1、133 最大值与最小值最大值与最小值 学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数 的最值 知识点 函数的最大(小)值与导数 如图为 yf(x)，xa，b的图象 思考 1 观察a，b上函数 yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值 答案 极大值为 f(x1)，f(x3)，极小值为 f(x2)，f(x4) 思考 2 结合图象判断，函数 yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别 为多少？ 答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3) 思考 3 函数 yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？ 答案 不一定，也可
2、能是区间端点的函数值 梳理 (1)最大值与最小值 如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 xI，总有 f(x)f(x0)，那么 f(x0)为函数在定 义域上的最大值 最大值是相对函数定义域整体而言的， 如果存在最大值， 那么最大值唯一 如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 xI，总有 f(x)f(x0)，则称 f(x0)为函数在定 义域上的最小值 最小值是相对函数定义域整体而言的， 如果存在最小值， 那么最小值唯一 (2)求 f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤 求 f(x)在区间(a，b)上的极值 将第步中求得的极值与 f(a)，f(b)比较，得到 f(x)在区
3、间a，b上的最大值与最小值 1定义在闭区间a，b上的连续函数 f(x)一定有最大值和最小值( ) 2定义在开区间(a，b)上的函数 f(x)没有最大值( ) 3函数的所有极小值中最小的一个就是最小值( ) 4有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值( ) 类型一 求函数的最值 命题角度1 利用导数直接求最值 例 1 求下列各函数的最值. (1)f(x)x42x23，x3,2； (2)f(x)x33x26x2，x1,1 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 解 (1)f(x)4x34x， 令 f(x)4x(x1)(x1)0，得 x1，x0，x1. 当 x 变化时
4、，f(x)及 f(x)的变化情况如下表： x 3 (3，1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f(x) 0 0 0 f(x) 60 极大值 4 极小 值 4 极大 值 4 5 当 x3 时，f(x)取最小值60； 当 x1 或 x1 时，f(x)取最大值 4. (2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23， f(x)在1,1内恒大于 0，f(x)在1,1上为增函数故当 x1 时，f(x)min12； 当 x1 时，f(x)max2. 即 f(x)的最小值为12，最大值为 2. 反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检
5、验 f(x)0 的根是否在给定区间内 (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值 (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值 跟踪训练 1 求下列函数的最值 (1)f(x)x1 ex ； (2)f(x)1 2xsin x，x0,2 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 解 (1)函数 f(x)x1 ex 的定义域为 xR. f(x)1 e xexx1 ex2 2x ex ， 当 f(x)0 时，x2， 当 f(x)0 时，x2， 当 f(x)2. 所以 f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减， 所以 f(x)无最小值，且当 x2 时，f(x)maxf
6、(2) 1 e2. (2)f(x)1 2cos x，x0,2， 令 f(x)0，得 x2 3 或 x 4 3. 因为 f(0)0，f(2)，f 2 3 3 3 2 ， f 4 3 2 3 3 2 ， 所以当 x0 时，f(x)有最小值 f(0)0， 当 x2 时，f(x)有最大值 f(2). 命题角度2 对参数讨论求最值 例 2 已知 a 为常数，求函数 f(x)x33ax(0 x1)的最大值 解 f(x)3x23a3(x2a) 若 a0，则 f(x)0，函数 f(x)单调递减， 所以当 x0 时，f(x)有最大值 f(0)0； 若 a0，则令 f(x)0，解得 x a. 又 x0,1，则只考
7、虑 x a的情况 当 0 a1，即 0a1 时， 列表如下. x (0， a) a ( a，1) f(x) 0 f(x) 2a a f(x)maxf( a)2a a. 当 a1， 即 a1 时， f(x)0， 函数 f(x)在0,1上单调递增， 当 x1 时， f(x)有最大值 f(1) 3a1. 综上，当 a0，x0 时，f(x)有最大值 0； 当 0a1，x a时，f(x)有最大值 2a a； 当 a1，x1 时，f(x)有最大值 3a1. 反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况若导 函数恒不等于 0， 则函数在已知区间上是单调函数， 最值在端
8、点处取得； 若导函数可能等于 0， 则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值 跟踪训练 2 已知 a 是实数，函数 f(x)x2(xa)求 f(x)在区间0,2上的最大值 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 解 f(x)3x22ax. 令 f(x)0，解得 x10，x22a 3 . 当2a 3 0，即 a0 时， f(x)在0,2上单调递增， 从而 f(x)maxf(2)84a. 当2a 3 2，即 a3 时， f(x)在0,2上单调递减， 从而 f(x)maxf(0)0. 当 02a 3 2，即 0a3 时，f(x)在 0，2a 3 上单调递减，在 2a 3
