 知识点二 定积分的几何意义 思考 1 根据定积分的定义求得21(x1)dx 的值是多少？ 答案 21(x1)dx5 2. 思考 2 21(x1)dx 的值与直线 x1，x2，y0，f(x)x1 围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等 梳理 一般地，定积分的几何意义是在区间a，b上曲线与 x 轴所围图形面积的代数和(即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积). 类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算21(3x2)dx 的值 解
3、令 f(x)3x2. (1)分割 在区间1,2上等间隔地插入 n1 个分点，把区间1,2等分成 n 个小区间ni1 n ，ni n (i 1,2，n)，每个小区间的长度为 xni n ni1 n 1 n. (2)以直代曲、作和 取 ini1 n (i1,2，n)，则 Sn i1 n f ni1 n x i1 n 3ni1 n 2 1 n i1 n 3i1 n2 5 n 3 n2012(n1)5 3 2 n2n n2 513 2 3 2n. (3)逼近 当 x0(亦即 n)时，Sn13 2 ， 所以 S21(3x2)dx13 2 . 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤 跟踪训练 1 利用定积分的
4、定义计算32(x2)dx. 解 令 f(x)x2. 将区间2,3平均分为 n 个小区间，每个小区间的长度为 xi1 n， xi1，xi 2i1 n ，2i n ，i1,2，n. 取 ixi2i n，则 f(i)2 i n24 i n. 则 Sn n i1f(i)x n i1 4i n 1 n n i1 4 n i n2 n 4 n 12n n2 4n1 2n . 当 n 趋于时，32(x2)dx9 2. 类型二 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值 (1)102dx； (2)21xdx； (3)111x2dx. 解 (1)102dx 表示
5、的是图中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为 2， 所以102dx2. (2)21xdx 表示的是图中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为3 2， 所以21xdx3 2. (3)111x2dx 表示的是图中阴影部分所示的半径为 1 的半圆的面积，其值为 2， 所以111x2dx 2. 引申探究 1将本例(3)改为利用定积分的几何意义求101x2dx. 解 101x2dx 表示的是图中阴影部分所示半径为 1 的圆的1 4的面积，其值为 4， 101x2dx 4. 2将本例(3)改为利用定积分的几何意义求101x12dx. 解 101x12dx 表示的是图中阴影部分所示半径
6、为 1 的圆的1 4面积，其值为 4， 101x12dx 4. 反思与感悟 利用定积分所表示的几何意义求baf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 yf(x)，直 线 xa， 直线 xb 及 x 轴所围成的平面图形的形状 常见形状是三角形、 直角梯形、 矩形、 圆等可求面积的平面图形 跟踪训练 2 利用定积分的几何意义，求： (1)339x2dx； (2)30(2x1)dx. 解 (1)在平面上 y 9x2表示的几何图形为以原点为圆心， 以 3 为半径的上半圆， 如图(1) 所示， 其面积 S1 23 29 2. 由定积分的几何意义知，339x2dx9 2. (2)在平面上，f(x)2x1 为一
7、条直线 30(2x1)dx 表示直线 f(x)2x1，x0，x3，y0 所围成的直角梯形 OABC 的面积，如 图(2)， 其面积 S1 2(17)312. 根据定积分的几何意义知，30(2x1)dx12. 1将曲线 yex，x0，x2，y0 所围成的图形面积写成定积分的形式为_ 答案 20exdx 2关于定积分 a21(2)dx 的叙述正确的命题的序号是_ 被积函数为 y2，a6； 被积函数为 y2，a6； 被积函数为 y2，a6； 被积函数为 y2，a6. 答案 解析 由定积分的概念可知， 21(2)dx 中的被积函数为 y2， 由定积分的几何意义知，21(2)dx 等于由直线 x1，x2
8、，y0，y2 所围成的图形 的面积的相反数，21(2)dx236. 3502(x2)dx_. 答案 5 解析 50(x2)dxS2S11 23 21 22 25 2， 故502(x2)dx5. 4计算： 3 2 2 25sindxx . 解 由定积分的几何意义，得 3 2 2 2dx 3 2 2 22. 由定积分的几何意义，得 3 2 2 sin dx x 0. 所以 3 2 2 25sindxx 3 2 2 2dx 3 2 2 5sin dx x 2. 1定积分baf(x)dx 是一个和式 i1 n ba n f(i)的极限，是一个常数 2可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分对于一些特殊函数，也可以利用 几何意义求定积分 3定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.