9、，2 上单调递增， 从而 f(x)max 84a，0a2， 0，2a2. 类型二 由函数的最值求参数 例 3 已知函数 f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为 3，最小值为29，求 a，b 的值 解 由题设知 a0，否则 f(x)b 为常函数，与题设矛盾 求导得 f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令 f(x)0，得 x10，x24(舍去) 当 a0，且当 x 变化时，列表如下. x 1 (1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 f(x) 7ab b 16ab 由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3. 又 f(1)7a3，f(
10、2)16a3f(1)， f(2)16a329，解得 a2. 当 af(1)， f(2)16a293，解得 a2. 综上可得，a2，b3 或 a2，b29. 反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般 先求导数， 利用导数研究函数的单调性及极值点， 探索最值点， 根据已知最值列方程(不等式) 解决问题其中注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (1,2 解析 由 f(x)33x20，得 x 1. 列表如下. x (，1) 1 (1,1) 1 (1，) f(x)
11、 0 0 f(x) 2 2 由此得 a2121a，解得1a 11. 又当 x(1，)时，f(x)单调递减，且当 x2 时，f(x)2.a2. 综上，10，求 a 的值 解 f(x)的定义域为(a，)， f(x)1 1 xa xa1 xa . 令 f(x)0，解得 x1aa. 当ax1a 时，f(x)1a 时，f(x)0，f(x)在(1 a，)上单调递增 因此，f(x)在 x1a 处取得最小值， 由题意知，f(1a)1a0，故 a1. 类型三 与最值有关的恒成立问题 例 4 已知 2xln xx2ax3 对一切 x(0，)恒成立，求 a 的取值范围 解 由 2xln xx2ax3， 得 a2ln
12、 xx3 x. 设 h(x)2ln x3 xx(x0) 则 h(x)x3x1 x2 ， 当 x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增 h(x)minh(1)4， ah(x)min4. 即 a 的取值范围是(，4 反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练 4 设函数 f(x)tx22t2xt1(xR，t0) (1)求函数 f(x)的最小值 h(t)； (2)在(1)的条件下，若 h(t)0)， 当 xt 时，f(x)的最小值为 f(t)t3t1， 即 h(t)t3t1. (2)令 g(t)h(t)(2t)t33t1. 由 g(t)3t230 及 t0，得 t1， 当 t 变化
13、时，g(t)，g(t)的变化情况如下表： t (0,1) 1 (1,2) g(t) 0 g(t) 极大值 由上表可知当 t1 时，g(t)有极大值 g(1)1. 又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点， 函数 g(t)的极大值也就是 g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即 g(t)max1. h(t)2tm 在(0,2)内恒成立， 即 g(t)m 在(0,2)内恒成立， 当且仅当 g(t)max11 时上式成立， 实数 m 的取值范围是(1，). 1函数 f(x)x33x1 在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是_ 答案 3，17 解析 f(x)3x23.令 f(x)0，即 3x23
14、0，解得 x 1.当 x(，1)时，f(x) 0；当 x(1,1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0.所以 f(x)在 x1 处取得极 大值 f(1)3，在 x1 处取得极小值 f(1)1.而端点处的函数值 f(3)17，f(0)1， 比较可得 f(x)的最大值为 3，最小值为17. 2函数 f(x)ln x x 的最大值为_ 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 e 1 解析 令 f(x)ln xxln x x x2 1ln x x2 0， 解得 xe.当 xe 时，f(x)0； 当 0x0. f(x)极大值f(e)1 e，且函数在定义域内只有一个极
15、值，所以 f(x)max 1 e. 3函数 f(x)x2 ex 1，x2,1的最大值为_ 答案 e2 解析 f(x)xex 1(x2)， 令 f(x)0，得 x2 或 x0. 当 f(x)0 时，x0； 当 f(x)0 时，2x0，解得 x2 或 x2； 令 f(x)0，解得2x2. f(3)17，f(3)1， 所以函数在 x2 时取到最小值 f(2)82488， 在 x2 时取到最大值 f(2)824824. 即 M24，m8，所以 Mm32. 5函数 f(x)2x36x2m(m 是常数)在区间2,2上有最大值 3，则在区间2,2上的最小 值为_ 考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值
16、求参数 答案 37 解析 f(x)6x212x6x(x2)， 由题意知，在区间2,2上，x0 是 f(x)的最大值点， f(x)maxf(0)m3. f(2)1624337，f(2)162435， f(x)min37. 1求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：(1)对函数进 行准确求导(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值 的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论 2解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题如：(1)f(x)m 恒成立，只需 f(x)minm 成立即可，也可转化为 h(x)f(x)m，这样就是求 h(x)min0 的问题(2)若在某区 间 D 上恒有 f(x)g(x)成立，可转化为 h(x)f(x)g(x)，求 h(x)min0 的问题